巧构平面解析几何模型求无理函数的最值

求无理函数的最值常见的方法有代数换元法、三角换元法、导数法等．但是有一些无理函数因其解析式结构的特殊性．用以上常规的方法不易求其最值，若能仔细分析无理函数解析式的结构特点，数形结合。构造出相应的平面解析几何模型，利用其“形”的特征，可转化为求平面解析几何模型（曲线）上的一动点到模型外两定点的距离和（差）的最值．或动点与定点连线的斜率最值，或动点到定点的距离与该动点到定直线的距离之和的最值，从而暴露了问题的本质，使复杂抽象的函数问题具体化、简单化．本文根据动点所属不同的平面解析几何模型。分类举例说明．     

点到直线距离的常见类型和解法

根据高考数学科考试说明,“两点间的距离、点到直线的距离”及“导数的几何意义”等知识点的考试要求都是B级．求曲线上的点到直线距离涉及“平面解析几何初步”和“导数及其应用”二大章节,是高考中重点考查内容．其基本解题策略是利用点到直线的距离公式得到相应的距离函数,再借助求函数最值的方法（如基本不等式法、导数法、数形结合法等）求其最值得到所求最值．     

曲线上一动点到两定点距离之和的最值

运用多种方法,求所给直线、圆、椭圆上一动点到两定点距离之和的最值,以及求椭圆上一动点到一焦点与椭圆内(外)一定点距离之和的最值.     

对新课标选修教材中两个易错问题的辨析

问题1 平面内到定点F的距离比到定直线l的距离大(小)d的轨迹一定是以定点F为焦点的抛物线吗? 　　北师大版新课标教材<数学(选修2-1)>(以下简称新教材)第73页练习2第4题: 　　平面上动点M到点F(3,0)的距离比M到y轴的距离大3,求动点M满足的方程.……     

例谈两距离和最值的求解策略

<正>求解两距离和的最值问题是解析几何中一类常见的题型,其求解的策略主要有利用不等式放缩、三角换元、转化为共线等,本文将结合具体实例进行分类解读,以帮助同学们掌握此类问题的转化技巧.1不等式放缩求距离和的最值例1已知直线l_1:kx-y+4=0与直线l_2:x+ky-3=0(k≠0)分别过定点A,B,     

曲线上一类最值点的求法及应用

我们知道,数形结合是解决某些函数最值问题的一种基本对策,然而,要确定其一图形的极值状态,探求最值点的位置,往往也并非轻而易举的事,本文主要就直线或圆锥曲线上一点到两定点的距离之和(或差的绝对值)的最值问题,进行分类探讨,给出关于最值点位置的一组命题,并运用这些结论解决一类无理函数的最值问题。 1 曲线C上一点P到两定点A、B的距离之和的最值命题1 若A、B两点在曲线C的异侧,则当P在     

转换法求|PA|+|PB|最小值

<正>解析几何中有一类求|PA|+|PB|最小值问题,用距离公式直接求解比较复杂,本文介绍两种常见转换方法.经过转换后,再利用"两点间线段最短"或"点到直线垂线段最短"来解决问题.一、动点过直线,对称转换例1动点P在直线l:y=2x-5上,点A(1,2),点B(2,4),求|PA|+|PB|最小值.解B关于直线l的对称点B′(6,2),     

谈谈圆中的最值问题

<正>圆是数学中优美的图形,具有丰富的性质.与圆有关的最值问题是各类考试的一个热点,其题型丰富多采.本文将就与圆的有关的最值问题进行归纳分析,与大家分享.一、圆上动点到定点(或定直线)的距离的最小值例1平面上有两点A(-1,0),B(1,0),P为     

十年热考,题根研究——阿波罗尼斯圆

<正>上教版高二年级下学期数学练习册22页第4题:已知A,B两点相距10厘米,动点P到点A的距离是它到点B的距离的3倍,求点P的轨迹.公元前3世纪,古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在?平面轨迹?一书中,曾研究了众多的平面轨迹问题,其中有如下结果:到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.     

圆锥曲线中最值问题的求解策略

<正>圆锥曲线中的最值问题是解析几何中常见的问题,既是高考的热点问题,也是难点问题之一,解决这类问题的常用策略主要有:圆锥曲线定义转化法、切线法、参数法、函数法和基本不等式法等.策略一、圆锥曲线定义转化法圆锥曲线定义转化法就是根据圆锥曲线的定义,把所求的最值问题转化为平面上两点之间的距离、点到直线的距离等等,这是求圆锥曲线最值问题的基本方法,其关键是用好圆锥曲线的定义.     

不容忽视的步骤

《中学生数学》2003年12月上期第2页 《导数与解析几何问题》一文中,例1:在x2=2y 上求一点P,使P到直线y=x-4的距离最 短.作者用了以下三种方法来解: 法一为设点法,利用点到直线的距离公式 转化为求二次函数的最值问题.     

两曲线上动点间距离的最大(小)值问题

<正>利用导数求两条曲线上动点间距离的最值,方法之一是转化化归,将动点间的距离问题转化为点到直线的距离问题,而这个"点"一般就是利用导数求得的切点;方法之二是构造函数,求出导数,利用导数求解最值.举例如下:1求两曲线上两动点间的距离的最值例1 (2012年高考新课标理科12)设点     

在创新思想指导下编制的一道解析几何开放题

椭圆、双曲线第一定义 :平面上到两个定点F1,F2 距离之和等于常数 ( >|F1F2 | )的动点的轨迹叫椭圆 ,两距离之差的绝对值等于常数 ( <|F1F2 | )的动点的轨迹叫双曲线 .圆锥曲线第二定义 :平面上到定点的距离与到定直线的距离的比等于常数e的动点的轨迹叫… ,换言之 :平面上到定点F的距离与定直线l的距离的e倍相等的点的轨迹叫… .在创新思想指导下 ,将第一、第二定义剪辑后再嫁接 ,提出开放的新问题 :若动点M到定点F的距离与M到定直线l的距离的e倍的和 (或差的绝对值 )等于常数 ,动点M的轨迹是什么呢 ?以定直线l为x轴 ,过定点F且与l垂…     

探讨一种新曲线

我们知道，平面解析几何中，关于椭圆、双曲线和圆的定义分别由平面上动点到两定点距离的和、差以及商的特征给出的，尚缺一种用积的形式给出的关系式，未免有点美中不足．下面我们就探讨这个问题：     

一道解析几何最值题的多视角研究

解析几何中的最值问题是学生解题中经常遇到的一类问题,它牵涉到很多代数与几何的方法,本文拟从课本上一道例题出发,多角度研究一类最值问题.问题1设P(x,y)是圆x~2+y~2=4上的动点,F(1,0),研究|PF|的最值.分析该问题是课本上一道例题,研究定曲线(圆)上的动点到一个定点的距离的最值问题.     

圆锥曲线的若干类生成问题

在平面解析几何中的轨迹问题,比较有代表性的就是通过具有一定性质的动点来生成某种圆锥曲线.与动点相关联的给定的“参数”有诸如定点、定直线、定圆或给定的某一圆锥曲线,而动点本身可能是具有动态状况下的“参变数”如动圆的圆心、动直线上的某一线段的中点     

椭圆中弦长最值问题的探究

<正>与长度有关的最值问题是解析几何中的常见题型,解这类问题的一般方法是选择一个自变量,利用距离公式,建立函数解析式,分析解析式的结构特征,确定求函数最值的方法,下面举例说明.问题设点B是椭圆x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的上顶点,过点B作直线l交椭圆于另一点A,求|AB|的最大值.分析一因为点B确定,欲确定|AB|,只需确定点A的位置,点A的位置由其坐标来     

圆锥曲线的中点弦的性质及其应用

在平面解析几何中常需要求圆锥曲线的过定点的动弦的中点轨迹。例如,给定双曲线x~2-y~2/2=1,过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于两点P_1及P_2,求线段P_1P_2的中点P的轨迹方程。为了求出P点的轨迹方程,已有各种各样方法:有用直线的点斜式方程的;有用直线的点斜式参数方程的;有用直线的两点式参数方程的;     

利用GeoGebra探索一种新曲线

1问题提出平面解析几何中利用平面内到两定点的距离构造椭圆、双曲线、圆,这三种曲线的构造分别用动点到两定点的距离的和、差、商为定值的形式给出.在四种算术运算中,唯独没有积,那么平面内与两定点距离之积是常数的点的轨迹是怎样的呢?可以利用GeoGebra的绘制隐函数图象的功能进行探索!     

点到直线的距离

空间解析几何的教学中 ,空间点、直线、平面之间的关系是学习的一个重点。点和直线的位置关系包括两种 :点在直线上 ,点在直线外。当点在直线外时 ,点到直线距离的计算随之出现。笔者在教学中发现 ,这一问题的解决可以涵盖空间解析几何教学中两点间距离、向量运算、直线方程、平面方程等诸多知识点。下面以一具体例题说明。例　求点 A( 2 ,4,1 )到直线 L:x+12 =y2 =z-2-3 的距离。解法一　先求过 A点与直线 L垂直的平面方程 .用点法式 ,得2 ( x -2 ) +2 ( y -4) -3 ( z -1 ) =0即 2 x +2 y +3 z -9=0 .　　将直线方程用参数方程表示为x =2…