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2008年江西高考理科卷第20题是:
题1 如图1,正三棱锥O-ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直,且长度均为2,E、F分别是AB、AC的中点,H是EF的中点,过EF的一个平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A1、B1、C1,已知OA1=3/2. 相似文献
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《中学生数学》2017,(12)
<正>问题如图1,∠BOA=α°(定角),点P是∠BOA内的一定点,现在过点P任意作一直线,分别交线于射线OA、OB于点M、N,问什么情况下,△MON的面积最小,并说明理由.探求过程出当直线旋转到点P是MN的中点时S_(△MON)最小,如图2,过点P的另一条直线EF交OA、OB于点E、F,设PF相似文献
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易证 ,对于一组闭折线A1A2 A3 …An,总有A1A2 +A2 A3 +A3 A4+… +An -1An+AnA1=0 .这条性质简明 ,应用却很广泛 .1 简化向量式例 1 化简AB -AC +BD -CD .解 原式 =AB +CA +BD +DC =AB +BD +DC +CA =0 .例 2 如图 1,在△ABC中 ,A′ ,B′ ,C′分别为BC ,CA ,AB的中点 ,O为△ABC所在平面内任一点 ,求证 :OA +OB +OC =OA′+OB′+OC′ .图 1 例 2图解 易知 ,B′A =12CA ,C′B =12 AB ,A′C =12BC .∵OB′ +B′A =OB′ +12 CA =OA ,OC′ +C′B =OC′ +12 AB =OB ,OA′ +A′C =OA′ +12 BC =OC … 相似文献
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从三角形的垂心谈起--向量方法的一个应用 总被引:1,自引:0,他引:1
本文将三角形的垂心概念推广到圆内接四边形和圆内接五边形当中去 ,并且同时给出关于垂心的一条重要性质 .本文主要应用向量方法 .首先给出两条简易的引理 ,本文不加证明 .引理 1 设M是线段AB的中点 ,O为任意一点 ,则有OM =12 (OA+ OB) .引理 2 设G是△ABC的重心 ,O为任意一点 (在或不在△ABC所决定的平面上 ) ,则有OG=13(OA+ OB+ OC) .现在从三角形的垂心谈起 .图 1设O是△ABC的外心 ,OP⊥BC ,P是BC的中点 ,AQ是BC边上的高 (图 1 ) .在高AQ所在直线上取一点H ,使AH =2 OP ,则有OH =OA +AH=OA + 2OP=OA+ OB+ OC… 相似文献
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我们先来看看下面两道题的证明,有无"漏洞".题1求证:平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等.已知:■ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,OE⊥AD于E,OF⊥BC于F.图1求证:OE=OF.证明∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC.∵OE⊥AD,OF⊥BC,∴∠AEO=∠CFO.又∵∠AOE=∠COF(对顶角相等),∴△AOE≌△COF(AAS).∴OE=OF.图2题2已知:正方形ABCD中,O是对角线AC的中点.连接OB、OD.求证:OB=OD.证明1∵四边形ABCD是正方形,OA=OC,∴OB=OD(正方形的对角线互相平分). 相似文献
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人教版教材九年级上册第88页第11题为:
如图1,A、B是☉O上两点,∠AOB=120°,C是(AB)的中点,求证:四边形OABC是菱形.
此题以圆为背景,考查圆周角和圆心角的关系、等边三角形的判定、菱形的判定等知识.以此题为素材,对问题进行变式,可以发现其是一些中考题的"题源".
证明:因为C是(AB)的中点,∠AOB=120°,所以∠AOC=∠BOC=60°.
因为OA =OC,OB=OC,所以△AOC、△BOC均为等边三角形.
所以OA =OB=AC=BC.所以四边形OABC是菱形.
此题的逆命题也成立,我们把原题和逆命题分别作为:
命题1:如图1,A、B是☉O上两点,∠AOB=120°,C是(AB)的中点,则四边形OABC是菱形. 相似文献
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性质 设OA、OB、OC是空间中的三个向量 ,如图 1 ,则有 :( 1 ) (Ⅰ )OA+ BC =OC+ BA(Ⅱ )OA+ CB =OB+ CA(Ⅲ )OC +AB =OB +AC图 1(按一定顺序对棱所表示的向量之和相等 )( 2 )OA· BC + OB·CA +OC·AB =0(空间中的三个向量 ,每一个向量与其他两个向量的差的数量积的顺序之和等于零 )证明 ( 1 )可由向量的运算性质直接得到 .( 2 )因为BC =BO+ OC所以OA·BC+ OB· CA+ OC·AB=OA·BO +OA·OC +OB·CA +OC·AB=OC· ( OA+ AB) + OB· ( CA+ AO)=OC·OB+ OB·CO= 0当OA、OB、OC是共线向量时 ,由 ( … 相似文献
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二、行列式例1实系数二元一次方程组a1x b1y=c1a2x b2y=c2(2.1)=c1c2(2.2)何时有唯一解?当它有唯一解时求出它的解来.解将方程组(2.1)写成向量形式:xa1a2 yb1b2在平面直角坐标系中取点A(a1,a2),B(b1,b2)C(c1,c2)则向量OA,OB,OC的坐标就分别是a1a2,b1b2,c1c2.方程(2.2)即xOA yOB=OC(2.3)解此方程,就是要将OC表示成OA,OB线性组合,求组合系数x,y.图1(2.1)有唯一解(2.3)有唯一解OA,OB不共线a1b2-a2b1≠0.将OB绕O沿顺时针方向旋转直角得到有向线段OB′如图1.则OB′=b2-b1.将OB′与方程(2.3)两边同时作内积,由于OB·OB′=0,可消去… 相似文献
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本文将给出与三角形的中线有关的一个向量性质,并将其推广到空间.图1定理1如图1,G为给定△OAB的边AB的中点,D为中线OG上一定点(异于点O),过D点任作一直线,分别交OA、OB于M、N,设OM=x OA,ON=y OB,则1x 1y=定值.证明∵G是AB边的中点,∴OG=12(OA OB).∵D为中线OG上的一定点,∴OD、 相似文献
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定理 若OB与OC确定的平面为α ,OA为平面α的一条斜线 ,且AB⊥α ,若记∠AOB =θ1,∠BOC =θ2 ,∠AOC =θ ,二面角C -OA -B的大小为β ,则图 1 定理证明用图cosθ =cosθ1·cosθ2 (1)cosβ =tanθ1tanθ (2 )sinβ =sinθ2sinθ (3)简析 :要证明 (1) ,只需过B作BD⊥OC于D即可 (如图 1) ;要证明 (2 ) ,(3) ,则过B作BE⊥OB于B ,且使BE∩OC =E ,然后过B作BF⊥OA于F ,再连结EF .可以证明图 2 定理证明用图∠BFE =β(如图 2 ) ,具体证明从略 .例 1 如图 3,球O的截面BCD把球面面积分成1∶3两部分 ,BC是截面圆的直径 ,… 相似文献
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定理 1 点O是三角形ABC的重心的充要条件是OA→ +OB→ +OC→ =0 .证 必要性 :若O是三角形ABC的重心 ,则OA→ =23(12 CB→ +BA→ ) =13 CB→ +23 BA→ ,OB→ =23(12 AC→ +CB→) =13 AC→ +23 CB→ ,OC→ =23(12 BA→ +AC→ ) =13 BA→ +23 AC→ ,故OA→ +OB→ +OC→ =CB→ +BA→ +AC→ =0充分性 :若OA→ +OB→ +OC→ =0 ,由向量加法原理 ,知过O且与OA→ +OB→ 平行的直线必平分线段AB ,而OA→ +OB→ 与OC→ 是共线的 ,故直线OC平分线段AB .同理 ,可以证明直线OA ,OB分别平分BC ,AC .从而知点O是三角… 相似文献
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中学数学教学中的向量(续2) 总被引:1,自引:1,他引:0
4·2三角形的重心和几个著名的“难题”三角形的重心用向量方法来处理是最简单的了.对于△ABC,我们仍然任意定一个原点O,并作出有关各点的位置向量(图12中的虚线),于是BC的中点L对应于OL=21(OB OC),先不问三条中线是否共点,先看一条中线AL,其上的点都可用λOA (1-λ)OL=λOA 12 相似文献
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(a+b)/2≥ab~(1/2)2/(1/a+1/b)(a>0,b>0)是平均数不等式——“算术平均最大,几何平均次之,调合平均最小”的最简单的情形。它有许多证法,在此介绍一个几何证法作圆,其圆心为A,从圆外一点O引切交OG,切点为G,OA的连线交圆于B、C两点,引GH⊥OB,垂足为H(如图) 令 OC=a,OB=b,则 OA=OC+BC/2=OC+(OB-OC)/2 =(OC+OB)/2=(A+B)/2; ∵ OG~2=OC·OB(切割线定理) ∴ OG=(OC·OB)~(1/2)=ab(1/2); 又 OG~2=OH·OA(射影定理) ∴OH=OG~2/OA=ab/((a+b)/2)=2/(1/a+1/b) 显然,在Rt△OGA中,OA>OG,即(a+b)/2>ab~(1/2);在Rt△OHG中,OG>OH,即ab~(1/2) 相似文献