基于Fourier级数的时变周期系数Riccati微分方程精细积分

结合Fourier级数展开方法,本文提出了基于精细积分的时变周期系数Riccati微分方程求解高效算法.首先,利用Fourier级数展开方法将周期系统表示成三角级数形式,在一个积分步内使用精细积分方法得到对应Hamilton系统状态转移矩阵的表达式.然后,通过Riccati变换的方法,得到含有状态转移矩阵的时变周期系数Riccati微分方程解的递推格式.本文方法充分利用了方程本身的周期性特点,文中的数值算例表明算法具有计算效率高、结果可靠等优势.     

Duhamel项的精细积分方法在非线性微分方程数值求解中的应用

基于Duhamel项的精细积分方法,构造了几种求解非线性微分方程的数值算法。首先将非线性微分方程在形式上划分为线性部分和非线性部分,对非线性部分进行多项式近似,利用Duhamel积分矩阵,导出了非线性方程求解的一般格式。然后结合传统的数值积分技术,例如Adams线性多步法等,构造了基于精细积分方法的相应算法。本文算法利用了精细积分方法对线性部分求解高度精确的优点,大大提高了传统算法的数值精度和稳定性,尤其是对于刚性问题。本文构造的算法不需要对线性系统矩阵求逆,可以方便的考察不同的线性系统矩阵对算法性能的影响。数值算例验证了本文算法的有效性,并表明非线性系统的线性化矩阵作为线性部分是比较合理的选择。     

多层地基条带基础动力刚度矩阵的精细积分算法

提出应用精细积分算法计算多层地基的动力刚度问题. 精细积分是计算层状介质中波传播的高效而精确的数值方法. 利用傅里叶积分变换将层状地基的波动方程转换为频率-波数域内的两点边值问题的常微分方程组, 运用精细积分方法求解格林函数, 最后再将得到的频率-波数域内地基表面的动力刚度矩阵转换到频率-空间域内, 进而得到刚性条带基础频率域的动力柔度或刚度矩阵. 所建议的精细积分算法, 可以避免一般传递矩阵计算中的指数溢出问题, 对各种情况有广泛的适应性, 计算稳定, 在高频段可以保障收敛性, 并能达到较高的计算精度.      

A PRECISE INTEGRATION APPROACH FOR THE DYNAMIC-STIFFNESS MATRIX OF STRIP FOOTINGS ON A LAYERED MEDIUM 1）

提出应用精细积分算法计算多层地基的动力刚度问题.精细积分是计算层状介质中波传播的高效而精确的数值方法.利用傅里叶积分变换将层状地基的波动方程转换为频率-波数域内的两点边值问题的常微分方程组,运用精细积分方法求解格林函数,最后再将得到的频率-波数域内地基表面的动力刚度矩阵转换到频率-空间域内,进而得到刚性条带基础频率域的动力柔度或刚度矩阵.所建议的精细积分算法,可以避免一般传递矩阵计算中的指数溢出问题,对各种情况有广泛的适应性,计算稳定,在高频段可以保障收敛性,并能达到较高的计算精度.     

大规模动力系统改进的快速精细积分方法

提出一种针对大规模动力系统的改进的快速精细积分方法（FPIM）。以精细积分方法为基础,利用大规模动力系统矩阵的稀疏性和动力问题的物理特性,分析了矩阵指数的特殊结构,并基于此给出一种计算大规模动力系统矩阵指数及其动力响应的高效率方法。     

非齐次动力方程Duhamel项的精细积分

提出了不需要矩阵求逆运算的求解Duhamel积分项的精细积分方法.通过将精细积分法的关键思想--加法定理和增量存储--直接应用于Duhamel积分响应矩阵的求解,可给出当非齐次项分别为多项式、正弦/余弦以及指数函数等基本形式时Duhamel积分在计算机上的精确解.特别的,该算法不依赖于系统矩阵(或相关矩阵)的形态.当系统矩阵奇异或接近奇异时,其优越性更为显著.算例验证了该算法的有效性.     

瞬态热传导方程精细积分方法中对称性的利用

采用精细积分法求解瞬态热传导方程时,对指数矩阵进行变换后使其具有对称性,利用这一特性可使存贮量和计算量降低一半。变换后指数矩阵的带宽特性不变,采用子域精细积分可进一步提高算法的计算与存储效率。     

基于Wilson-θ和Newmark-β法的非线性动力学方程改进算法

Wilson-θ法和Newmark-β法是非线性动力学方程求解的常用方法。它们的一个基本步骤是,将方程改写为增量平衡的形式,在每一个积分步长内用状态参量修正平衡方程的系数矩阵,其本质是在单个步长内对系统的非线性环节进行了线性化处理。本文基于增量思想分别改进了Wilson-θ法和Newmark-β法,根据即时解给出下一步的猜测解,然后对猜测解进行迭代校正,最终得到收敛的近似解。算例表明,改进算法的精度更高,且收敛准则简单。更为重要的是,本文方法无须对非线性项进行线性化处理,因而计算效率更高,适应范围更广。     

瞬态热传导方程的子结构精细积分方法

对线性定常结构动力系统提出的精细积分方法,在数值精度等方面表现出极大优越性,但是当矩阵尺度很大时在数值计算与存储中将产生困难,对此,本文对瞬态热传导方程,根据结构的概念,将结构分为若干个子结构,对各子结构分别进行指数矩阵运算并通过了结构间界面的物理量相联系,从而提高精细积分方法的计算效率。     

矩阵指数精细积分方法中参数的自适应选择

讨论了基于Pad逼近的矩阵指数精细积分方法中加权系数N和展开项数q的自适应选择问题.参数(N,q)的选择直接影响到矩阵指数计算的精度和效率.采用矩阵函数逼近理论,研究了参数Ⅳ和q的增加对精度的影响程度,据此,提出了参数(N,q)优化组合的递推自适应选择方法.该方法可以根据矩阵本身的性态选择合适的参数(N,q),而参数选择的计算量与矩阵指数的计算量相比几乎可以忽略,这对于增强矩阵指数精细积分方法的适应性和提高计算效率是很有益处的.算例验证了该方法的正确性和有效性.     

Improved precise integration method for differential Riccati equation

An improved precise integration method(IPIM) for solving the differential Riccati equation(DRE) is presented.The solution to the DRE is connected with the exponential of a Hamiltonian matrix,and the precise integration method(PIM) for solving the DRE is connected with the scaling and squaring method for computing the exponential of a matrix.The error analysis of the scaling and squaring method for the exponential of a matrix is applied to the PIM of the DRE.Based on the error analysis,the criterion for choosing two parameters of the PIM is given.Three kinds of IPIMs for solving the DRE are proposed.The numerical examples show that the IPIM is stable and gives the machine accuracy solutions.     

矩形空腔内Stokes流的状态空间有限元法

基于Hellinger-Reissner二类变分原理,从平面Stokes流问题的平衡方程、连续性要求和边界条件出发,得到相应的Hamilton函数,建立Hamilton正则方程后,采用分离变量法对场变量进行离散求解:在x方向采用有限元插值,在y方向采用状态空间法给出控制坐标方向的解析解。计算过程中的指数矩阵均采用精细积分法求解,使得本文算法具有高效率、高精度、对步长不敏感的优点。通过对侧边自由液面边界条件的单板驱动矩形空腔Stokes流问题的求解,得到与文献相同的结果,从而验证了本文方法的有效性。本文旨在将弹性力学状态空间有限元法的思想引入到低雷诺数流体力学中,为Hamilton体系下研究复杂边界Stokes流问题提供新的途径。     

Fourth‐order exponential finite difference methods for boundary value problems of convective diffusion type

Methods based on exponential finite difference approximations of h⁴ accuracy are developed to solve one and two‐dimensional convection–diffusion type differential equations with constant and variable convection coefficients. In the one‐dimensional case, the numerical scheme developed uses three points. For the two‐dimensional case, even though nine points are used, the successive line overrelaxation approach with alternating direction implicit procedure enables us to deal with tri‐diagonal systems. The methods are applied on a number of linear and non‐linear problems, mostly with large first derivative terms, in particular, fluid flow problems with boundary layers. Better accuracy is obtained in all the problems, compared with the available results in the literature. Application of an exponential scheme with a non‐uniform mesh is also illustrated. The h⁴ accuracy of the schemes is also computationally demonstrated. Copyright © 2001 John Wiley & Sons, Ltd.     

Numerical analysis and accurate computation of heteroclinic orbits in the case of center manifolds

In earlier papers (see the preceding paper and the references there), Doedel and the author have developed a numerical method for the computation of branches of heteroclinic orbits for a system of autonomous ordinary differential equations in ⁿ in the case that the solution approaches the fixed points exponentially. The idea of the method is to reduce a boundary value problem on the real line to a boundary value problem on a finite interval by using linear approximation of the unstable and stable manifolds. Using the fact that the linearized operator of the problem is Fredholm in Banach spaces with exponential weights, the authors employed the general theory of approximation of nonlinear problems to show that the errors in the approximate solution decay exponentially with the length of the approximating interval. In this paper we extend the analysis in the preceding paper to the case of center manifolds which requires the refinement of the analysis in the preceding paper. The algorithm is applied to a model problem: the DC Josephson Junction. Computations are done using the software package AUTO.     

A fully coupled Navier–Stokes solver for calculation of turbulent incompressible free surface flow past a ship hull

This paper deals with the calculation of free surface flow of viscous incompressible fluid around the hull of a boat moving with rectilinear motion. An original method used to avoid a large part of the theoretical problems connected with free surface boundary conditions in three‐dimensional Navier–Stokes–Reynolds equations is proposed here. The linearised system of convective equations for velocities, pressure and free surface elevation unknowns is discretised by finite differences and two methods to solve the fully coupled resulting matrix are presented here. The non‐linear convergence of fully coupled algorithm is compared with the velocity–pressure weakly coupled algorithm SIMPLER. Turbulence is taken into account through Reynolds decomposition and k–ε or k–ω model to close the equations. These two models are implemented without wall function and numerical calculations are performed up to the viscous sub‐layer. Numerical results and comparisons with experiments are presented on the Series 60 CB=0.60 ship model for a Reynolds number Rn=4.5×10⁶ and a Froude number Fn=0.316. Copyright © 1999 John Wiley & Sons, Ltd.     

分层介质中Love波的扩展W-W算法

应用精细积分法(PIM)和扩展Wittrick-Williams(W-W)算法求解横观各向同性分层半空间中的Love波问题.Love波对应于波数-频率域线性常微分方程的本征值问题.精细积分法是求解线性常微分方程两端边值问题和初值问题的高精度算法.利用本征值计数技术,扩展W-W算法可以不遗漏地找到所有本征值.因此,文中使用的方法可以得到计算机精度意义下的精确解.     

基于精细积分技术的非线性动力学方程的同伦摄动法

将精细积分技术（PIM）和同伦摄动方法（HPM）相结合,给出了一种求解非线性动力学方程的新的渐近数值方法。采用精细积分法求解非线性问题时,需要将非线性项对时间参数按Taylor级数展开,在展开项少时,计算精度对时间步长敏感;随着展开项的增加,计算格式会变得越来越复杂。采用同伦摄动法,则具有相对筒单的计算格式,但计算精度较差,应用范围也限于低维非线性微分方程。将这两种方法相结合得到的新的渐近数值方法则同时具备了两者的优点,既使同伦摄动方法的应用范围推广到高维非线性动力学方程的求解,又使精细积分方法在求解非线性问题时具有较简单的计算格式。数值算例表明,该方法具有较高的数值精度和计算效率。     

线性常微分方程灵敏度分析的精细积分法

利用指数矩阵的导数计算来求解一类一阶线性常系数微分方程组对某一设计变量的灵敏度计算问题。对于初值问题,利用指数矩阵的导数,递推得到状态向量的灵敏度;对于线性两点边值问题,通过两点之间的状态向量的导数关系,得到全部初始条件,进而转化为初值问题计算。指数矩阵及其导数阵的高精度计算基于2N类算法,在此基础上可实施灵敏度分析的计算。本文给出了初值和两点边值常微分方程的高精度灵敏度计算方法,计算结果可认为是计算机上的精确解,算例验证了算法的有效性。