对一道线段比值为定值联考题的探究

1.试题呈现(东北师大附中等六校2020届高三联考)已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)过点(1,3/2),且离心率为1/2.(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A、B,左焦点为F,过F的直线l与C交于M、N两点(M和N均不在坐标轴上),直线AM、AN分别与y轴交于点P、Q,直线BM、BN分别与y轴交于点R、S,求证:|RS|/|PQ|为定值,并求出该定值.     

大胆类比 谨慎求证

<正>在一次习题课中,我们做了一道解析几何习题,同学们大胆类比探索,热情很高,得出了一些结论,现展示如下:2原题已知椭圆C:x2/4+y2=1的左右顶4点分别是A1、A2,直线l:x=2(2)^(1/2)与x轴交于点D,点P是椭圆上的异于A1、A2的动点,直线A1P、A2P分别交l于E、F两点,求证:|DE|·|DF|恒为定值.证明设E(2(2)(1/2)与x轴交于点D,点P是椭圆上的异于A1、A2的动点,直线A1P、A2P分别交l于E、F两点,求证:|DE|·|DF|恒为定值.证明设E(2(2)^(1/2),e),     

一个面积最大值问题的海伦解法

题目已知椭圆 的焦点为F1,F2直线l过F1且与椭圆交于A、B两点,求△F2AB面积的最大值. 这是一道常见题,解法较多.湖北《中学数学》2001年第11期P10页提供了以下四条解题途径: (1)以弦AB为底,点F2到直线l的距离为高解之; (2)以|F1F2|为底,点A、B到x轴的距离|y1|,|y2|为高解之;     

射影几何背景下的2019年北京高考解析几何试题

<正>1试题呈现(2019年北京卷文科)已知椭圆C:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1的右焦点为(1,0),且经过点A(0,1).(1)求椭圆C的方程;(2)设O为原点,直线l:y=kx+t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P,Q.直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N,若|OM|·|ON|=2.求证:直线l经过定点.     

2010年四川卷理20题的课本探源、简解与拓广

考题(2010年四川卷理科20题)已知定点A(-1,0),F(2,0),定直线l:x=1/2,不在x轴上的动点P与点F的距离是它到定直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E,过点F的直线交E于B,C两点,直线AB,AC分别交l于点M,N. (Ⅰ)求E的方程; (Ⅱ)试判断以线段MN为直径的圆是否过点F,并说明理由.     

对一道竞赛题的探究与推广

<正>2016年福建省高一数学竞赛15题是:如图1,圆O的圆心在坐标原点,过点P(0,1)的动直线l与圆O相交于A、B两点.当直线l平行于x轴时,直线l被圆O截得的线段长为■.(1)求圆O的方程;(2)在平面直角坐标系xOy内,是否存在与点P不同的定点Q,使得|QA|/|PA|=恒成|QB|/|PB|立?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.本题(2)问是一道以圆为背景的定点问     

精想细算 轻松突破

<正>2017年北京高考理科第18题:已知抛物线C:y²=2px过点P(1,1),过点(0,1/2)作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A,B,其中O为原点.(Ⅰ)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(Ⅱ)求证:A为线段BM的中点.     

对一道高考最值题的思考与探究

<正>题目已知F为抛物线C:y²=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l_1,l_2,直线l_1与C交于A,B两点,直线l_2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为().(A)16(B)14(C)12(D)10这是2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学Ⅰ卷第10题,其解答如下:由y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l_1,l_2,直线l_1与C交于A,B两点,直线l_2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为().(A)16(B)14(C)12(D)10这是2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学Ⅰ卷第10题,其解答如下:由y²=4x知F(1,0),     

从一道参数方程的习题的错解中得到的启示——直线上的定点问题

原题 已知直线l的参数方程为 ｛x=-1+√2/2 y=√2/2t(t为参数),曲线C的极坐标方程是ρ=sinθ/1-sinθ以极点为原点,极轴为z轴,正方向建立直角坐标系,点M(1,2),直线l与曲线C交于A、B两点. (1)写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程; (2)线段MA,MB长度分别记为|MA |,|MB|,求｜MA|·|MB|的值.     

在创新思想指导下编制的一道解析几何开放题

椭圆、双曲线第一定义 :平面上到两个定点F1,F2 距离之和等于常数 ( >|F1F2 | )的动点的轨迹叫椭圆 ,两距离之差的绝对值等于常数 ( <|F1F2 | )的动点的轨迹叫双曲线 .圆锥曲线第二定义 :平面上到定点的距离与到定直线的距离的比等于常数e的动点的轨迹叫… ,换言之 :平面上到定点F的距离与定直线l的距离的e倍相等的点的轨迹叫… .在创新思想指导下 ,将第一、第二定义剪辑后再嫁接 ,提出开放的新问题 :若动点M到定点F的距离与M到定直线l的距离的e倍的和 (或差的绝对值 )等于常数 ,动点M的轨迹是什么呢 ?以定直线l为x轴 ,过定点F且与l垂…     

我为高考设计题目

<正>题416已知长为4的线段PQ以原点O为中点,圆M经过P、Q两点且与直线x+2=0相切.(1)求圆心M的轨迹Γ的方程;(2)斜率为正数的直线l与轨迹Γ交于不同的两点A,B,作线段AB的垂直平分线与轨迹Γ交于C、D两点,若A、B、C、D四点共圆,直线l的斜率是否为定值?若是定值,请求出该定值;若不是定值,请说明理由.     

一道竞赛题的妙证

<正>题目^([1])(第五届陈省身杯全国高中数学奥林匹克)如图,已知锐角△ABC的外接圆为⊙O,过点A作⊙O的切线l,l与直线BC交于点D,E为DA延长线上一点,F为劣弧BC上一点,直线EF与劣弧AB交于点G,直线FB、GC分别与l交于点P、Q.证明:AD=AE的充分必要条件为AP=AQ.证明首先证明一个引理.引理:如图所示,条件同上,     

相似双曲线的一组优美性质

文[1]介绍了相似椭圆的一组性质,很容易把这些性质类推至双曲线.不仅如此,相似双曲线还具有更多的优美性质.为行文方便,本文约定双曲线C1的方程为ax22-by22=λ2(0<λ<1),双曲线C2的方程为xa22-by22=1.显然C1与C2相似,且相似比为λ.定理1过双曲线C2上任一点P引C2的切线l交双曲线C1于A,B两点.则|PA|=|PB|.定理2若直线l与双曲线C1交于A,B两点,与双曲线C2交于C,D两点,则|AC|=|BD|.以上性质的证明与文[1]完全类似,故略.定理3过原点的直线l1与双曲线C1,C2的右支分别交于点A1,A2.过原点的直线l2与双曲线C1,C2的右支分别交于点B1,B2.则…     

圆锥曲线一个有趣性质的统一简证与再推广

《数学通报》2012年第2期刊登的《圆锥曲线一个有趣性质的再推广》一文(文[1])给出了圆锥曲线一个统一的美妙性质(本文称之为定理): 定理设圆锥曲线E的一个焦点是F,相应的准线为l,过焦点F的直线交圆锥曲线E于A、B两点,C是E上任意一点,直线CA、CB分别与准线l交于M、N两点,则以线段MN为直径的圆必过焦点F.     

圆锥曲线一个统一性质的简单证明

文[1]给出了如下性质:性质设圆锥曲线E的一个焦点为F,相对应的准线为l,过焦点F的直线交圆锥曲线于A,B两点,C是圆锥曲线E上的任意一点,直线CA,CB分别与准线l交于M,N两点,则以线段MN为直径的圆必过焦点F.文章就抛物线、椭圆和双曲线情形分别加以证明,非常繁琐,而且关键部分语焉不详.本文将给出     

系数和定值竞赛题的探究与拓展

<正>题目(2018年全国高中数学联赛甘肃预赛)已知椭圆C:x²/y2/y²+y2+y²/b2/b²=1过点M(0,2),且右焦点为F(2,0).(1)写出椭圆C的方程;(2)过点F的直线l与椭圆C交于A,B两点,交y轴于点P,若PA=m AF,PB=n BF,求证:m+n为定值;(3)在(2)的条件下,若点P不在椭圆C的     

与焦点有关的一组圆锥曲线结论

<正>性质1如图1,已知椭圆C:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的右焦点为F,点M是C上异于左、右顶点A,B的一点,直线AM与直线x=a交于点N,线段BN的中点为E,则(1)∠EFB=∠EFM;(2)EM是C的切线.证明(1)由已知,得A(-a,0),B(a,0),F(c,0),设M(x_0,y_0),直线AM的方程为y=k(x+a),     

一个奥数问题的拓展及面积证明

<正>题目[1]如图1,已知两平行线l1、l2,A、B、C是l1上的三点,D、E、F是l2上的三点,且直线AE与CF交于点G,AD与BF交于点H,BE与CD交于点K.证明:G、H、K三点共线.文献[1]里反复利用"l1∥l2"得比例式,使证明顺利完成.     

一道综合题的多角度思考

数学通讯2007年第7期综合题新编选登中题136是这样一个题目： 已知双曲线x^2-y^2=1，过右焦点F的直线与右支交于A，B两点，且线段AF，BF的长度分别为m，n．     

圆锥曲线中一组结论

<正>性质1如图1,直线AB过点P(t,0)(0<|t|2/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1交于A、B两点,过A、B、P三点作直线x=a2=1交于A、B两点,过A、B、P三点作直线x=a²/t的垂线,垂足分别为C、D、E,则1/AC、1/PE、1/BD成等差数列.证明设点A和点B的坐标分别为(x_1,y_1)和(x_2,y_2),当直线AB不与x轴垂直时,设其方程为y=k(x-t),代入椭圆方程整理得: