垂足三角形的性质初探

以三角形三条高的垂足为顶点的三角形称为垂足三角形.如图,锐角△ABC,AD⊥BC,BE⊥CA,CF⊥AB,垂足分别为D、E、F,记BC=a,CA=b,AB=c,EF=a1,FD=b1,DE=c1,△ABC的面积、外接圆半径、内切圆半径、半周长分别为△、R、r和s,△DEF外接圆半径、内切圆半径、半周长分别为R1、r1和s1.设△AEF,△BDF,△CDE的面积分别为△A,△B,△C,外接圆半径、内切圆半径分别为RA,RB,RC、rA,rB,rC.     

欧拉不等式一个三角形式的类比北大核心

1引言设△ABC的三边为a,b,c,外接圆和内切圆半径分别为R,r,则有著名的欧拉不等式R≥2r,文[1]建立了欧拉不等式的一个三角形式:定理1设R,r分别为△ABC外接圆和内切圆半径,则有(∑表示循环和)     

四心垂足三角形外接圆半径的一条不等式链北大核心

定义点P为△ABC内一点,过点P分别作PD⊥BC,PE⊥CA,PF⊥AB,垂足分别为点D,E,F,连接DE,EF,FD,则称△DEF为△ABC的垂足三角形．在本文中,我们约定△ABc的三边分别为BC=a,CA=b,AB=c,外接圆,内切圆的半径分别为R,r,面积为S,R△表示三角形外接圆的半径．     

三角形中的一个不等式

定理①:设△ABC的三边长分别为a、b、c,外接圆半径为R,内切圆半径为r,半周长为S,面积为△.     

一类三角形几何不等式的统一证法

我们知道 ,任何三角形都有一个内切圆 ,切点把三边分成两段 .根据切线长定理 ,可将三边分拆换元 ,即在△ABC中 ,a ,b ,c分别为其三边长 ,可设a =y +z ,b =x +z ,c =x + y (其中 ,x ,y ,z∈R+ )( 1)如此便可简捷地证明一些三角形不等式 .下面我们举例说明 :1　分拆换元后 ,运用算术—几何平均值不等式一些结构较复杂 ,直接运用均值不等式有困难的三角形几何不等式 ,依据 ( 1)式分拆换元后 ,却能容易利用算术—几何平均值不等式 .例 1　在△ABC中 ,a ,b,c分别为其边长 ,求证 :① (《数学通讯》 2 0 0 1.12 .数学问题 132 4 )a +bb +c -a+ b…     

两个几何不等式的证明

文[1]中,胡如松先生提出了如下猜想,现予以证明.设△DEF为△ABC内接三角形(如图).并设△ABC的三内角为A,B,C;三边BC=a,CA=b,AB=c;EF=a0,FD=b0,DE=c0.分别设△ABC,△DEF,△AEF,△BDF,△CDE的外接圆半径、内切圆半径、半周长和面积依次为R,R0,R1,R2,R3;r,r0,r1,r2,r3;P,P0,P1,P2,     

由tanA/2=r/p-a导出的三角恒等式

1．引理 记△ABC的三边分别为a，b，C，其内切圆、外接圆半径分别为r，R，p=1/2（a＋b＋c），则tanA/2=r/p-a，tanB/2=r/p-b，tanC/2=r/p-c.     

一类关于三角形不等式的证明方法

文[1]借助两个特殊不等式并应用代数变换证明了一类三角形不等式.本文给出这类不等式的三角证法.为行文方便,约定△ABC的三边长、半周长、外接圆半径、内切圆半径分别为a、b、c、,s,R,r;其中例题的证明要用到下列熟知的三角形恒等式:abc=4Rrs,∑bc=s2 4Rr r2,∑a2=2(s2-4Rr-r2)     

一个三角形不等式的加强

设非钝角△ABC的三边长为BC=a,CA=b,AB=c,a≤b≤c,ma,ha分别为BC边所对应的中线长和高线长,R、r分别为△ABC的外接圆半径,内切圆半径.杨学枝老师在文[1]证得:     

一个三角形不等式的加强

文[1]提出并证明了如下: 定理△DEF是△ABC的外角平分线构成的三角形,设BC=a,CA=b,AB=c,△BCD,△ACE,△ABF的内切圆半径分别为rA,rB,rC,则 (a/rA)+(b/rB)+(c/rC)≥6(√3).(1) 笔者要指出的是,不等式(1)可以加强为:     

三角形的双圆半径的一个"孪生"命题

文 [1 ]给出如下关于三角形双圆半径的一个命题 :设△ ABC的外接圆半径为 R,内切圆半径为 r,顶点 A、B、C到内心的距离分别为 a0 、b0 、c0 ,则　 4 Rr2 =a0 b0 c0 .今给出此命题所引伸出的一个“姊妹”命题 :命题　设△ ABC的外接圆半径为 R,旁切圆半径为 r′,顶点 A、B、C到对应的旁心的距离分别为 a′0 、b′0 、c′0 ,则　 4 Rr′2 =a′0 b′0 c′0 .证明　如图 1 ,∵　 r′=a′0 sin A2 =b′0 cos B2=c′0 cos C2 ,∴　 r′3=a′0 b′0 c′0 sin A2 cos B2 cos C2 1又　△ =12 r′( b c - a) =Rr′( sin B sin C - sin A…     

周界中点三角形的又两个性质

如图1,设D、E、F分别为边BC、CA、AB上的周界中点,且BC=a,CA=b,AB=c,s=a 2b c,EF=a1,FD=b1,DE=c1,△ABC的面积、外接圆半径、内切圆半径分别为△、R、r,△DEF的面积为△1,则有图1定理条件如前所述,设△ABC与△DEF的三条高线长分别为ha、hb、hc,及ha1、hb1、hc1,则(i)hb2ac1 hca     

与垂足三角形内切圆有关的几个等式

文[1]给出如下结论, 定理 设△ABC边长为α,b,C,外接圆半径为R,垂足△DEF内切圆的半径为r则有,r=a2 b2 c2-8R2/4R     

《数学通报》数学问题2603的探究北大核心

1引言《数学通报》2021年第5期数学问题2603为:设△ABC的三边长为a,b,c,对应的旁切圆半径、外接圆半径、内切圆半径和面积分别为ra,rb,rc,R,r,Δ,则。     

一道数学竞赛题别证

<正>(2019年地中海地区数学竞赛第1题)已知△ABC中,∠A=60°,∠A的平分线与边BC 交于点 D.记△ABD,△ADC,△ABC 的内切圆半径分别为r_B,r_C,r,AC=b,AB=c.证明:1/r_B+1/r_C=2(1/r+1/b+1/c).这道题主要考查三角形内切圆相关知识.参考答案主要借助三角形内角平分线定理,解三角形的余弦定理,及三角形面积公式(含海伦-秦九韶公式)转化为三角形边的关系进行证明.     

关于三角形旁切圆半径的一个有趣性质

文[1]曾老师给出了三角形中关于角平分线的一个优美不等式,即定理1 a,b,c是△ABC的三边,wa,wb,wc为△ABC的角平分线,那么有1/(wa4)+1/(wb4)+1/(wc4)≥1/(a4+b4+c4) (1)文[2]安老师把不等式(1)加强为定理2 a,b,c是△ABC的三边,ma,mb,mc为△ABC的中线,那么有1/(ma4)+1/(mb4)+1/(mc4)≥16/(a4+b4+c4) (2)经笔者探究发现三角形旁切圆半径也有以上有趣性质.     

一个周界中点三角形不等式的加强

文[1]得到如下定理: 定理如图1,设D,E,F分别是△ABC的边BC、CA、AB上的周界中点,且BC=a,CA=b,AB=c,s=(1)/(2)(a b c),△ABC、△AEF、△BDF、△CED的内切圆半径分别为r、rA、rB、rC,则有     

再探旁心三角形的性质

三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点称为三角形的旁心.旁心是三角形的旁切圆的圆心,一个三角形有三个旁心,连接三角形的三个旁心而成的三角形称为旁心三角形.在文[1]的基础上,笔者经过探讨,得到:定理如图1所示,△DEF是△ABC的旁心三角形,三边长分别为d,e、f,且△ABC的三边长分别为a,b、c,△ABC的外接圆、内切圆的半径分别为R、r,则有def=4R/r·abc.     

问题220 是题目的问题,还是解法的问题?

题目:已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,它的外接圆半径为6,∠B,∠C和△ABC的面积S满足条件:S=a2-(b-c)2且sinB+sinC=43,(1)求sinA;(2)求△ABC的面积S的最大值.解(1)因为S=1/2bcsinA,a2=b2+c2-2bccosA,所以由题得:12bcsinA=-2bccosA+2bc,     

三角形外角平分线三角形面积的性质

如图1,△ABC是一任意三角形,△DEF图1是它的外角平分线三角形,记△ABC的三边长为a、b、c,半周长为p,面积为S0,外接圆半径为R,内切圆半径为r,旁切圆半径为ra、rb、rc,△DEF的面积为S.经过探讨,笔者现已得到:定理S=2pR.证明因(p-a)(p-b)(p-c)=r2p,ab bc ca=p2 4Rr r2,得p-1a p-1b