自我检查练习题答案或略解

一、初中自我检查压 堵*、、、。、。。、,.又b1,努丫,lj尸;‘少乙,。少。;任夕万,二:5)o一21:6)4;7)1;8)>,>,<;9)平行四边形,合(“D一“C,·正方‘或菱,形‘“,各边,各角·2.计算或简化:121)一书 ,勺2’原式一合一矗+ ;90n︸2,上‘.几 R︸。,3 1._O,.~石一—-1一 谷23)-0+aZ+a+14)原式=6了了+4了了一9了了一冬亿万+ ,O杏(“了一)-口5了5一1 ·55)原式~一二李万亿万顽荞万乎=一旦 口-U(b一a)=一“’;6)原式=一一1二一+e t 980 b一a·eos50.1~州3 \矛~e tg80.(一eos50。)一1二3+2召3;7)由图AD tga 2‘一了3二(a一AD)tg日,.’. AD=,一聋…     

上期课外练习参考答案

I初一年级l1.设a一1 虿1十了1十,百1十,i1, 。b一虿1十,了1十,百1十i1, 则原式一n(6 吉)一6(n 吉) 0 O 一吉cn刊一吉.2.’-. 3。”=81’”,4。。。一64’”,5。。。:25’”, 又。.。 81>64>25, .‘. 3。”>4。。。>5。”.3.(1)由题意得:(zy一1)。 1 y 1 l===0. .。.y一一1,z一一1. (2)。-. 2。·5y 2—2002, .。. 2,·5,一2000—2‘·5。, .。.z一4,y一3.原式一1.I初二年级I1.(1)(z。 4z 6)(z。 8z 6); (2)(z 2)(z一5)(z。一3z 8).2.由①得z一6—3y代入②得 6—2(6—3.y)y 2z。一0, .‘..y=1,z=0. ·‘·z一3. .。. z。y’。一3。’。=9.3…     

一个乘法公式的应用

初中代数第二册第116页介绍r可化为巧十农叶b)二+。b型的二次三项式的因式分解,给出r如下公式 了+(a+b),+ab=(J一+u)(:,十方) 此公式的实质在于找出两个数,使它们的和为a+b,积为ab即可. 公式中的,可肴着是个特殊宇f:f,’‘1然也可以是·个解析式(包括数字),‘节握r这·点有时会给解题带来很多方便.例1化简l一‘z(l.十‘“·厂一(“十‘功解:原式二 1一丫〔l+aJ十(a+z今〕(l+‘一、,一(‘,+、,)〕 (l+‘:)(1一‘幻(l+a)(l击二了)(l一a)(l一J) l一(l+沈,)(l一‘,)· .例2解方程5.’“+J一‘r板不巧一2二(). 解:原方程可化为 (屹于丁面)”一…     

上期课外练习参考解答

}初一年级}1.(l)原式-(1+2)+2(1+2)+…+2(1十2)2005、一一副一(1+2)”刊一2(1+2)习+…十2(1+2)“OD石一··一(1十2)200‘~320口6.(2)原式一(1一冬)(1十粤)(1一粤)(1+冬). 乙乙00·(卜赢)(1+赫)一(‘一争(‘一争·.…(l一赢·(1+李)(1+李).艺乙.(1+燕 乙UUO黔 1、,2、,3、,一-只尸入~:,入一万一入 乙J42004、,3、,4丈二代厂二人.二一入一二-乙UU匕艺3,’,d_8_,;日月丁-洲二》一二,目〕 n勺蚂蚁先沿圆柱的、5、,入-弋-入二,入 420062005 1003 2005’高,再沿底面直径爬行,d一h当赢星卫Q旦 Z路程最短. 8_:一气言目习 口此时蚂蚁 2 .02+12+2…     

又一个对数换底公式

设N,>0,a‘>o,a‘笋l(i二1,2,…刀),b、,bZ,…,b。是a,,a:,…,a。的任一排列,则: 1 09。、N 1 1 09。2 NZ’“’1 09。.N。一10“。、N,10“,2N2.‘’10“,.N,(浓) 证明:因b,,bZ,…,b。是a,,“2,一,“,的任一排列,故:l:a,loaZ…loa.一lgb,lgbZ…仅b,这样(浓)式左边 lgN]19无方lgN。一lga x lgaZ“’lga。二右边. 公式(浓)表明:几个对数相乘,任意交换它们的底数,其积不变.计算‘·g:矗‘·93音‘口、,;原式=10只,,·92告lo;3杳例解一10955一210922一310933一2‘二(一2)(一3)(一2)二一12gfJZ计算10、。910:2,4910:,25109。2·解:原式一…     

数列求和几招

一、反序相加 I例l】已知f(x)一 4x 4之+2 ，利用课本中 推导等差数列的前n项和的公式的方法，求 1、._2、._100、。，，_ f(;泞了)十f(共二)十…十f(井共)的和. J、101/’J“101/”J、101曰J‘，n‘ 解若直接代人，计算量很大，注意到自变 量的特征，设x+y二1，则有 4工.4y r LX，州一r气丫)--爪罗下一之二州卜下节宁气尸月二 ~4十乙4少十艺 +(Zn一1)x一‘. 解当x~o时，S。一1; 当x一1时，S，一1+3+5+7+…+(Zn一 1)=nZ; 当x举。且x笋1时，有xs，一lx+3扩+ 5工3+7x4+…+(Zn一1)x”， 原式减上式得(1一x)S，:~1+Zx十2了十 Zx”+Zx性十…     

课外练习

初__年级1.巧求(1/2 1/3 1/5 1/7 1/11 1/13)×385的整数部分. (重庆市江津关滩中学(402288) 杜权新)2.求1000~5 1001~5 l002~5 … 2004~5的个位数字. (广西南丹车河中学(547204) 荚克伦)     

北京市一九九0年高一数学竞赛复试试题及解答

一、(满分30分)填空题 1.若(3二一l)7=a7:, aoz凡 a拼‘ a.:‘十。,x, aZ:2 a:: 。:。求a。 a: a; a。”? 2.已知f(二)=x, (lga 2) :十18乙且f(一l)二一2,又了(二))2:又寸一节:任R都成立。求。十乙一? 3.二平行平面a与声问的距离为8。线段汉’二a,线段仪’二刀.若A刀~8,CD一10.1劝一戎’一6.求异面直线月刀与cD之间的距离。 4.设1990一2‘. 2。: …十2。、,其中a.,a,,…,a.为彼此两两不等的非负整数,求a,十a,一十… a一? 5.已知(:· 。)·与(二· t)(酝· I)恒等。(其中1;‘、,。均为正整数)求}。十乙 日二? 二、(满分15分)设平面a与刀相…     

某些二位数平方的简捷计算

一、十位数字是9的二位数的平方,可以用公式(9。乙)2一(。。乙场).万’来计算.b=其中1,2,3,一9。 ·表示添写符号.如9,8一98;9‘37一937. b表示b关于10的补数:即b一10一b如2一8. ·bZ表示乙的补数的平方所得的二位数字的数,如奈82-.42- 例1 .98=9604·(xo一8)“一·2“=04,扩62=36=(9·8一8·82=(95一2)·22 932=(9·3一3).3多一(93一7),7“=5649 ,二、十位数字是5的二位数的平方,可用公式 (5·b)“=(25+b)·bZ来计算. 例2 .5a2=(5.8)2一(25一卜8)·8“=3364, 53“=(5,3)“=(25+3)·3“=2809. 三、十位数字为4的二位数的平方,可用公式(4,乙…     

1957年度天津、武汉、南京市数学竞赛試题

天津市数学竞安献肠二初赛栽题3.解方程「51,、(ar。。0,吓+。r。,g、/百、1二;- 艺1.一直角三角形的雨腰为a和b,且a边所对的角为一20000(,一,暗):今/气/arC Sln王,/票‘)rl)征明a,b必浦足下面等式: 1109了7万二又a+。) 1/吃) 1~.二,又loga一十jogb). 艺2.解方程粗:(Zx十2!/+3二)“十(3r一夕+:)2一5,(3x一夕+z)(Zx+Zy+3二)~2,2才一州十z~2.业牌拮果化筒. 4.一汽球,以每分撇1仟米的速度由地面上异,10分拔后由观测点D侧得汽球在D的正东,仰角为45。,又10分撞后测得在D之东偏北300,其仰角为600,求夙向与夙速. 5.拭用数学归钠法征明凸n边形对…     

数式求值题几则

‘纯粹的数字求值题用字母帮助思考,往往能把复杂的计算去掉“伪装”,显见其解.有如下几则求值题,不妨一试: 1.计算:〔(l+了r丽豆)‘一(1一丫1习丽)‘〕十(s了丽丽) 2.计算下列29个数的和:87 91 9488 93 91 89 87 92 86 90 92 8890 91 86 89 92 95 88. 3.计算:105:[(2‘+1)(2,+1)(2‘+1)(2‘+1)…(26‘+1)+l〕.4.计算:了乳一30‘2百·28十l5.计算:窃5+2。扫九丁于而6.计算:(10.+324)(22召十324)(34‘+324)(4‘+324)(16心+324)(28‘十324)、(46心+324)(58心+324)不丁气芯石产甲一石只爪不丁丁下几言 L弓乙.州卜O乙4 j LO任’十O乙任夕附:本…     

数学奥林匹克问题选登

1991年12月号I’q题解答 (解答由供题人给出)13.已知。,b是正整数,试证a岛十(a b)2 b护b3 。 2. 证明l)当。,b都是1时,不等式经验证是成立的.2)当a,b不同为l时,显然 aZ十bZ(aZ bZ十ab一1所以 aZ bZaZ bZ ab一l是真分数.而。一b 2是整数.故恒有: aZ bZ了厂下一二丁一下一二尸--气.于二a一Od~乙口一州产口一~rao—l 化简后即得a3 (。 乙)’ 乙并63 。 2 结论此式在a,b为正整数时是永远成立的. 14.试证下不定方程有无穷多组正整数解: e=2, 由3。=5。有3(3a 1)=5(5‘ 1),即有 ga=25b 2或 ga=27b一2(b一l)(2) 因题意要求。,b为正整数,而由(2…     

问题与解答

一、本期问题 1若f(二+1)=!万一1:,求f(1987)=? 2对之1 im(1.+2“+3“+…+1985t)笼In 3求函爹刀二(x一1):十(x一2广+…十 (x一3969)忍取得最小值时的x值. 大悟县三中郭炳坤提供 4己知,为任意实数,求二次方程二名+二x+(”*1)〔”+2)(”+3)(”+4)+5/4=0恒有实根时佗的取值范围. 5已知△ABC的三边为a、b、e,且a,+b,+C,二ab+西c+ca,问△A刀c是怎样的三角形? 6在△ABC中,已知乙A二600,a=1,求证b十‘(2. 江西泰和中学凌全华提供 7已知AD、BE、CF是△ABC的三条高,AD》BC,BE》AC,求证CF二AB/2。 8等腰三角形的面积和周长被平行于底边的…     

不同解法引发的思考

一、题目已知:sin100一a,求 3sinZ 400 1eos240o’ 解法一原式一3eos2400一sin2400 sinZ 400eos2400Zeos240o一1十eos2400一sin240o 1 sinZ 40·eos2400eos800十eos800 1 Zeos800十1(合·‘n80。’2生SinZ 50。4s全n100一a,.’.eos10o气/1一aZ,浦才一丝土互-一旦生巴_、、一1,,,、1一矿- —气1一a一) 4解法二原式一(扁)2一(赢)2一(磊 赢)(磊一赢)4只(么。54。。 李sin40·)(李cos4。。一李sin4。·) 艺乙乙‘(sin400eos400)24eos100eos700 16eosloosinZOo__一士上二二竺上二全竺兰止-一华诀止共二二-一32a. ,1.八_。、。eos乙10“ (令si…     

平方差公式的妙用

平方差公式 o,一去,卿(。+‘)(a一b)是大家安硒的.这里我们介绍它在一类数列的求和与承积中的妙用. 翻1求:+s+…+(:。+一)(”〔N)的值. 筋:.,”+r.〔(。+z)阵,〕·z .〔(人+一)+。〕·〔(n+一)一,) .(”+J)一。吕. .’.原式.(2,一1)+(少一2“)+…+(。十1),一丹‘. .”‘+2”.例生求扣卜l1.·…(”一‘+1汹你娜2二(企二一1,(21+一、(:,一r)2:’一’十1二一、.2里 2忿一1一1原式二(2:+一)(2:+z)(:。+1)…(2:‘一‘+i) l忿2:一l夕攀一l一1—一’“”’一二f-22一1 .2 似上解法,的差积变形上. 二、.二一之.妙在何处釜妙就妙在刊用平方差公式例l…     

利用复数的除法证明不等式

25一2 妻 设。、b、c、‘都是实数,则 a+b‘ac+b‘.be一ad, 一丫-一石号-一犷气一~万了呀~一,~下一石,否 C十心忿C一十已.C一十『’(·+专)’十(,+合)’这是大家熟知的复数的除法运算.用它来处理一些不等式的证明,不仅简单明快,而且给人享受数学的奇异之美. 例1如果a,b为实数,那么aZ+b,)2a6(当且仅当a二b时取“=”号). 证①当a二b二O时,命题为真. ②当a,b中至少有一个不为零时 构造复数a+b‘与b+a‘(a,b任无) 由(a+b‘)/(b七a‘)=(ab+ba)/(a,+b.)+(bZ一aZ)‘/(a,+bZ)(:,少eR)构造复,(·十约十(;十分与1·、‘, 谧(·+专)+(;+韵‘ 1十落(…     

算术平均—几何平均不等式的一个证明

设a:、 a盆、al+aZ 怜a。是正数,则有不等式~习可可不瓦一 一bK+‘)+…十bK+‘(戈一b)〕设￡‘一b‘=(,一b)(%‘+‘+x‘+“b千…+b‘+1)=(戈一b)Pi1=式中等号当且仅当a,二a:二…二a。时成立。证明用数学归纳法,n=2结论显然成立。 假定n=K时成立,则 月二(a:+a:+…+a尤)+a尤+l 一(K+1)K+‘侧瓦瓦二花订万 )K大访瓦瓦下砰而瓦 一(K十l)K+’了面瓦不石石万…(1) 设K+‘亿面万丁=、 K!K十’V而二ha二b,(1)式右(P‘>0了 i=(%)2,一,K),乡}}}(戈一b)2(P尺+P万*:b十 卜P工石K+l) 户K+夕K*声+….’.f(二)>O,A) ‘.。十…(2)+P tbK+‘>00即a…     

1993年高考试题解法集锦 理科第(29)题别证

题 :已知关于:的实系一数方程:,十‘I:十b二0的两实数根a、刀,证明: ①若}司<2,}川<2,则2}a}<4+b且!b,<4, ②若2 la}0,即(」+吞)2>4a2, 4+b)O,.’.2!a}(4+吞,即2!。}’<4+‘且}川<4成立. ②’.’2}u】<刁+6且1乙}(4,则(4+6)2一礴‘:,=(a,一4)(声2一d))0且1 al·}刀{(4, aZ(d,刀Z<刁…     

一个与一元二次方程有关的递推式及其应用

因为。、b是一元二次方程护一(。十b):十动~0的两个根,设S。一a0十b0,S,一。 b,则 吕2二。2 乙2,月2一(a b)51 ab月。~0 名。=a3十乙3,53一(a 乙)82 汕S,~0 5.~a’十b’,S。一(a b)S.一‘十动价一:二0即有当、)2时,有递推式S一(a b)S一, ab^9一2一0(,) 因为递推式由一元二次方程推出,结果又与一元二次方程极其类似,所以它与一元二次方程同样有较大用途,下举数例说明. 例l若,,‘,=,,‘ l,。’一。 l、且,,‘共、,则1,l” 沪一(江苏省第四届初中数学竞赛试题). 解由,,‘,~,,‘ l,、,=n l,且,,‘护n知:1。,、是一元二次方程二,一二一1一0的…     

对一道赛题解法的探究

1986年全国数学竞赛第设实数u、b、。满足 l丫一bc一sa+7=()·试第1题第咬3川、题为:那么“的取值范It1是①② !扩+扩+b‘、一6a+6=‘j(A)(一co,+co);(I弓)(一oo,1 JU〔9,+co);(C)(0,7);(I))r 1.9〕.标准解答是,山题给条件得lbc三丫一sa+7l夕十已+bc=6“一6②一①x3得(l,一‘〕’=一3(‘,一)(u一冬,)③ .’一3(a一l)(u一9))(),故l石a石9 答案为(u). 我们认为此种解法不妥。因为.若口)十(劲,得 (b+‘.)二丫一2“十l=(‘:一I)④ bc〔R.而(“一l)J要0二‘一co<‘,<十oo,答案应为(A). 又若将①代人②得 粉+‘“=一丫+14‘,一13二一(‘,一1)…