用法向量夹角求二面角大小的教学设想

在苏教版高中数学选修教材2-1(以下同)中,用法向量的夹角来求二面角的大小.教材这样总结方法: “由于平面的法向量垂直于平面,这样,这两个平面所成的二面角就可以转化为这两个平面的法向量所成的角.考虑到二面角的取值范围是[0°,180°],所以二面角的平面角θ与这两个平面的法向量的夹角相等或者互补.”     

用向量直接求二面角C-AB-D

现行求二面角,通用"平面的法向量法",即通过二面角的两个半平面的法向量所成的角间接地去求.由于半平面的法向量的方向本身不确定,所以求出的角不一定是需求的二面角.这里提出一种用向量直接求二面角的方法,供读者参考.     

用平面的法向量求二面角

利用平面的法向量求二面角,思路清晰,是许多学生喜欢选择的方法.但是,我们求得两个法向量所成角的值,既可能是二面角的值,也可能是二面角的补角的值,这一直是围绕中学师生的一个问题.怎样求得的两个法向量所成的角的值才是二面角的值呢?我们首先确定平面法向量的方向,在空间直角坐标系中,我们可以把法向量分成三类,一类向量指向x Oy平面上方,设为(x,y,1),一类向量指向xOy平面下方,设为(x,y,-1),一类向量与xOy平面平行(或在xOy平面上),设为(x,y,0).然后用平面的法向量的指向来确定二面角.如图1,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD…     

综合向量法求解二面角

笔者在贵刊文[1]给出求解二面角的一个有效方法———法向量截面法,即求出两半平面的法向量,并判断其相对二面角的方向(判定两法向量夹角与其平面角是相等还是互补,关键就在这里),进而准确求解平面角.本文再给出一种更加快捷有效的方法———综合向量法,"综合"是指传统的几何方法,如求二面角的"一作二证三计算",     

法向量求二面角大小的又一个简单判定方法

立体几何中的求二面角大小问题,是高考重点考查内容,法向量法是求二面角大小的一种主要方法.我们知道:二面角大小与其两个平面的法向量的夹角相等或互补.但到底是相等还是互补,教学中很多师生采用直观判断,参考资料涉及此问题也回避不谈.文[1]给出了一种很好的判定方法,本文给出     

空间平面法向量方向的判定

文[1]介绍了二面角的大小与法向量夹角的关系:同内同外互补,一内一外相等,但法向量方向的判定却没有指出具体方法.我们知道当平面与空间坐标系中三个坐标平面平行或重合时,平面的法向量的方向是很容易知道的,除此外又如何判定平面的法向量的方向呢?1二面角的法向量方向的判定方     

空间平面法向量方向的判定

文[1]介绍了二面角的大小与法向量夹角的关系：同内同外互补，一内一外相等，但法向量方向的判定却没有指出具体方法、我们知道当平面与空间坐标系中三个坐标平面平行或重合时，平面的法向量的方向是很容易知道的，除此外又如何判定平面的法向量的方向呢？     

高考专题复习系列讲座——直线、平面和简单几何体

[考试内容及考试要求]考试内容:平面及其基本性质,平面图形直观图的画法,平行直线,直线和平面平行的判定与性质,直线和平面垂直的判定,三垂线定理及其逆定理,两个平面的位置关系,空间向量及其加法、减法与数乘.空间向量的坐标表示,空间向量的数量积,直线的方向向量,异面直线所成的角,异面直线的公垂线,异面直线的距离,直线和平面垂直的性质,平面的法向量,点到平面的距离,直线和平面所成的角,向量在平面内的射影,平行平面的判定和性质,平行平面间的距离,二面角及其平面角,两个平面垂直的判定和性质,多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球.考试要…     

逻辑知识初步(续完)

§4 推理和论证 1.推理论证的意义和要求。推理是从一个或几个判断得出一个新判断的思维形式。例如: (1) 因为:三角形的内角和为180°;直角三角形是一种特殊的三角形。所以:直角三角形的内角和为180°。 (2) 因为:锐角三角形的三高交于一点;直角三角形的三高交于一点;钝角三角形三高的所在直线交于一点;三角形只有锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三种可能情况。所以;三角形三高的所在直线交于一点。由此可见,推理由两个部分组成:一部分是推理所依据的判断,叫做前提:一部分是推出的新判断,叫做结论。论证是利用一些确实可靠的判断,通过推理,来阐明某个判断的真实性的过程。数学中的论证通常叫     

高考专题复习系列讲座——直线、平面和简单几何体

[考试内容及考试要求]考试内害：平面及其基本性质，平面图形直观图的画法．平行直线，直线和平面平行的判定与性质，直线和平面垂直的判定，三垂线定理及其逆定理，两个平面的位置关系。空间向量及其加法、减法与数乘．空间向量的坐标表示．空间向量的数量积，直线的方向向量，异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离＋直线和平面垂直的性质，平面的法向量，点到平面的距离．直线和平面所成的角，向量在平面内的射影，平行平面的判定和性质，平行平面间的距离，二面角及其平面角，两个平面垂直的判定和性质，多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球．     

用法向量求二面角

众所周知,在二面角中,两个半平面的法向量所成的角与二面角相等或互补．然而,法向量所成的角究竟是与二面角相等呢？还是互补？这一选择困惑着广大师生,大大地降低了用法向量求二面角的实用性．本人经过研究找到了解决这一问题的简单途径,总结于后,和大家分享．     

不用平面法向量求二面角的简单方法

立体几何较难的是求二面角的平面角,传统的综合法作二面角较难,空间向量的方法写起来繁,同时,求二面角的大小需要判断是锐二面角还是钝二面角,有时要依赖观察,但在复杂的立体图中,要准确判断有时是困难的．本文结合2013年高考题,给出一种不依赖于求两个半平面法向量的求二面角的方法,且计算量相对于求法向量来说也不大．     

利用平面向量探求异面直线所成角的问题

由于老教材没有引入平面向量知识 ,因此 ,我们是用平移法求解异面直线所成角的问题 ,现行高中新教材第一册 (下 )引入了平面向量的有关知识 ,这为我们求解异面直线所成角的问题开辟了一条新道路 .即要求异面直线ｌ1与ｌ2 的所成角 ,我们可在异面直线ｌ1,ｌ2 上分别选定两个非零向量ａ与ｂ ,设向量ａ与ｂ夹角为θ,然后先求出ａ与ｂ的数量ａ·ｂ ,再根据公式ｃｏｓθ =ａ·ｂａ·ｂ 便可求出θ ,但要注意 :因规定θ∈ [0 ,π],若求出的θ是一个钝角 ,则异面直线ｌ1与ｌ2 所成角是θ的补角 .下面我们用向量法 ,即借助平面向量的有关知识来探索…     

用射影法求二面角举例

求二面角的方法很多,其中射影法可以避免作棱及过棱上的点在两个半平面内作棱的垂线,因而有些求二面角问题运用此法事半功倍.下面是运用射影法的几个例子. 1.没有明确的棱所求的二面角的两个面在已给出的图形中没有公共点或只有一个公共点,即没有明确的棱.这时运用射影法既不需要作棱,也不需要作角.     

高考专题复习系列讲座——平面向量

[考试内窖及考试要求]考试内容：向量，向量的加法与减法，实数与向量的积．平面向量的坐标表示，线段的定比分点，平面向量的数量积，平面两点间的距离，平移，正弦定理。余弦定理．斜三角形解法．     

用极限思想解立体几何题两例

立体几何中有一类确定取值范围的问题,用一般的方法,解题过程通常比较繁琐.若用极限思想来考虑,则不仅构思巧妙、独特,而且简便快捷. 例1 正四棱锥相邻两侧面所成的二面角是( ). (A)锐角 (B)钝角 (C)直角 (D)钝角或直角     

法向量截面法求解二面角

坐标向量法是解答立体几何问题的通性通法,它大大降低了传统解法中一作二证三计算的解题技巧,节省了思维,尤其是用法向量求解二面角,不论二面角的开口方向、大小如何,不管两半平面的形状怎样,无论二面角有棱没棱,更是     

空间向量，夹角与距离

本单元的重点是：空间向量的概念和运算，空间向量的坐标运算．直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念．两种角（斜线与平面所成的角，二面角）的概念和计算，两个平面垂直的判定和性质．空间四种距离的定义和计算．     

“棱法向量”求二面角

<正>向量法求解二面角,将面与面的平面角转化为两平面法向量的夹角,回避了复杂程度高的几何技能.但是,二面角的大小与法向量的夹角是"相等"还是"互补"的问题,一直困扰着大家.本文立足二面角的定义,利用棱法向量,给出一种简捷、有效的方法.我们把二面角的半平面内与棱垂直且以垂足为起点的向量,称为二面角的棱法向量.     

法向量截面法求解二面角

坐标向量法是解答立体几何问题的通性通法，它大大降低了传统解法中“一作二证三计算”的解题技巧，节省了思维，尤其是用法向量求解二面角，不论二面角的开口方向、大小如何，不管两半平面的“形状”怎样，无论二面角有棱没棱，更是“所向披靡”．