三角函数的图象和性质

1.本单元重、难点分析本单元的重点:1)正弦函数、余弦函数、正切函数的图象及其性质(包括定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性)的推导、理解及应用.2)函数y=Asin(ωx φ)图象的基本作法“五点法”和“图象变换法”.3)已知三角函数值求角.本单元的难点:1)利用正弦线画出函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象,利用正切线画出函数y=tanx,x∈[-2π,2π]的图象,利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线,要注意到由数到形、由形到数的转换,并理解周期函数与最小正周期的意义;2)弄清函数y=sinx与函数y=Asin(ωx φ)的图象的关系,注意三个参数A,ω,φ对图象…     

一套易错的三角基础题

一、判断下列命题的真假: 1.已知α、β均为第一象限的角,且α>β,则 sinα>sinβ一定成立。 2.若0≤x≤2π,则函数y=(sinx ctgx)/(1 tgx)的定义域为x≠3/4π或x≠7/4π。 3.函数y=cosx在区间[0,2π]上是偶函数。     

一道三角函数题参考答案的探究

<正>近日做到这样一道题目:已知f(sinθ)=cos2θ+cosθ.(1)求y=f(cosx)解析式;(2)求(1)中函数在x∈[0,π/2]上的最大值和最小值.参考答案是:解(1)∵cosx=sin(π/2-x),∴y=f(cosx)=f[sin(π/2-x)]=cos[2(π/2-x)]+cos(π/2-x)=cos (π-2x)+sinx=-cos2+sinx=     

用基本不等式法求y=x+(a2/x)(x>0)的最小值

题设x∈(0,π/2)],求函数y=sinx (4/sinx)的最小值. 文[1]例6认为,求此类函数的最小值不能用基本不等式法.考虑到持此类错误观点者不在少数,笔者认为有必要予以纠正.     

我是这样画正余弦函数图像的

<正>人教版高中数学必修4中讲述了利用正弦线画正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图像的方法,在实际作图过程中有些困难,不太好操作,我把书中的方法作了改进,可以非常顺畅地完成整个过程,快速准确地画出正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图像,下面是具体的操作过程,与大家共享.     

"双勾"函数的性质及在高考题中的应用

1问题的提出已知x∈(0,π),求y=2sinx sinx2的最小值.错解:∵x∈(0,π),∴sinx>0,由均值不等式2sinx sinx2≥22sinx·sinx2=2·故ym in=2·显然这是个错误的结论.因为当且仅当2sinx=sinx2时才能取最小值.而此时sinx=2(矛盾)·那么如何解决这一问题呢?我们还是先回到基本函数的性质分析,利用单调性来求值域.2“双勾”函数的性质引题求作y=x 1x(x≠0)的函数图像并判断其单调区间.利用描点法(或作y=x与y=1x叠加)作图如下:①从图像可见y=x 1x的图像在y=x与y=1x之间.在(0,1)为减函数,在(1, ∞)为增函数.当x=1时,ym in=2·②f(x)为奇函数,图像关于…     

一道填空题(2018全国卷Ⅰ)的多种解法

<正>题目(2018全国卷Ⅰ理16)已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是___.解法一(导数法):由sinx的周期为2π,sin2x的周期为π,而2π和π的最小公倍数是2π,∴函数f(x)的最小周期为2π,在[0,2π]上考虑其最小值.f′(x)=2cosx+2cos2x=2(2cosx-1)(cosx+1),令f′(x)=0,得cosx=-1或cosx=1/2,     

一类重要函数的探究教学与反思

1情境创设,激发探究问题1求函数y=sinx si2nx,x∈(0,2π]的最小值.教师从一个学生错题引入,达到激发学生好奇心和发现欲,引起认知冲突的目的.从而引发对函数f(x)=x 1x性质与图象的探究.图12导学助学,引导发现问题2通过各种方法,请尽可能多地归纳函数f(x)=x 1x的性质.通过教师创     

关于二重三角级数的有关讨论

文 [1 ]对形如 ∑∞n =0 ∑∞m =0amncosmxcosny等二重三角级数的和函数进行了研究 ,并证明了其范数‖f(x ,y)‖ p =∫π-π∫π-π｜f(x ,y) ｜p1 dx p2 /p1 dy1/p2 <∞所满足的几个不等式 .本文在此基础上对有关问题作了讨论并得到进一步的结果     

三角代换在解题中的应用

三角代换是数学中的一种重要代换,下面就几个典型例题说一下三角代换在解题中的应用.一、利用三角代换求函数值域或最值例1求函数的y=x+1-x2的值域分析:此题首先观察到函数定义域[-1,1]与正弦函数值域一致,因此可考虑用三角代换.解:令x=sinθθ∈-2π,2π则y=sinθ+1-sin2θ=sinθ+cosθ=2sinθ+4π由-2π≤θ≤2π有-4π≤θ+4π≤34π所以-22≤sinθ+4π≤2函数值域:[-1,2]例2求函数y=1+2cos2x-1+2sin2x的最值分析:不难发现(1+2cos2x)2+(1+2sin2x)2=4因此可联想是否可用平方三角代换呢?解:由(1+2cos2x)2+(1+2sin2x)2=4可设1+2cos2x=2sinθ…     

由tanψ=b/a确定ψ行吗?

解题中我们常用到asinx +bcosx =a2 +b2 sin(x +ψ) ,但若只知其中tanψ =ba,就会出现问题 ,下面通过实例进行探讨 .例 1　已知x∈ [0 ,π2 ] ,求函数y =3sinx -cosx的值域 .分析　函数 y =3sinx -cosx可变为y =2sin(x +ψ) ,其中tanψ =-13 .若取 ψ =-π6,则 y =2sin(x -π6) ,x -π6∈ [-π6,π3 ] ,　∴　y∈ [-1,3 ] .若取 ψ =-5π6,则 y =2sin(x -5π6) ,x -5π6∈ [5π6,4π3 ] ,　∴　y∈ [-3 ,1] .得出了不同结果 ,哪一个对呢 ?难以确定 .这表明仅由tanψ =ba确定 ψ不行 !图 1那么如何确定 ψ呢 ?考虑asinx +bcosx =a2 +b2 sin(x…     

三角函数例析

一、复习导引 三角函数是高中数学的基础知识,是高考考 查的重点内容之一.高考主要考查三角函数的 图象、性质,以及结合三角变换求三角函数值. 在复习时,既要注重三角知识的基础性,突出三 角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性 等性质,以及化简、求值和最值等重点内容的复 习,又要注重三角知识的工具性,突出三角与代 数、几何、向量的综合联系,以及三角知识的应用 意识. 二、例题分析 例1　已知y=sin2x-π6,以下说法 正确的是(　　) (A)周期为π4 (B)函数图象的一条对称轴为直线x=π3 (C)函数在2π3,5π6 (D)函数…     

互反函数一个结论的修正及应用

文 [1 ]给出了函数与其反函数图象交点位置的一个结论 :如果函数 y =f(x) (x∈A)在定义域A中是单调函数 ,那么它与其反函数图象的交点必在直线 y =x上 .其实 ,上述结论是错误的 .现给出两个反例 .图 1　反例 2图反例 1　函数 f(x)=1x,x∈ ( 0 ,+∞ )在定义域上单调递减 ,其反函数为其本身 ,故它们的函数图象重合 ,交点有无数个 ,但在直线 y =x上的交点只有 ( 1 ,1 ) .反例 2　文 [2 ]给出函数 y =ax 与其反函数y =logax的图象 ,当 0   

运用转轴法探究双曲线y=ax＋b／x的几何特征

文 [1]着重探索函数y =ax + bx (ab≠ 0 ) (1)的应用价值 ,文 [2 ]运用判别式法验证了函数 y=(ax +c) + bx +d(ab≠ 0 )的图象是双曲线 ,本文运用转轴法来探究双曲线 (1)及其平移状态的几何特征 .引理 1　对于双曲线 (1) ,当b >0时 ,把直线 y=ax到y轴的角的平分线记为x′轴 ,则x轴到x′轴的角θ1=π4 + 12 arctana ;当b <0时 ,把 y轴到直线 y =ax的角的平分线记为 y′轴 ,则 y轴到 y′轴的角θ2 =θ1=π4 + 12 arctana .证　如图 1,当b >0时 ,θ1=12arctana + π2 - 0 =π4 + 12 arctana ;当b <0时 ,θ2=12π2 + (π +arctana) - π2 =π4 +…     

综合题新编选登

题176已知过椭圆C:xb22 by22=1(a>b>0)右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A,B两点,N为弦AB的中点;又函数y=a·sinx 3b·cosx的图象的一条对称轴的方程是x=6π.1)求椭圆C的离心率e与kON;2)对于任意一点M∈C,试证:总存在角θ(θ∈R)使等式:OM=cosθOA sinθOB成立.解1)函数y=a·sin     

运用sinx=a,cosx=b a~2 b~2=1进行代换解三角题

代数在三角和几何上的应用非常广泛,某些三角问题,如证三角恒等式、解三角方程、解三角不等式等,如能转化为代数问题来解,往往较之纯用三角知识来解会更顺利和简捷。如令sinx=a,cosx=b,则由 sin~2x cos~2x=1,得a~2 b~2=1。于是可得代换公式{sinx=a,cosx=b a~2 b~2=1}。本文拟用{sinx=a,cosx=b a~2 b~2=1} 进行代换,探索三角问题转化成代数问题的解法。现举例供参考。例1解方程1/(sinx) 1/(cosx)=2。解设sinx=a,cosx=b,则原方程化为方程组     

求函数f(x)=(sin~mx/a)+(b/sin~mx)的最小值简法

很多数学参考书上都有这样一道题:设函数∫(x)=sinx/2+2/sinx(0相似文献   

2004年普通高等学校春季招生考试(北京卷)数学(理工农医类)试题及参考解答

1.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. (1)在函数y=sin2x，y=sinx，y=cosx，y=tgx/2中，最小正周期为π的函数是().     

“巧”用定义域求值域?

本斑黑板报《数学园地》的小编者们,在第20期上以“巧用定义域求值域”为题刊出了某同学的问题及解法: 求函数y=arecos(x~2-1/2x 1)的值域. 解:先求定义域:要使函数y=arccos(x~2-1/2x 1)有意义,必须-1≤x~2-1/2x 1≤1,解不等式组 x~2-1/2x 1≤1,x~2-1/2x 1≤-1 得0≤x≤1/2,根据反余弦函数的单调性有:π/3≤arccos(x~2-1/2x 1)≤π/2,即函数的值域为[π/3,π/2] 数学趣味小组的同学利用黑板报来研讨问题,促进数学水平的提高,我多次给予鼓励和肯定.但也不可避免地出现一些错题和错解,这正为教师发现问题和改进教学提供了信息. 其实上述解答是错误的.事实上,函数y=     

L_1中Jackson型不等式中的精确常数

§1.前言设L_p[0,2π]=:L_p,1≤p<∞表示定义在[0,2π]上p次可积的函数空间,L_p~r(r=0,1,…,L_p~o=L_p)表示f~((r-1)在[0,2π]上绝对连续且f~((r))∈L_p的函数的全体,C_([0,2π])~r=:C(r=0,1,…,C~o=C)表示定义在[0,2π]上r次连续可微的函数空间.L_p~r,C~r分别表示L_p~r及C~r中可以以2π为周期延拓的子集.记 W_p~r={f:f∈L_p~r,||f~((r))||_p≤1},(1.1)W_p~r表示相应的2π周期的函数类.设N为L_p中的函数集,量 E(f,N)_p=inf{||f-u||_p,u∈N} (1.2)称为f在L_p尺度下的最佳逼近.量