平分火腿三明治

用两片不同颜色的面包,中间夹一片火腿,做成一个火腿三明治.问只切一刀就将这个三明治的三层同时分成等体积的两半,这个切法一定存在吗? 我们先来看平面上的一个简单情形. 对于平面上的一个任意形状的封闭图形,用一条直线将它平分为面积相等的两半,这样的直线一定存在吗?若存在,有多少条? 特殊地,如果这个图形是圆,那么很容易得到,通过圆心的任意一条直线,都将该圆平分为等积的两半(两部分不仅面积相等,而且     

第十九届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题及解答

一.(满分20分)一次测试,要求画出以下左图为三视图的几何体的直观图.小明成功做出了直观图,见下右图.测试之后,小明仔细端详三视图和它的直观图,看看能画出几种形状的截面;又联想以往研究过的图形,突发奇想:如果这个七面体是个橡胶实体,它是不是可以充当一些异性瓶口的塞子呢?沿着小明的思路,试回答下面的     

第十九届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题及参考解答

<正>一、在一次测试中,要求画出以图1为三视图的几何体的直观图.小明成功做出了直观图(图2).测试之后,小明仔细端详三视图和它的直观图,看看能画出几种形状的截面;又联想以往研究过的图形,突发奇想:如果这个七面体是个实体,它是不是可以充当一些异形瓶口的塞子呢?沿着小明的思路,试回答下面的问题:     

二次曲面作图的原理和技巧

在一般解析几何课本中讨论和绘制二次曲面的图形,都是采用“平行截线法”,即是用平行于坐标平面的平面去截二次曲面,得到平截线,这样的平截线是二次曲线,画出一些这样的二次曲线及二次曲面的轮廓线,即得所要求作的二次曲面的近似形象的方法。但是为什么和怎样把它们画成那个样子?其作图原理是什么? 解析几何课本中的二次曲面,如中学立体几何课本中的直观图一样,都是根据轴测投影的原理来画的。在学习数学中,经常要画直观图。我们知道,正确的直观图能明显地表示出空间形体的几何关系。通过直观图的直观作用,对原有空间形体产生了清楚的观念,这样有助于对图形性质的理解,从而使我们在进行定理论证或习题解答时的逻辑推理导向正确的途径。在数学教学工作中,也经常要画黑板图和直观挂图。成功     

图形在平面直角坐标系中的位似变换

<正>图形在平面直角坐标系中的位似变换及变换前后对应点的坐标有何规律?请看下面两个例题:例1如图1,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(2,-2),B(1,1),C(6,2).以原点O为位似中心,在y轴右侧,画出△A_1B_1C_1,使△A_1B_1C_1与△ABC的位似比为2:1,并写出点C_1的坐标.     

学习平面直角坐标系需要“七个明确”

一、明确为什么要学习平面直角坐标系大家都知道,在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系,简称直角坐标系.利用直角坐标系可以确定平面内任意一点的位置.有了坐标系就建立了平面上的点与有序实数对之间的对应,于是就有函数     

谈函数与图象以及曲线与方程之间的关系

在函数内容的学习中，我们知道，二次函数y=ax^2＋bx＋c（a≠0）的图象是抛物线．抛物线具有明确的几何特征：即平面内与一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹．在解析几何中，我们常常由图形的几何特征，借助平面直角坐标系，建立曲线的方程，由方程研究曲线．下面借助二次函数来说明函数与图象以及曲线与方程之间的关系．     

多边形的剪拼

把一个平面图形沿某些直线剪切有限次,若剪得的几块图形能不重复地拼成另一个平面图形,则按照同样的剪法,也可把第二个平面图形拼成第一个平面图形.这时,称这两个平面图形可以互相剪拼. 显然,两个平面图形若能互相剪拼,则它们的面积相等,但面积相等的两个平面图形则不一定能互相剪拼.比如,不能把一个圆剪     

中考舞台上点的坐标“秀”

"点"是描述物体位置的基本元素,而"点"的位置的确定又离不开平面直角坐标系这个背景.描述点的最好方法就是用平面直角坐标系中有序实数对来确定,因为它们之间有唯一的对应关系.下面根据平面直角坐标系中点的知识点,列举几例中考     

两则新课导语

１　水平放置的平面图形的直观图的画法“人是立体的,而人的照片都是平面的,照片就是人体的直观图,你能在你的照片上摸到你的鼻子吗？”学生在笑语中领悟了水平放置的平面图形的直观图的概念,然后说：“现在我们来研究怎样画水平放置的平面图形的直观图,它是学好《立体几何》的关键．”导入新课．２　等比数列的前ｎ项和公式“同学们：我愿意在一个月内每天给你１００元钱,但在这个月内,你必须第一天给我回扣１分钱,第二天给我回扣２分钱,……,即后一天回扣给我的钱数是前一天的２倍,有谁愿意？”同学们纷纷议论．“请同学们写出…     

不懂数学原理引发的悲剧

数学上有一类“等周问题”:在周长相等的平面图形中,什么样形状面积最大?在讨论这个问题之前,请你动手做一个简单的实验,将一条长度一定的柔软细丝的两端连接起来,围成任意形状的封闭曲线,将此曲线轻轻地搁置在一个蒙有肥皂膜的铁框内,曲线的表面立即蒙上一层肥皂膜.如果用小针将     

利用几何画板制作动态的空间直角坐标系工具

如果有一个制作简单且使用方便的动态的空间直角坐标系工具,那么可以快捷制作一个空间图形.例如,制作立体几何中的动态空间几何体、动态空间曲线、动态空间曲面等教学课件.有了这个坐标系可以从不同的角度观察图形的真实形状,可以很方便地观察几何体(或曲线或曲面)的正视图、俯视图、侧视图.有助于学生建立空间概念,提高学生的空间想象能力和思维能力,激发学生的学习兴趣,提高课堂效率.     

平面直角坐标系折叠后的应用

平面直角坐标系只能解决平面图形中的有关问题,如果沿x轴折叠后,则可解决空间图形中的较多问题。下面我们先建立平面直角坐标系沿x轴折叠后的一组公式,然后说明它的应用。在平面直角坐标系中,设点A(x_1,y_1)、     

多面体重心的两个性质

本文首先应用解析法 ,建立“点到平面的有向距离”概念 ,然后给出多面体重心的两个有趣性质 .定义 1　在空间直角坐标系内 ,设点P的坐标为 (x0 ,y0 ,z0 ) ,平面π的方程为Ax +By +Cz +D=0 .令d =Ax0 +By0 +Cz0 +DA2 +B2 +C2 (1)则d称为点P到平面π的有向距离 .多面体的重心定义如下 :定义 2　在空间直角坐标系内 ,设多面体A1A2…An 的顶点Ai 的坐标 (xi,yi,zi) (i =1,2 ,… ,n) .令　x′ =1n ∑ni=1xi,y′ =1n ∑ni=1yi,z′ =1n ∑ni=1zi (2 )则点G(x′ ,y′z′)称为顶点系的重心 .由定义 1,2 ,我们获得了下述性质 .定理 1　在空间…     

直角三角形中与斜边中线有关的最值问题

<正>中点是初中平面几何的常考命题点.在涉及到直角三角形斜边中点的问题中,斜边中线起到很重要的图形转化功能.一方面斜边中线将直角三角形分成两个面积相等的等腰三角形,另一方面斜边中线等于斜边长度一半.命题者往往将直角三角形与其他问题结合考查学生思维能力的深度和广度.下面探究一类平面直角坐标系中直角三角形斜边中线有关的最值问题.     

关注平行四边形的折叠问题

<正>近年来中考中,出现了一类平行四边形折叠问题.解答时需注意:在折叠前后,折痕两边能够完全重合的部分是全等图形,它们的对应线段相等、对应角相等.现举例介绍如下:例1如图1,在平行四边形ABCD中,点E、F分别在边DC、AB上,DE=BF,把平行四边形ABCD沿直线EF折叠,使得点B、C分别落在B′、C′处,线段EC′与线段AF交于点G,连接DG、B′G.(1)求证:EG=FG;(2)DG=B′G吗?为什么?     

怎样解二次函数的应用题

二次函数的应用题是各个省市中考的重点内容之一,也是初、高中数学衔接点,二次函数的应用很广,既有求什么时候面积最大?也有求什么时候用料最省?那么我们怎样来把握呢?若以是否必须建立“平面直角坐标系”来划分,我认为二次函数的应用题的题目     

利用位似解决问题

如果两个图形对应点的连线或其延长线交于一点,那么这两个图形就是位似图形,交点称为位似中心.位似的两个图形也是相似图形,具有相似图形的一切性质,如对应角相等,对应边成比例等.位似图形还有自己独特的性质,即对应点的连线或其延长线交于一点,对应线段平行或在同一直线上,据此可以画一个图形的位似图形,位似中心可选择平面内任一点,可以在图形的内部、边上或外部,画出的位似图形可以在位似中心的两侧,也可以在位似中心的同侧.近几年来,位似图形已不局限于作图,更多地与函数、作图形内的内接图形、点的坐标或位似判定相结合等,以下做一探析,供参考.     

盘点求曲线围成封闭图形面积的几种思想

近几年曲线围成封闭图形面积问题已经悄然成为高考中的一个热点问题,而且含高数背景的问题也时有出现,本文枚举数例来阐述处理此类问题的常见数学思想,以期对读者有所启发!1化归思想1·1借助线性规划精确画图例1(06年浙江卷)在平面直角坐标系中,不等式组x y-2≥0,x-y 2≥0,x≤2,表示的平面区域的面积是()A·42B·4C·22D·2图1分析由不等式组所确定的平面区域,只需根据条件画出每一个二元一次不等式所确定的平面区域,最后锁定可行域,辅以代数运算,即可很快的求出封闭图形的面积·解根据条件画出满足条件的可行域,即如图1所示的三角形及其…     

多面体的截面

用一个平面去截一个多面体 ,平面与多面体的交线是一个封闭的平面多边形 ,这个多边形就是多面体的截面 .下面我们通过例题来讲解与多面体的截面有关的一些问题 .1　截面图形的确定与截面面积计算截面问题首先是截面图形形状的确定 ,这一般可以用平面的基本性质和确定平面的条件来解决 ;其次是在此基础上 ,求出该截面的面积 .图 1　例 1题图例 1　如图 1,ＡＢＣＤ -Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′是棱长为 1的正方体 ,ＢＭ =12 ＭＢ′ ,Ｄ′Ｎ =12 ＮＣ′ .1)指出ＭＮ的中垂线在已知正方体上截得的截面是一个什么样的图形 ,并加以说明 .2 )求出这截面在正…