最短内接折线问题

本文对具有固定边界点的最短内接折线问题、退化的问题和非凸多边形的问题进行了讨论,并给出了有效的组合优化求解方法.我们还提出了通过固定内点的最短内接折线问题,并对特殊情况给出了一些结果.     

初中几何中线段的最小值问题

<正>几何中线段的最小值问题常作为中考的考点,解题依据主要有:"两点之间线段最短"、"垂线段最短"和"圆外一点与圆心的连线与圆相交,这一点与交点的线段就是点到圆的最短线段"等几何基本事实和推论,但运用时往往会将其转化,构造相等线段(全等三角形)和辅助圆来解答.1直接利用基本事实和推论(1)利用"两点之间线段最短"例1如图1,在菱形ABCD中,AB=10,∠A=120°,点P,Q分别是线段BC、CD的中点,点K为线段BD上任意一点,求PK+QK的最小值.分析运用"两点之间线段最短"时,往往运用轴对称,因为点K为线段BD上任意一     

一个几何模型的构建及其应用

在多边形与圆的关系中,下面的问题为我们提供了一个几何模型,即平面上任意多边形是否可以通过改变顶角（各边长及其顺序不变,能内接于唯一的一个圆？为了方便建模,我们对平面上折线的刚体运动作如下定义：在平面上一条折线的任意折点处,相邻两边所夹的角可以连续地改变,而折线的各边长及其顺序保持不变的几何变换,称之为折线的刚体运动;一个任意多边形是由一条封闭折线所围成,封闭折线的刚体运动如同在多边形的顶点处用柔韧的关节使各边连接起来,通过改变在关节处的角度使这个由关节连成的系统变形;现提出如下假设：１．设多边形…     

距离不是无情物,放在球面更生辉——兼论教材上“球面距离”处理之疑义

1 问题的背景在球面上,两点之间最短连线段的长度,就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度.我们把这个弧长叫做两点间的球面距离,这就是教材上球面距离的定义.不难看出,这个所谓“定义”,不如说是一种“规定”,配套的教参提到了“最短连线段”取代原教科书上的“最短距离”,使其说法更合逻辑性.至于为什么这样的劣弧长最短,并未作任何交待,同时说明不要求证明.教师和学生也只是一轮轮,一遍遍地由几何直观认识它的正确性,实际问题的合理性,并不断地自觉运用于解题活动中.     

多边形分平面的定理

1.引言题目所指的定理是希尔伯特的“几何基础”(1930年版)中的定理9,其全文如下:定理.一平面α上的每一个简单多边形,把平面α上其余的点(即平面α上的,而不在这多边形的折线上的点),多为具有下述特质的两个区域,一个内域,一个外域:若A 是内域的一个点(内点),而且 B 是外域的一个点(外点),则平面α上每一条连接 A和 B 的折线至少和多边形有一个公共点;反之,若 A 和 A′是内域的两个点,而且 B和 B′是外域的两个点,则平面α上恒有连接 A 和 A′的折线,和连接 B 和 B′的折线,     

不容忽视的步骤

《中学生数学》2003年12月上期第2页 《导数与解析几何问题》一文中,例1:在x2=2y 上求一点P,使P到直线y=x-4的距离最 短.作者用了以下三种方法来解: 法一为设点法,利用点到直线的距离公式 转化为求二次函数的最值问题.     

立体几何中两个论断的证明

本文对高中立体几何课本中两处未给出证明的论断予以证明,供中学教师教学参考。一、关于球面上两点间的距离课本指出:“在球面上,两点之间的最短距离,就是经过这两点间的线段劣弧的长度。”这就是要证明:在球面上连接两个非对径点(非同一直径的两个端点)的一切曲线中,最短的是大圆劣弧。有人将这论断转化为证明“在球面上连接这两点的诸圆劣弧中的大圆的弧长为最短”,这是以面概全,因为连接这两点的球面曲线不限于圆弧。     

关于有向图上的最小树形图——具等双回路特性的情况

如果我们要在某些城镇之间建立联系这些城镇的线路(例如电线等),假设线路的交叉点只能在代表这些城镇的点上,如何能使设立的线路总长度最短呢?这类问题在图论上叫无向图上的最小树问题。又如渠道设计中,有一个水源,要把水引到若干个点上,要求渠道的分叉点必须是在给定的点上,希望设计的渠道路线总长度最短。它和最小树问题的区别在于两点之问水流是有方向的,称谓有向图上的最小树形图问题。这些问题在理论上和实际应用中均有一定的意义。最小树形图和一类有向截集有对偶性的联系。寻求最小树的方法要点是,对每一点,在以其为顶点的所有边中选一条最短的,然后把由此产生的部分图中的每个连通片中收缩成一点,对新图重复上述步骤。求最小树形图时,对每一点取指向这个顶点的一条长度最短的弧。收缩时,不是收缩一个连通片,而只能收缩每个连通片中的一条回路。因此前者的收敛速度要比后者快。本文对于具有从无向图到有向图过渡性质的一类有向图提供了一个算法,寻求其最小树形图时,可以收缩一个连通片。     

封闭折线的同侧点及其性质

本文所讨论的封闭折线，都是平面封闭折线．定义1设M是封闭折线A2A2A3…AnA1所在平面内的定点．，动点P沿着这条析线的边A2A2，A2A3，…，AnA1依次行进，若定点M始终处于动点P行进方向的左侧（或右侧），则点M称为这条封闭折线的左侧点（或右侧．戈）．左侧点与右侧点统称为同侧点．定义2一条封闭析线的所有同侧点组成的集合，称为这条封闭折线的同侧域．例如，困1中的点M就是封闭折线AIA。A3…A7AI的同侧点，阴影部分（不包含边界）是这条封闭拆线的同侧城．定义3设封闭折线AIAZA3…A。AI有同侧，k．M，若，k．M位于ZA。A；…     

反射原理的应用

假设AB、AC和BC是三条交叉的公路,在AB、AC上现各有一个邮筒R、Q,拟在公路BC上建一个邮局P,取信员每天从P点出发,先到Q点,再到R点取信,然后返回邮局,问P点的位置确定在何处,才能使取信员的路程最短?……     

结合滤子技术的牛顿折线法及其实现

成功将多维滤子技术应用到牛顿折线法,提出了多维滤子牛顿折线法.新算法增加了牛顿点以及信赖域的试探点被接收作为下一步迭代点的几率.在一定的假设条件下证明了算法的全局收敛性.数值试验表明,滤子牛顿折线法适合于求解等势线呈峡谷状的函数.     

凸折线方程及其应用

定义　在平面上沿折点连结的方向 ,存在某一直线 ,使折线的每一线段或射线在这一直线上的投影不重叠 ,称这类折线为凸折线 ,若不存在这样的直线 ,则称这类折线为凹折线 .对一般凸折线 ,以投影轴为ｘ轴建立平面直角坐标系 ,可得凸折线方程形式 :ａｘ ｂｙ ｃ=∑ｎｉ=1ａｉ｜ｘ-ｘｉ｜ ,其中ｘ1 <ｘ2 <…… <ｘｎ,若在两区间 (-∞ ,ｘ1 ]与 [ｘｎ, ∞ ]上的射线倾角互补 ,则折线方程可设为ｙ =∑ｎｉ=1ａｉ｜ｘ-ｘｉ｜的形式 ,其中两区间斜率分别为ｋ =- ∑ｎｉ=1ａｉ 与ｋ =∑ｎｉ=1ａｉ.一般凸折线方程的建立 ,可参见文 [1 ]命题3 ,本文对…     

过圆内点最短的弦

<正>在学习圆的基本知识时,其中一个基本概念就是"弦"——连结圆上任意两点的线段.在圆中最长的弦是直径,没有最短的弦,如果经过圆内固定的一点(不是圆心),必然可以将这个点与圆心相连找到一条直径(最长的弦),那过这个固定的点有没有最短的弦呢?通过实际作图可以发现经过这个点且与直径垂直的弦是最短的弦,下面就来解释一下     

一道课本例题的讨论和开发

九年义务教育教材(人教版)第131页有一个这样的问题:要在燃气管道a上修建一个泵站,分别向A、B两镇供气,泵站修在管道什么地方,可使所用输气管线最短?教材上首先将实际问题数学化,如图1,设A、B是直线a同侧的两点,要使所用的输气管线最短,就是在直线a上找点C,使AC BC最小·图1AC=     

数学问题解答

2015年1月号问题解答(解答由问题提供人给出)2221有一表面积为定值S的长方体,其所有顶点在半径为定值R的球面上移动。记球面上的两个定点分别为M和M′,当长方体的某一顶点由M移动到M′时,长方体的棱长随之变化,其中最长棱的长度由a变化到a′并且仍为最长棱,最短棱的长度由c变化到c′并且仍为最短棱.求     

折线基本性质初探

为了从整体上掌握众多直线形的特征,应对折线的结构性质作一般考查,本文着重探讨平面折线的若干基本性质 1 折线的一般性质平面上一些线段顺次首尾相接构成的图形称为平面折线,我们约定,任何端点不在另外的线段上,构成折线的线段称为边,线段的端点称为顶点,共顶点的两边称为邻边,共边二顶点称为邻顶点,如果折线每条边都有两条邻边,就称为封闭折线,否则为开折线。定理1 n边封闭折线有n个顶点;n边开折线有n 1个顶点。边不相交的折线称为简单折线,简单封闭折线称为多边形,多边形划分平面的两部分,其中有限部分称为多边形内部,不难证明。定理2 n边形内部可用不相交的对角线划分为     

函数题求解的几个注意点——以一道压轴题为例

题目如图1,已知二次函数的图像经过点A(6,0),B(-2,0)和点C(0,-8).(1)求该二次函数的解析式;(2)设该二次函数图像的顶点为M,若点K为x轴上的动点,当△KCM的周长最小时,点K的坐标为_______;(3)连接AC,有两个动点P、Q同时从点O出发,其中点P以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C的路线运动,点Q以每秒8个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动,当P、Q两点相遇时,它们都停止     

杨辉三角与最短路径

穿越于城市的大街小巷,行路人总想抄近路抵达目的地.怎样走才能使路径最短呢?下面拟编的一道题目,试图用“杨辉三角”来解释,供读者品味. 题目为迎接2002年国际数学家大会(简称ICM)在北京召开,筹委会的工作人员在接待大厅挂起了一幅会场路线指示图,如图1所示:网线表示北京某区的交通路道,每个方格内均表示建筑物,点A处是接待大厅(阴影部分)东南拐角的十字路口,点B处是大会会场(阴影部分)西北拐角的十字路口.问:数学家乘车从A出发到B处有多少条最短的行车路线?     

利用垂线段最短求线段最值

<正>如图1,在点P与直线l上所有点相连的线段中垂线段PO最短,简称"垂线段最短",它是求线段最值问题的基本公理.下面以此公理为依据,谈谈求线段最值问题.一、已知一定点和一定直线求最小值例1如图2,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,D是AB上一动点,过点D作     

最短水管问题的推广

<正> 原题.要在一平直河岸L上建一抽水站P,供应L同侧两居民点A、B的用水,试问站址应选在L上何处,才能使敷设的水管总长为最短?此题可用多种方法解.结论是当P 点满足α=β时(图1),总长