创新多解拓展——2014年安徽中考数学压轴题赏析

题目(2014年安徽卷第23题)如图1所示,正六边形ABCDEF的边长为a,P是BC边上的一个动点,过点P作PM//AB交AF于点M,作PN//CD交DE于点N. (1)①∠MPN=____; ②求证:PM+PN=3a. (2)如图2,点O是AD的中点,连接OM、ON,求证:OM=ON. (3)如图3,点O是AD的中点,OG平分∠MON,判断四边形OMGN是否为特殊四边形,并说明理由. 一、创新,多层突破 畅游历年考题,正多边形频频登场,多以选择题或填空题面目出现,偶尔呈现为解答题,这些题难易度适中.所考查内容丰富多彩,层出不穷.     

高中联赛一道预赛题的探究

<正>首先来看一道2014年陕西数学联赛预赛题.已知圆O:x2+y2=1与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,M是圆O上任意一点(除去圆O与两坐标轴的交点).直线AM与BC交于点P,直线CM与x轴交于N,设直线PM、PN的斜率分别为m、n,求证:m-2n为定值.     

一道高考试题的探讨

2006年全国高考数学理科试题(北京卷)第19题:已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=22.记动点P的轨迹为W.(Ⅰ)求W的方程;(Ⅱ)若A,B是W上的不同两点,O是坐标原点,求OA·OB的最小值.这道题主要考查双曲线的定义和方程的知识,易求得W的方程为x2-y2=2(x>0),解答(Ⅱ)时,一般     

新题征展(108)

A题组新编1.(翁华木)(1)将边长为为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠起来,使顶点A在底面BCD上的射影恰好是△BCD的外心O,如图1所示,则AO=;又若P是侧面ABD上的一动点,点P到平面BCD的距离与到点A的距离相等,则动点P的轨迹是.(用文字描述轨迹的形状,下同)图1(2)将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠起来,使顶点A在底面BCD上的射影恰好是△BCD的重心G,如图2所示,则AG=;又若P是侧面ABD上的一动点,点P到平面BCD的距离与到点A的距离相等,则动点P的轨迹是·图2(3)将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠起来,使顶点A在底面BCD上的射影恰好是△BCD的内心I,如图3所示,则AI=;又若P是侧面ABD上的一动点,点P到平面BCD的距离与到点A的距离相等,则动点P的轨迹是·图3图42.(王志海董云波)如图4所示,已知圆C:(x+1)2+y2=8,定点A(1,0),M为圆上一动点,点P在AM上,点N在CM上,且满足AM=2AP,NP·AM=0,点N的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)若直线y=kx+k2+1与(1)中所求点N的轨迹E交于不同两点F、H,O是坐标原点,且...     

对一道竞赛题的探究与推广

<正>2016年福建省高一数学竞赛15题是:如图1,圆O的圆心在坐标原点,过点P(0,1)的动直线l与圆O相交于A、B两点.当直线l平行于x轴时,直线l被圆O截得的线段长为■.(1)求圆O的方程;(2)在平面直角坐标系xOy内,是否存在与点P不同的定点Q,使得|QA|/|PA|=恒成|QB|/|PB|立?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.本题(2)问是一道以圆为背景的定点问     

关于一道几何证明题的解法赏析

<正>题目如图1,已知△ABC为等腰直角三角形,P为斜边AB上的任意一点,求证:PA2+PB2=2PC2.该题结构简单,形式简洁,可用的知识点很多,解法有很多样,具有一定的启发性和推广性,下面就解题思路与大家共赏析.解法1构造直角三角形,运用勾股定理如图1,过点P作PM⊥AC于点M,PN⊥BC于点N.∴∠AMP=∠PNB=90°.     

利用绝对值三角不等式解一类圆锥曲线问题

<正>根据绝对值三角不等式的几何意义可以得到如下结论:结论1求动点P到两定点M、N距离和|PM|+|PN|的最小值时,利用三角形中"两边之和大于第三边"易得到不等关系|PM|+|PN|≥|MN|,当且仅当点P在线段MN上时等号成立(如图1).结论2求动点P到两定点M、N距离差||PM|-|PN||的最大值时,利用三角形中     

一道高考试题的探讨

2006年全国高考数学理科试题（北京卷）第19题： 已知点M（-2，0），N（2，0），动点P满足条件｜PM｜—｜PN｜=2√2.记动点P的轨迹为W．     

一道竞赛题的简证及有关新结论

1原题及其简证原题在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90,°P是对角线AC、BD的交点,M、N分别是AB、CD上的点,满足DM⊥AC,BN⊥AC.求证:M、N、P三点共线.(2005年全国初中数学联赛D卷)图1证法1如图1,设DM、BN分别交AC于点E、F,联结PM、PN.易知DM∥BN,则EMBF=AEAF,DEFN=CECF.于是EMBF·DE     

2012年江苏省数学竞赛初赛第13题的解法初探

2012年全国高中数学联赛江苏省初赛第13题是一个非常优秀的试题,下面谈谈这道试题的几种解法.题目如图1,半径为1的圆O上有一定点M,A为圆O上的动点,在射线OM上有一动点B,AB=1,OB>1.线段AB交圆O于另一点C,D为线段OB的中点.求线段CD长的取值范围.     

关于遮阳伞的计算

<正>题目(江西中考题)图1所示的遮阳伞,伞炳垂直于水平地面,如示意图2,当伞收紧时,点P与点A重合;当伞慢慢撑开时,动点P由A向B移动;当点P到达点B时,伞张得最开.已知伞在撑开的过程中,总有PM=PN=CM=CN=6.0分米,CE=CF=18.0分米,BC=2.0分米.设AP=x分米.     

利用等轴双曲线的一个变换简解一道高考题

我们知道,反比例函数y=k/x(k≠0)的图象是双曲线,由它的两条渐近线x轴、y轴互相垂直可知.方程xy=k(k≠0)表示的曲线是等轴双曲线.可以证明,将等轴双曲线C:x2-y2=a2(a>0)绕坐标原点O按逆时针方向旋转45°,所得等轴双曲线C′的方程为xy=a22.事实上,设等轴双曲线C′的方程为xy=k(k>0),易知C′的两个顶点为A′1(-k,-k)、A′2(k,k),由|A′1A′2|=2 2k=2a,便可得到k=a22.利用上述变换,处理一些等轴双曲线的问题十分简单,请看2006年高考北京卷理科倒数第2题:题已知点M(-2,0)、N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=2 2.记动点P的轨迹为W.(Ⅰ)求W…     

经过三角形顶点的直线的一个性质与推论

<正>性质如图1,O是△ABC的外心,经过A点的直线交直线BC于点D (O,B,C不在直线AD上),P是直线AD上任意一点(A,P不重合),以PA为直径的圆分别与AB,AC的另一个交点为E,F,PM∥AO交EF于点M.则BD/CD=EM/FM.证明延长PM交以PA为直径的圆于点Q,连接QE,QF.过O点作OG⊥AB于G,     

例谈复习课中分类讨论思想的有效渗透——以“圆”的复习课为例

<正>1 在“点与圆”的位置关系中渗透分类讨论思想例1 若圆O所在的平面内有一点P与圆O上的点的最大距离是m,最小距离是n(m>n),那么圆O的半径是___.师：在同一平面内，点P与一个圆可能存在哪些位置关系?问题中的点P与圆O可能存在哪些位置关系?为什么?生：点与圆的位置关系可能有三种——点在圆内，点在圆上，点在圆外.因为题中并没有指明点P在圆的哪个位置，只是点P与圆O同处一个平面，所以点P与圆O也可能存在点P在圆O内、     

一道圆的动态题的解析

<正>传统的圆的动态题是"圆的大小固定、而位置发生变化."现在我编拟一道圆的大小和位置都发生变化的动态题,供大家赏析.题目如图1,四边形ABCD中,AB∥DC,∠B=90°,∠BAD=60°,BC=4cm,对角线AC平分∠BAD.P是BA边上一个动点,它从B点出发,向A点移动,移动速度为每秒1cm;Q是AC边上一个动点,它从A点出发,向C点移动,移动速度为每秒     

特殊点 猜想 论证 反思

[题目] 如图1,在平面上,给定了半径为r的圆O.对于任意点P,在射线OP上取一点P’,使得OP·OP’=r2,这种把点P变成点P’的变换叫做反演变换,点P与点P’叫做互为反演点.     

由一道中考题想到的翻折问题

我们先看一道中考题例1如图1,在△ABC中,点P为BC边中点,直线a绕顶点A旋转,若B、P在直线a的异侧,BM⊥直线a于点M,CN⊥直线a于点N,连接PM、PN;(1)延长MP交CN于点E(如图2).①求证:△BPM≌△CPE;②求证:PM=PN;)若直线绕点     

考点28 轨迹问题

1.(上海卷,3)直角坐标平面xOy中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足OP·OA=4,则点P的轨迹方程是.2.(江西卷,16)以下四个关于圆锥曲线的命题中1设A、B为两个定点,k为非零常数,若PA-PB=k,则动点P的轨迹为双曲线;2过定圆C上一定点A作圆的动弦AB,O为坐标原点,若OP=12(OA+OB),则动点P的轨迹为椭圆;3方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;4双曲线2x52-y92=1与椭圆3x52+y2=1有相同的焦点.其中真命题的序号为(写出所有真命题的序号).3.(北京卷,18)如图,直线l1:y=kx(k>0)与直线l2:y=-kx之间的阴影区域(不含边界)记为W,其左半…     

新题征展(108)

A 题组新编 　　1.(翁华木)(1)将边长为为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠起来,使顶点A在底面BCD上的射影恰好是△BCD的外心O,如图1所示,则AO=_____;又若P是侧面ABD上的一动点,点P到平面BCD的距离与到点A的距离相等,则动点P的轨迹是_____.(用文字描述轨迹的形状,下同)……     

我为高考设计题目

<正>题424在平面直角坐标系xOy中,点F的坐标为(2,0),以线段FG为直径的圆与圆O:x²+y²=3相切.(1)求动点G的轨迹的方程;(2)记动点G的轨迹为曲线E.过点F且不与坐标轴平行的直线l与E的右支交于A、B两点,P为线段AB的中点,直线OP与过点F且垂直于l的直线交于Q点,与E的右支交于R点,证明|OP|,|OR|,|OQ|成等比数列.