曲线在极坐标系中的旋转

在高中数学的极坐标部分 ,有些问题所给出的极坐标方程比较复杂 ,如果把曲线绕极点作适当旋转 ,方程会变得比较简单 ,这样将便于研究曲线的有关性质 .本文将研究曲线在极坐标系中的旋转问题 .首先以Ｏ为极点 ,Ｏｘ为极轴建立极坐标系 .设曲线Ｃ的方程为 ｆ(ρ ,θ) =0 ,现在把曲线Ｃ绕极点Ｏ按逆时针方向旋转角θ0 ,得曲线Ｃ′ ,下面我们求曲线Ｃ′的极坐标方程 .设Ｍ′(ρ′ ,θ′)为曲线Ｃ′上任意一点 ,若它是由曲线Ｃ上的Ｍ (ρ ,θ)旋转而得到的 ,则 ρ′ =ρ ,θ′ =θ θ0 ,　 ρ =ρ′ ,θ =θ′ -θ0 .代入ｆ(ρ ,θ) =0 ,得 ｆ(…     

极坐标系

极坐标系王爱民（安徽省潜山县野寨中学２４６３０９）课型；新授课（１课时）．教具：三角板、投影器、投影片．重点：极坐标系的建立，由点求极坐标和由极坐标找点，点与极坐标的对应关系．难点：当ρ＜０时，如何由坐标（ρ，θ）找点，如何确定点Ｍ（ρ，θ）的极角；...     

用极坐标两点间距离公式证明定值问题

高中数学新课程标准又把《坐标系与参数方程》列入了选修系列4，使得极坐标这一传统教学内容又回到了高中数学之中，为说明极坐标在解题中的应用，本文现应用极坐标系中P1（ρ1，θ1）和P2（ρ2，θ2）两点间的距离公式：     

关于ρ=ep/1-ecosθ的三个简捷公式

关于ρ＝ｅｐ１－ｅｃｏｓθ的三个简捷公式野德胜（甘肃庆阳长庆二中７４５１１３）在历年高考中，圆锥曲线的统一极坐标方程ρ＝ｅｐ１－ｅｃｏｓθ曾多次考查过．本文给出该方程的三个简捷公式，并用公式去求解这些高考试题，实为省时、方便、准确．记方程为ρ（θ）＝...     

极坐标系下曲线与方程

一、曲线的极坐标方程在平面极坐标系下,平面上一条曲线,可以用含有ρ和θ两个变数的方程F(ρ,θ)=0或ρ=f(θ)来表示。这种方程,叫做曲线的极坐标方程,而这条曲线就叫做这个极坐标方程的曲线。无论在什么坐标系下,曲线的方程或方程的曲线的意义都是一致的。也就是说,“曲线     

浅析双曲线的极坐标方程

在学习圆锥曲线的统一的极坐标方程时,课本中指出当e>1时方程ρ=ep/(1-ecosθ)只表示双曲线的右支;如果允许ρ<0方程就表示整个双曲线。对此学生往往感到困惑不解。为了帮助同学们能正确理解双曲线的极坐标方程,本文仍按教材从直线θ=π/4(允许ρ<0)的方程入手,对双曲线的极坐标方程加以简析。 1.限定ρ>0,双曲线极坐标方程有两个。     

极坐标系下圆的方程

我们知道 ,在直角坐标系中 ,圆有标准方程和一般方程 ,那么在极坐标系中 ,圆的标准方程和一般方程又是怎样的呢 ?1　极坐标系下的圆求圆心是Ｃ( ρ0 ,θ0 ) ,半径是ｒ的圆的极坐标方程 .设Ｍ ( ρ ,θ)是圆上任意一点 ,根据余弦定理得ｒ2 =ρ2 ρ20 - 2 ρ0 ρｃｏｓ(θ -θ0 ) ,即 ρ2 - 2 ρ0 ρｃｏｓ(θ -θ0 ) ρ20 -ｒ2 =0 ( 1)方程 ( 1)就是圆心是Ｃ( ρ0 ,θ0 ) ,半径是ｒ的圆的极坐标方程 .我们把它叫做极坐标系下圆的标准方程 .把圆的标准方程展开得 ρ2 - 2 ρ0 ｃｏｓθ0 ·ρｃｏｓθ -2 ρ0 ｓｉｎθ0 ·ρｓｉｎθ ρ20 …     

用圆的极坐标方程证明定值问题

高中新课程把极坐标内容列入选修系列4,极坐标的应用又成为高中数学的热点．笔者主要介绍“圆心在（a,0）,半径为a的圆的极坐标方程ρ=2acosθ”在几何定值证明中的应用,供高中数学教师阅读时参考．     

应用极坐标求轨迹的方程

在平面解析几何中,有些点的轨迹问题,用直角坐标方法求它的方程有时会遇到困难,如果适当地采用极坐标法来处理,求它的极坐标方程会使问题变得简单些。求轨迹的极坐标方程所用的方法与在直角坐标系里的方法基本上相同,它的步骤是:     

在极坐标系下求点到直线的距离的简化

在极坐标系中求点到直线的距离时 ,通常采用的方法是将极坐标方程化为直角坐标系下的方程 ,点化为直角坐标系下点的坐标后再求解 ,而此法计算较繁 .本文介绍一简单方法 .首先回归到直线在极坐标系下一般方程的求法 .图 1　例 1图例 1　在极坐标系中 ,求倾斜角为α ,且过定点(ρ0 ,θ0 )的直线ｌ的方程 .解　如图 1,过极点作ｌ的垂线 ,及与ｌ平行的直线ｌ1,在直线ｌ上任取一点 (ρ ,θ) ,有 ρ·ｓｉｎ(θ-α) =ρ0 ·ｓｉｎ(θ0 -α) ,则直线ｌ的方程为 ρ·ｓｉｎ(θ-α) =ρ0 ·ｓｉｎ(θ0 -α) .注意　若设 ρ·ｓｉｎ(θ -α) =ρ0 ·ｓ…     

一类二元最值问题的极坐标解法

我们知道,以直角坐标系中的坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.那么,点P的直角坐标(x,y)与它的极坐标(ρ,θ)之间有一组互化公式x=ρcosθ,y=ρsinθ(ρ≠0,θ∈R).利用这一组互化公式我们可以将点的直角坐标化为极坐标,将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程,近年来此类问题在新课改区的高考试卷中屡屡出现,其重要性不言而喻.     

小议圆锥曲线的另一极坐标方程

在六年制重点中学课本《解析几何》(平面)中,介绍了三种圆锥曲线的统一的极坐标方程ρ=ep/(1-ecosθ)。这里,谈谈中心在极点(抛物线的顶点在极点)、焦点(右)在极轴上的椭圆、双曲线、抛物线的极坐标方程与应用。 (一) 定理1 中心在极点、右焦点在极轴上的椭圆x~2/a~2+y~2/p~2=1(a>b>0)的极坐标方程为ρ~2=b~2/(1-e~2cosθ)(e为离心率) 证明:将x=ρcosθ、y=ρsinθ代入椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1得b~2ρ~2cos~2θ+a~2ρ~2sin~2θ=a~2b~2, ∴ρ~2=a~2b~2/(b~2cos~2θ+a~2sin~2θ)     

一道习题的联想

《高等数学》 (同济大学出版社第三版上册 ) P.345第 1 0题 :求由抛物线 y2 =4ax与过焦点的弦所围成图形面积的最小值 .此题多数参考书上都是用直角坐标下的方程求解的 ,方法较繁 ,且易出错 .若改用极坐标方程 ,可使求解过程简单 ;而把题中的抛物线改为椭圆或双曲线时 ,用极坐标更能显示其优越性 ,下面是此题的极坐标解法 .以抛物线 y2 =4ax的焦点为极点 ,对称轴为极轴 ,建立极坐标系 ,则该抛物线的极坐标方程为ρ= 2 a1 -cosθ.抛物线与过焦点的弦所围成的面积为 :S=12 ∫π θθ(2 a1 -cosθ) 2 dθ=a2∫π θθcsc4 θ2 d(θ2 ) =a2 [tg…     

是两条还是一条?

题目试判断极坐标方程ρ~2cosθ-ρ=0表示的曲线是什么? 解法一方程两边同乘以cosθ得: ρ~2cos~2θ-ρcosθ=0 化为直角坐标方程为:x~2-x=0 即 x=0或x=1 所以,原方程表示两条互相垂直的直线。     

从一道参数方程的习题的错解中得到的启示——直线上的定点问题

原题 已知直线l的参数方程为 ｛x=-1+√2/2 y=√2/2t(t为参数),曲线C的极坐标方程是ρ=sinθ/1-sinθ以极点为原点,极轴为z轴,正方向建立直角坐标系,点M(1,2),直线l与曲线C交于A、B两点. (1)写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程; (2)线段MA,MB长度分别记为|MA |,|MB|,求｜MA|·|MB|的值.     

中学课本中的一个方程等价性问题

高中课本《平面解析几何》第１３１页例４是“化圆锥曲线的极坐标方程ρ＝ｅｐ１－ｅｃｏｓθ为直角坐标方程”，解题时涉及到方程ｘ２＋ｙ２＝ｅ（ｘ＋ｐ）（１）与两边平方后所得方程（１－ｅ２）ｘ２＋ｙ２－２ｅ２ｐｘ－ｅ２ｐ２＝０（２）的等价性问题．课本中有这样...     

关于极坐标方程等价变形的一个问题

在曲线的极坐标方程的变形中,常常要施行方程两边同乘以或同除以ρ的运算。为了保证这类变形的等价性,我们给出下面的定理。定理设曲线c_1;f(ρ,θ)=0,c_2:ρf(ρ,θ)=0,如果c_1过极点,则f(ρ,θ)=0与ρf(ρ,θ)=0等价。     

亚纯函数的幅角分布及其增长性

本文考虑了亚纯函数的幅角分布及其增长性的关系，得到了如下定理：设ｆ（ｚ）为亚纯函数，下级μ（μ〈＋∞，ａｒｇｚ＝θｋ（ｋ＝１，２，…，ｑ；０≤θ１〈θ２〈…〈θｑ〈２π，θｑ＋１＝θ１＋２π）为ｑ（１≤ｑ〈＋∞）条半直线使对Ａ↓ε〉０有：ｌｉｍｒ→∞↑－ｌｏｇ＋ｎ↑－（∪ｋ＝１↑ｑΩ↑－（θｋ＋ε，θｋ＋１－ε；ｒ），ｆ＝ｘ）／ｌｏｇｒ≤ρ〈＋∞ ｘ＝０，∞则当存在一非负整数ｌ使ｆ＾（ｌ）（ｚ）（     

关于圆内亚纯函数幅角分布的一个结果

本文得到如下结果：若ｆ（ｚ）为｜ｚ｜＜１内ρ（０＜ρ＜∞）级亚纯函数，则存在点ｅ＾ｉ∞（０≤θ＜２π），使得对于任意ε＞０，任意正整数Ｋ以及｜ｚ｜＜１内任意两个级小于ρ的亚纯函数ａ（ｚ），ｂ（ｚ）     

两个对称轴问题的辩析与推广

两个对称轴问题的辩析与推广６４４１００四川南溪一中黄以民常见一些资料上出现以下两个问题：１．设ｆ（ｘ）满足ｆ（ａ—ｘ）＝ｆ（ａ＋ｘ），求曲线ｆ（ｘ）的对称轴方程．２．求曲线ｆ（ａ—ｘ）与ｆ（ａ＋ｘ）的对称轴方程．不少同学不知道怎样解答这两个问题，还有...