幂指函数图象的交点问题

在教学函数时,有这样一个问题:函数y=2~x与y=x~2图象的交点个数为()A.1B.2C.3D.以上都不对这是一个指数函数与幂函数图象的交点问题.大多数学生通过画草图得出第一象限和第二象限各有一个交点,选B.其实上面两个函数图象在第一象限内有两个交点(2,4)、(4,16),正确答案应为C.这说明仅凭草图找交点是很容易出错的.那么,一般的指数函数y=ax(a>0且a≠1)与幂函数y=xn(n∈Q)图象的交点情况又如何呢?大家知道,这两个函数图象的交点问题实际就是方程ax=xn根的问题.显然当n=0时,方程ax=x0没有实根,函数y=ax(a>0且a≠1)与函数y=x0图象无交点.下面我…     

与反比例函数的图象有关的面积问题

以反比例函数的图象和性质为载体,与三角形、正方形、圆等几何图形的面积相关的综合性问题,作为一种新颖的试题,在中考或数学竞赛试卷中频频出现,这类问题将函数知识与平面几何知识有机地融合在一起,要求解题者不仅掌握反比例函数的图象和性质,而且要熟悉平面几何图形的性质,因而这类试题倍受命题者和中学生的青睐.例1(自编题)已知正比例函数y=ax和y=bx,(a>0,b>0)的图象与反比例函数y=2xc,(c>0)的图象在第一象限内分别相交于点A,B,过点A作x轴的垂线,垂足为C,过点B作y轴的垂线,垂足为D.记△AOC,△BOD的面积分别为S1和S2,则S1和S2的大小关系怎样?解析在如图1中,设点A(x1,y1),B(x2,y2),则S1=21x1y1,S2=21x2y2,而点A,B都在反比例函数y=2xc,(c>0)的图象上,所以,x1y1=2c,x2y2=2c,所以S1=S2.图1图2例2(改编题)已知,如图2,正比例函数y=k1x与反比例函数y=kx2的图象相交于A,B两点(k1>0,k2>0),A点坐标为(4,2),分别以A、B为圆心的圆与x轴相切,则图中两个阴影部分面积的和为.解析由反比例函数的图象关于原点对...     

函数y=x2与y=ax的图象交点个数探究

北师大版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第3.6节"指数函数、幂函数、对数函数增长的比较",借助"列表法"与"图象法"得到了函数y=x2与y=2x的图象在第一象限内有两个交点,那么函数y=x2与yax(a＞0且a≠1)的图象在第一象限内是否一定有两个交点?如果不是,交点情况又如何?本文拟对此作一探究.     

函数y=a~x(a>1)的图象能与直线y=x相交吗?

我们的数学教材中 ,讨论指数函数y =ax(a >0 ,a≠ 1)和对数函数y =logax(a >0 ,a≠ 1)时 ,在a >1的情况下 ,所列举的几个函数的图象与直线y=x均没有公共点 ,那么是否当a>1时 ,函数y =ax,y=logax的图象与直线y=x均没有公共点呢 ?其实不然 ,因y=logax的图象与y=ax 的图象关于直线y =x对称 ,现以y=ax 为例说明这个问题 :作函数y =ax -x(a>1) .先求出函数y =ax -x(a>1)何时取得最小值 .求导 ,得这个函数的导函数y′ =axlna -1.令y′ =0 ,得axlna =1因为a >1,所以lna>0 ,上式两边取自然对数得ln(axlna) =0 ,即xlna lnlna =0所以x=-lnlnalna类似上…     

2007年普通高等学校招生全国统一考试 (辽宁卷)数学(理科)

一、选择题:本大题共12小题,共60分1.设集合U={1,2,3,4,5},A={1,3},B={2,3,4},则(∪A)∩(∪B)=()A.{1}B.{5}C.{2,4}D.{1,2,4,5}2.若函数y=f(x)的反函数图象过点(1,5),则函数y=f(x)的图象必过点()A.(1,1)B.(1,5)C.(5,1)D.(5,5)3.若向量a与b不共线,a·b≠0,且c=a-aa··bab,则向量a与c的夹角为()A.0B.6πC.3πD.2π4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7 a8 a9=()A.63B.45C.36D.275.若θ∈43π,45π,则复数(cosθ sinθ) (sinθ-cosθ)i在复平面内所对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.若函数y=f(…     

初三代数第二学期自测题

注 :本卷检测内容为 :代数第十三章函数及其图象与第十四章统计初步A组一、填空题 (每小题 3分 ,共 2 4分 )1 .已知点M(a+1 ,2 -a)的位置在第一象限 ,则a的取值范围是 .2 .函数y =x+2|x|-1 的自变量x的取值范围是.3 .已知直线y=kx +b经过 ( 2 ,0 )和 ( 0 ,-1 )两点 ,则k= ,b=.4.反比例函数y=kx1-2k,当x=12 ,y =;当x>0时 ,y随x的增大而 .5 .已知一次函数y =kx +2 ,请你补充一个条件,使y随x的增大而减小 .6.若 8个数据的平方和是 2 0 ,方差是 2 ,则平均数是 .7在数据组 :-1 ,0 ,4,5 ,8中 ,插入一个数据x ,使得该数据组的中位数为 3 ,则x=.8.…     

新题征展(133)

A 题组新编1.设函数y=f(x)在定义域D上可导,且a∈D,则(1)函数y=f(x)的图象关于点(α,f(α))对称( ←→)函数y=f'(x)的图象关于直线x=α对称;(2)当f'(a)=0时,函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称( ←→)函数y=f'(x)的图象关于点(a,f'(a))对称.     

我为高考设计题目

题1已知函数y=kx与.y=x~2+2 (x≥0)的图象相交于不同两点A(x_1,y_1), B(x_2,y_2),l_1,l_2分别是y=x~2+2(x≥0)的图象在A,B两点的切线,M,N分别是l_1,l_2与x轴的交点,P为l_1与l_2的交点. (1)求证:直线l_1、y=kx、l_2的斜率成等差数列;     

关于函数y=lg(cx+d)/(ax+b)图象的对称问题

函数y=lgx-1x+1是奇函数,它的图象关于原点对称,而象函数y=lgx-1x+3,它没有奇偶性,但其图象会不会关于非原点的某特殊点对称呢?事实上,y=lgx-1x+3=lg(x+2)-1(x+2)+1,显然,它的图象可以由奇函数y=lgx-1x+1的图象向左平移2个单位得到,所以函数y=lgx-1x+3的图象关于点(-2,0)对称.一般地,我们可以得到函数y=lgcx-dax+b(ad≠bc,ac≠0)的对称中心,分两种情形:情形1 ac>0不妨设a,c均大于0.若a,c均小于0,则y=lgcx+dax+b=lg-cx-d-ax-b=lgnx+n′mx+m′,其中m,n均大于0.结论1函数y=lgx-mx+m(m≠0)是奇函数,它的图象有对称中心为原点(0,0).∴f(2)+f(-2)=…     

一道高考题的推广

本文将对2007年高考试题北京卷第20题第3问的结论进行研究和推广.2007年北京文科卷第20题:已知函数y=kx与y=x2 2(x≥0)的图象相交于A(x1,y1),B(x2,y2),l1,l2分别是y=x2 2(x≥0)的图象在A,B两点的切线,M,N分别是l1,l2与x轴的交点.1)求k的取值范围;2)设t为点M的横坐标,当x1相似文献   

关于指数函数增减的速度

在E. C.伯莱藏斯卡娅等著赵慈庚译的《代数及三角习题汇编》(人民教育出版社1957年版)的第69页,指数函数一节中有这样两个题: 第12题当变数x增加的时候,两指数函数y=2~x,y=(2~(1/2))~2的哪一个上升得快些?答:[y=2~x)。第13题当变数x增加的时候,指数函数y=(1/2)~x,和y=(1/3)~x哪一个下降得快些?答:[y=(1/3)~x] 在y1=2~x与y2=(2~(1/2))~x的两函数中,都恒为正值,且是递增函数,但究竟哪一个上升得快些? 若从指数函数的图象来看,y1=2~x与y2=(2~(1/2))~x两函数图象都是上升的。且当x<0时,y1=2~x的图象在y2=(2~(1/2))~x的图象的下方;当x=0时,两函数图象重合;当x>0时,y1=2~x的图象已上升到y2=(2~(1/2))~x的图象的上方。这反映了两函数图象上升的速度不     

函数图象与其反函数图象对称的浅显证法

1　课本内容安排上的弊病体现反函数图象之特点有定理　函数y=f(x)的图象和它的反函数的图象关于直线y=x对称.这是现行高中《代数》上册中有关反函数的一个重要定理.其证明是基于两点的距离公式P1P2=(x2-x1)2 (y2-y1)2,其中(x1,y1)(x2,y2)分别是点P1、P2的坐标.设M(a,b)是y=f(x)上的任一点,则M′(b,a)便是y=f-1(x)之图象上的一点.这时,利用上述距离公式可证:对y=x上任一点P(c,c),都有PM=(a-c)2 (b-c)2=(b-c)2 (a-c)2=PM′.于是,由P是y=x上任一点,可知M、M′关于直线y=x对称(图1).因M是y=f(x)图象上的任一点,故知y=f(x)的图象与y=f-1(x…     

函数的图象与性质

本讲主要讨论函数图象的三种变换:平移、对称、翻折,并介绍如何利用函数的图象解题.1)函数图象的平移变换是指函数y=f(x)与y=f(x a) b的图象间的关系:函数y=f(x a) b的图象是由函数y=f(x)的图象,沿x轴方向向左(a≥0)或向右(a<0)平移|a|个单位,再沿y轴方向向上(b≥0)或向下(b<0)     

用点到直线距离公式解决与函数相关的问题

点P(x,y)到直线Ax By C=0距离为d=|Ax By C|/A~2 B~2,当P(x,y)在函数y=f(x)上时,该公式变为d=|Ax Bf(x) C|/A~2 B~2,本文通过引进函数y=f(x),借助该公式解决一些与函数相关的问题.1.求函数单调性例1求f(x)=|x 2-1-x2|的单调区间及单调性.分析把函数f(x)作为点线间距离,借助图象,看x变大时,该距离如何变?图1例1图解函数的定义域是-1≤x≤1,令y=1-x2,即x2 y2=1,y≥0.如图1,所以f(x)=|x 2-y|=|x 2-y|2×2,几何意义:半圆上动点M(x,y)到定直线l:x-y 2=0的距离的2倍.由图1知使OB⊥l时,B到l的距离最小,显然OB:y=-x,由x2 y2=1,(y≥0),y=-x,…     

“指数函数”诗鉴赏

指数函数多个图象象束花,( 0 ,1 )这点把它扎.撇增捺减无例外,底互倒时纵轴夹.x =1为判底线,交点y标看小大.重视数形结合法,横轴上面图象察.此诗每行字数相等,且押了“浕”韵,读来倍感顺口,内容简洁明了,使读者在无形之中把指数函数图象的特点牢记于心.我们都知道,一般地,把函数y =ax(a>0 ,且a≠1 )叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R .由定义可知道,像y=x4,y =- 4x,y =4x2 等函数都不是指数函数,而y =2 x,y =12x,y =132 ,y =3x这些就是指数函数.图1　指数函数图象图1所示的就是上面举的指数函数的图象.不难看出,它们就像一束花.…     

互反函数一个结论的修正及应用

文 [1 ]给出了函数与其反函数图象交点位置的一个结论 :如果函数 y =f(x) (x∈A)在定义域A中是单调函数 ,那么它与其反函数图象的交点必在直线 y =x上 .其实 ,上述结论是错误的 .现给出两个反例 .图 1　反例 2图反例 1　函数 f(x)=1x,x∈ ( 0 ,+∞ )在定义域上单调递减 ,其反函数为其本身 ,故它们的函数图象重合 ,交点有无数个 ,但在直线 y =x上的交点只有 ( 1 ,1 ) .反例 2　文 [2 ]给出函数 y =ax 与其反函数y =logax的图象 ,当 0   

一个定理的再推广

文[1]对文[2]中的定理推广为:若方程x f(x)=m和x f-1(x)=m的根分别为a,b.则a b=m.经类比探讨,笔者得到如下结论.定理若方程x·f(x)=m和x·f-1(x)=m分别有唯一根a,b.则a·b=m.该定理的证明用到类似文[2]的引理:若函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点为P(x0,y0),则点P′(y0,x0)一定是函     

对互为反函数图象对称关系的证明过程的注记

关于函数与其反函数的图象间的对称关系有:定理　函数y=f(x)的图象与其反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称.从教材[1]上对其证明过程来看,证明了两个结论:1.函数y=f(x)图象上任一点M关于直线y=x的对称点M′都在y=f-1(x)的图象上;同时,2.函数y=f-1(x)图象上任一点关于直线y=x的对称点也都在y=f(x)的图象上.若仅仅证明结论1,可否说明y=f(x)与y=f-1(x)图象关于直线y=x对称?回答是否定的,事实上,只要对本节(P62)中例1稍作改造,就构造出一个反例:y=3x-2(x∈R ),y=x 23(x∈R)易见对y=3x-2(x∈R )图象上任一点,关于直线y=x的对称点都在y=x 23…     

巧用《几何画板》探求两函数“交点的个数”

在教学中,我们经常遇到求两个函数的交点个数或一个函数的零点个数问题,而这些函数中常常含有指数函数、对数函数、幂函数等等超越函数,若能巧妙地利用几何画板进行探求,就能顺利获解.下面就举几例说明,供大家参考.一、探求函数y=ax与y=xa(a>0且a≠1)的图象在x>0时交点的个数1.问题:(高一教材(人教A版必修1)同步作业第53页第4题):问函数y=2x与y=x2的图象在x>0时有几个交点?学生的主观错误:许多学生根据所画的局部图象,错误地认为两个函数只有一个交点.图12.(1)利用几何画板画出两函数的图象容易发现有两个交点,但是两个交点不十分明显;(2)…     

函数图象交点个数的确定

函数图象交点个数问题 ,是经常出现在各种练习和各类考试中的一种题型 .它的常规处理方法是运用“数形结合”的思想 .但是 ,“数形结合”并不总是有效的 .例如 ,要求函数y =2 x 与y =x2 的图象的交点个数 ,第二象限的交点是很明显的 ,但第一象限的两个交点却很难看出 ,除非学生看出当x =2时图象相交 ,而且要理解指数函数的增长速度比二次函数更快 .但是 ,如果这个题改为“函数 y =3x 与 y =x2 的图象的交点个数”呢 ?我们看不出相交的特殊点 ,怎么办 ?运用微积分的简单知识 ,可以更一般的解决这个问题 .定理　当a =ebe 时 ,函数y =ax(a >1)…