锐角三角形的一个性质

命题:锐角三角形中,任意一个内角的正弦(或正切)大于其他两个内角的余弦(或余切)。证明设锐角三角形的三个内角为A、B、C。因为三角形内角都为锐角,所以有A B>90°A>90°-BsinA>sin(90°-B)sinA>CosB。同理sinA>cosC。(类似可证tgA>ctgB,tgA>ctgC)这个性质虽很简单,但熟悉它后对解题带     

探索一个凸n边形内角中的“最多”与“最少”问题

一、一个凸n边形的内角中,最多能有几个锐角、直角、钝角?我们知道一个三角形的三个内角中,最多能有三个锐角、一个直角、一个钝角．现在思考这样一个问题,在一个四边形的四个内角中,最多能有几个锐角、直角、钝角?…,任意多边形呢?     

涉及两个三角形的一个命题

命题若△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形.证明由于△A1B1C1的三个内角的余弦值分别为△A2B2C2的三个内角的正弦值,故△A1B1C1的三个内角的余弦值均为正,因此,△A1B1C1是锐角三角形.下面证明△A2B2C2     

关注“锐角三角形”

<正>锐角三角形有如下两条不起眼的性质,解题时一不小心就会出错.为了引起同学们的关注,特将它的两条性质整理出来,并配上应用,供同学们学习时参考.性质1在锐角三角形中,每一个内角都是锐角且任意两内角之和大于直角;性质2在锐角三角形中,每一条边都夹在它的邻边和它们的夹角的余弦的积和商之间且任意两边的平方之和大于第三边的平方.     

判定三角形形状的方法

判定三角形的形状是综合性较强的问题 ,它沟通了代数、几何知识之间的联系 ,其方法灵活 ,具有一定的技巧性 .现给出两种常用的判定方法 ,供读者参考 .一 .求内角法例 1　如果三角形的一个外角是锐角 ,那么这个三角形是 (　 ) .Ａ .锐角三角形Ｂ .钝角三角形Ｃ .直角三角形Ｄ .锐角三角形或钝角三角形(宁夏回族自治区 2 0 0 1年高中暨中专招生试题 )分析 :由题意 ,根据三角形的外角与其相邻的内角是互为邻补角 ,得这个内角为钝角 .再根据“有一个角是钝角的三角形是钝角三角形” ,故应选Ｂ .例 2　若三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内…     

初二几何第一学期期中自测题

A组一、填空题(每小题4分,共40分)1.三角形的三个内角中,最多有个锐角,最少有个锐角,最多有个直角,最多有个钝角.2.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4,则∠A=,∠B=,∠C=.3.在△ABC中,∠A=12∠B=14∠C,则三个内角分别是.4.已知三角形两边分别是2厘米和7厘米,第三边的数值是偶数,则这个三角形的周长是.5.已知不等边三角形的最长边为9,最短边为2,且第三边是整数,则第三边长.6.如果在一个三角形中,最大角是最小角的2倍,那么最小角的范围是.7.周长为15,各边长是互不相等的整数的三角形有个.8.在△ABC中,∠B和∠C的平分线交于点O,若∠A=5…     

逻辑知识初步(续完)

§4 推理和论证 1.推理论证的意义和要求。推理是从一个或几个判断得出一个新判断的思维形式。例如: (1) 因为:三角形的内角和为180°;直角三角形是一种特殊的三角形。所以:直角三角形的内角和为180°。 (2) 因为:锐角三角形的三高交于一点;直角三角形的三高交于一点;钝角三角形三高的所在直线交于一点;三角形只有锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三种可能情况。所以;三角形三高的所在直线交于一点。由此可见,推理由两个部分组成:一部分是推理所依据的判断,叫做前提:一部分是推出的新判断,叫做结论。论证是利用一些确实可靠的判断,通过推理,来阐明某个判断的真实性的过程。数学中的论证通常叫     

几何直线形达标检测

(满分100分,90分钟完成),(A)基础知识达标检测一、选择题(每小题4分,共40分) 1.如图8—3,AB/CD,.IIN分别交tB、∽于’f、～,c,’乎分z。(:八￡,么1=120",01lj么2=( ). (,{)60* (启)50* (0)40) (D)30* 2.任何一个三角形的 个内角中至少有( ). (jI)一个街大,‘60)(B)两个锐角 (c) 个钝角 (D)一个直角 3.△4BC中～/l、/B、么C的度数比是1:2:3.那么AjtBC是(1. (4)等腰三角形 (B)锐角三角形 (C)直自三角形 【口)钝角三角形 4。如果一仑多曲形的内角和等于篼咿,那么这个多边彤是( ). (.1)五边形 (B)六边形 (C)L边形 (D)八边形 5.n13粜…     

关于解斜三角形的补充说明

用正弦定理解斜三角形 ,即已知两边和其中一边的对角 ,可有两解 ,一解或无解 ,这是本节的难点 .在实际解题中 ,如何判断解的情况呢 ?现将笔者归纳的一种可行的方法介绍如下 .类型 1　根据三角形边角关系及三角形内角和定理 ,可直接判断无解或只有一解的 .1)若已知条件与三角形边角关系及三角形内角和定理有矛盾 ,可直接判断无解 .例 1　已知三角形的边ａ =18,ｂ =2 0 ,角Ａ =15 0° ,解此三角形 .解　∵Ａ为钝角 ,∴ａ应是最大边 ,但这里ｂ>ａ ,矛盾 ,故无解 .2 )若可判断另一边所对的角等于已知锐角 ,或小于已知角 ,则此角为锐角 ,且只有一…     

求二面角大小的直接计算法

利用向量求二面角,如何判断所求二面角是锐角或钝角?现行中学数学教材[1]或教辅资料给出的方法是通过观察图形来确定;常见的大学数学教材[2]、[3]亦未涉及此问题. 由于一个平面有共线且方向相反的两个法向量,所以两个平面所成二面角的平面角的大小与其法向量所成之角可能相等,也可能互补;而现行中学数学教材是用点积的办法来求法向量的,点积法的缺陷是不能控制法向量的方向,所以也就无法准确判断所求二面角究竟是钝角或锐角.     

已知一个角及对边的三角形与外接圆

<正>任意的一个三角形有唯一确定的一个外接圆,任意的一个圆有无数个内接三角形,这无数个三角形中有的是锐角三角形,有的是直角三角形,有的是钝角三角形.当给定一个内角大小及所对边长时,满足条件的三角形也有无数多个,但这无数个三角形可以放在同一个定圆之中.用a,b,c分别表示△ABC中三个内角A,B,C所对的三边长,用☉O表示     

对三角形被分成两个等腰三角形的探索

<正>1引例将一个三角形分成两个等腰三角形,若原三角形的一个内角是36°,则原三角形的另两个内角有多少种可能的情况?写出各种可能的情况.2初探对于上述这类问题,能不能找到一种方法,既能快速地理清思路又能将所有可能的情况写完整?请先思考以下问题:问1:已知三角形的三个内角分别为25°,50°,105°,你能把它分成两个等腰三角形吗?     

与三角形角平分线相关的三条结论

三角形的三个内角之和为180°,这是平面几何中一条十分重要的定理.那么在此基础上,三角形的内角或外角平分线与其内角间有怎样的关系呢?本文总结出与角平分线有关的三条结论.结论1三角形的任意两条角平分线间的夹角等于第三个角的一半加上90°;结论2三角形的任一内角角平分线与它不相邻的任一外角的角平分线间的夹角等于第三个角的一半;结论3三角形的任意两个外角的角平分线间的夹角等于90°减去第三个角的一半.证明如下:1.如图1,△ABC中,∠ABC与∠BCA的角平     

三角形中大角不一定对大边

在△ABc中,迩匕滋为钝角,形B为锐角,它们祖对好边分别为,a、b.因方钝角的承弦位有可能比锐角的正弦值小,粉以、比.4可能小于_.*,~~,一sin月少;sinB,’即可能有“{竺黑<1, -一,””一”,i”刀一‘ . a户,口。 一一d通一n肠︸n一n S︸S根据正弦定理可知/若<‘”a<”·故三角形中大角不一定对大」边。1名。“限制了同一毛角形中角的大小联系.文中推理忽略了此隐含条件而成为虚假推理. 1.在一个三角形.中,其钝角的正弦伍一定比其锐角的正弦位大1因三角形的内角和为三角形中大角不一定对大边@王震$安徽舒城舒茶高级职业中学~~…     

由三角形内角和谈起

一、基本知识一个三角形的三个内角之间有下面的重要关系:三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°.三角形中,一个内角的邻补角叫做这个三角形的一个外角.显然有(1)三角形的一个外角等于和他不相邻的两个内角之和.(2)三角形的一个外角大于任何一个和他不相邻的内角.     

从一个余弦不等式谈起

这里首先给出一个余弦不等式的新证法,并由此推证若干个三角不等式。其次阐明《一个不等式的证明及其应用》(详见《中学数学》1984年第3期)中的重要三角不等式是本文的一个推论,最后谈谈它的应用. 定理若A、B、C是△ABC的三内角,则cosAcosBcosC≤1/8成立。证明当△ABC是非锐角三角形时,则A、B、C中有且仅有一个直角(或钝角),不妨设A是直角(或钝角),有cosA=0(或<0),cosB>0,COSC>0,由此cosAcosBcosC=0(或<0),所证不等式显然成立.     

杨乐不等式的两个初等证明

这里给出杨乐不等式则与目前已见到的证明不同的两个初等证明．证明1（三角变换法）汪意到余弦函数在[0，π]上是减函数，有又由A＞0，B＞0，A＋B≤π知|A－B|＜π，从而有COSμ（A-B）=COSμ|A-B|＞COSμπ由①②③即知（*）成立．证明2（构造模型法）当μ=1时易知（*）成立；当0＜μ≤时，构造△A1B1C1，真外接圆直径2R＝1．因在一个三角形中至少有两个内角为锐角，不妨设A1与B1都是锐角，并且令在△A1B1C1中用正弦定理，有A1B1＝sinμ（A＋B）再用宗弦定理，有比较（*）与（**）可以看出：欲证（*）成立，只需证就可以了．…     

问题与解答

一、本期问题 1 已知△ABC的三内角A、B、C成等差数列,而最大角与最小角的对边之比是1:(3~(1/2)-1),试求此三角形三个内角的度数比。 2 已知α是三角形的一个内角,且这个三角形的某两边长是方程x~2-2~(5/4)x+2~(3/2)-sinα-cosα=0的两根,求这三角形的面积。山东梁山十六中陈昌焕提供     

课外练习

t.锐角△ABC中,A,B,C为内角,比较sinA sinB sinc与妄的大小.(河北省滦县二中(063700) 孙晓香) f1 7COSff 13cos盘一172.已知< 。 【17sinc~一13sir蝎①② 且a,卢均为锐角.求导 卢的值. (浙江省绍兴鲁迅中学(312008) 何建松)3.已知'r.y.z满足方程组:k Xy T’y"一25 (D.1÷y。托。一。 ②卜T,Z-rI￡一1 6 ㈤试求“一wy 2yz 3xz的值. (四川省万源市大竹河职中(636365) 罗远发 谢永跃)1.没a∈(0,i7i"),试证:(卜__土)(卜卜—L)≥ Z S 113.0: COS乜 3 2厄. (宁夏中卫中学(751700) 沮海涛)2.若锐角a,口,y满足 COS。a COS。口 COS。),…     

四两拨千斤

解题是一项艰苦的智力活动 ,尤其对于一些难题 .然而 ,我要告诉大家一个小秘密 :注意总结平时在解题活动中得到的一些小经验、小结论、小技巧 ,到时它会有四两拨千斤之功效 .比如 ,有这样一些不起眼的小结论 :ｃｏｓ(α - β) ≤ 1 ,ｃｏｓα - β2 >ｃｏｓα +β2 (α ,β为锐角 ) ,1 >ｃｏｓ Ａ +Ｂ4>22 (Ａ ,Ｂ为△ＡＢＣ的内角 )等 .下面试用这些结论来解证几道颇有来历的“难题” .例 1　 (《数学教学》2 0 0 1年第 3期 (第53 7问题 ) )设α ,β都是锐角 ,且ｓｉｎ2 α +ｃｏｓ2 β=ｃｏｓ(α - β) ,求证α =β .证　由ｃｏｓ(α - β…