数学问题解答

1989年5月号问题解答(解答由问题提供人给出) 591.设O为△ABC的外心,射线AO、BO、CO分别与△ABC外接圆交手A′,B′、C′.求证:S_(△ABC)=S_(△A′BC) S_(△AB′C) S_(△ABC′)。     

篮球阴影问题——研究性学习课例示范

1问题1的引入经常打篮球的学生提出一个问题:篮球停止在地面上的时候,太阳光斜照下来,篮球的阴影部分是否是一个椭圆呢?对此可用立体几何、解析几何的原理进行探讨.解法1画图分析,如图1,假设球的半径为R,地面为平面γ,光线与地面所成的角为α,过球心且垂直于光线的平面为φ,它和地面γ的交线为l,平面φ截球面所得的大圆的直径为A′B′,并记二面角γ-l-φ的大小为θ,θ=2π-α.图1点P是阴影曲线上的任一点,它从圆O′上的点P′处射过来的.则PP′⊥φ.因为PP′、PH都是球的切线,所以PP′=PH.作PQ⊥l于Q,则有PPPQ′=sinθ=cosα,PHPQ…     

2007年普通高等学校招生全国统一考试 (湖北卷)数学(理工农医类)

一、选择题:本大题共10小题,共50分.1.如果(3x2-x23)n的展开式中含有非零常数项,则正整数n的最小值为()A.3B.5C.6D.102.将y=2cos(3x 6π)的图象按向量a=(-4π,-2)平移,则平移后所得图象的解析式为()A.y=2cos(3x 4π)-2B.y=2cos(3x-4π) 2C.y=2cos(3x-1π2)-2D.y=2cos(3x 1π2)-23.设P和Q是两个集合,定义集合P-Q={x|x∈P,且x Q},如果P={x|log2x<1},Q={x||x-2|<1},那么P-Q等于()A.{|x|0相似文献   

利用类比探求椭圆的一个最值问题

问题设椭圆方程为ax22 yb22=1(a>b>0),AB是过椭圆内的定点P(m,n)的弦,求△OAB的面积的最大值.图1我们先来考虑圆的一个类似问题:设A′B′是过圆x′2 y′2=a2内的定点P′(m′,n′)的弦,求△OA′B′的面积的最大值.如图1,设A′(acosα,asinα),B′(acosβ,asinβ),则S△OA′B′=1     

三角题的解析证法

有些三角题若用三角法求解则解法冗长 ,教材中的两角差的余弦公式是利用单位圆上的点的坐标给予证明的 .这给予我们启示 ,若有 f( cosα,sinα) =0 ,注意到 sin2α +cos2 α=1 ,我们可以把点 P( cosα,sinα)看成单位圆 x2 + y2 =1与曲线 f ( x,y) =0的交点 .因此某些三角题可以用解析法求解或证明 ,这样做还可以帮助学生融化贯通各科知识 .例 1　△ ABC中cos A sin A 1cos B sin B 1cos C sin C 1=0 .求证 :△ ABC为等腰三角形 .图 1证明　由条件知 :单位圆上三点P1( cos A,sin A) ,P2 ( cos B,sin B) ,P3 ( cos C,sin C)三点共线…     

一道值得关注的高考选择题

2005年高考湖南卷(理科)第10题是一道值得关注、探究的创新试题,现摘录如下：设P是△ABC内任意一点,S_(△ABC)表示△ABC的面积,λ_1=S_(△PBC)／S_(△ABC),λ_2=S_(△PCA)／S_(△ABC),λ_3=S_(△PAB)／S_(△ABC),定义f(P)=(λ_1,λ_2,λ_3)。若G是△ABC的重心,f(Q)=(1／2,1／3,1／6),则( )。 (A)点Q在△GAB内 (B)点Q在△GBC内 (C)点Q在△GCA内 (D)点Q与G重合据高考阅卷情况反馈,该题得分率很低,究其原因,很多考生觉得该题情境新,题意不易理解,入手困难。下面先介绍两种解法。     

三角形的双圆半径的一个"孪生"命题

文 [1 ]给出如下关于三角形双圆半径的一个命题 :设△ ABC的外接圆半径为 R,内切圆半径为 r,顶点 A、B、C到内心的距离分别为 a0 、b0 、c0 ,则　 4 Rr2 =a0 b0 c0 .今给出此命题所引伸出的一个“姊妹”命题 :命题　设△ ABC的外接圆半径为 R,旁切圆半径为 r′,顶点 A、B、C到对应的旁心的距离分别为 a′0 、b′0 、c′0 ,则　 4 Rr′2 =a′0 b′0 c′0 .证明　如图 1 ,∵　 r′=a′0 sin A2 =b′0 cos B2=c′0 cos C2 ,∴　 r′3=a′0 b′0 c′0 sin A2 cos B2 cos C2 1又　△ =12 r′( b c - a) =Rr′( sin B sin C - sin A…     

关于椭圆性质的另一种推导

如图1所示,αl β为平面角等于θ的二面角(规定0°<θ<90°) .已知α平面内有一半径为R的圆O ,则圆O在β平面内的正射影为椭圆.研究过程如下:图1　研究用图在α内,以O为原点建立直角坐标系xoy ,其中ox轴∥l,则其在β内的正射影记为直角坐标系x′o′y′.设α上圆O :x2 + y2=R2 上一点为M (x ,y) ,它对应(这里的对应指由α到β的正射影,下同)于β上一点M′(x′,y′) ,则x′=x ,y′=y·cosθ,即x =x′,y =y′/cosθ,将其代入圆O的方程x2 + y2 =R2 中,得x′2R2 + y′2(Rcosθ) 2 =1 ( 1 )记a =R ,b =R·cosθ,则由( 1 )有x′2a2 + y′2b2 …     

匹窦不等式的一些初等证法

匹窦(D.Pedoe)是一位著名的几何学家,早在本世纪四十年代初期,他就提出并证明了一个涉及两个三角形的边长和面积的不等式,这个不等式,称为匹窦不等式,即设△ABC和△A′B′C′的边长分别是α,β,γ和α′,β′,γ′,它们的面积分别记为△和△′,那么将有不等式     

数学问题解答

1988年4月号问题解答(解答由问题提供人给出)526。平面上有两个正三角形ABC、A′B′C′,B′C′在BC上且它们有公共中点O,三角形位置如图示。然后把△A′B′C′绕O点转动到△A″B″C″的位置。试证:不论两个三角形边长如何,也不论转过多大角,总有     

利用平移解决最值问题

<正>利用平移解决问题,有时会很奏效.下面我们来看一道中考题如何利用平移来求解其最值.如图1,在平面直角坐标系中,A(-2,0),B(0,4),点E在OB上,且∠OAE=∠OBA.(1)求点E的坐标;(2)如图2,将△AEO沿x轴平移得到△A′E′O′,连接A′B、BE′.1AA′=m,其中0相似文献   

问题征解

一、本期问题征解 1.已知47~(100)是168位数,试求47~(25)的位数。 2.已知x、y为正整数,且xy=24,求函数1/(x~2+y~2)的极大值。 3.在△ABC和△A′B′C′中,已知∠B=∠B′,BC=B′C′,AB+AC=A′B′+A′C′, 求证△ABC≌△A′B′C′。 4.在△ABC中,AB=AC,在AB上取一点D,AC延长线上取一点E,使DB=EC,连接DE交BC于G,求证DG=GE。黄冈上巴河标云岗中学熊红英 5.M为BC边的中点,AD为∠A的平分线。过A、D、M三点作圆设交AB、AC于E、F点,求证BE=CF。     

一道立体几何题的两个拓展结果

题目:设α-l-β是锐二面角,点A∈α,点B∈β,直线AB与α、β所成的角分别是θ1和θ2,点A,B到棱l的距离分别是d1和d2,则d1:d2,等于()(A)cosθ1/cosθ2(B)cosθ2/cosθ1(C)sinθ1/sinθ2(D)sinθ2/sinθ1重新审视这道题会得到以下结论命题1设二面角α—l—β的平面角是θ,点A∈α,点B∈β,AB=a,直线AB与α、β所成的角分别是θ2和θ1,点A、B到棱l的距离分别     

一个模型的生长点

<正>图1模型如图1,在直线l的同侧有两点A、C,在直线l上找一点B使AB+BC的值最小.如图1,显然我们先找到点A关于直线l的对称点A′,连结A′C交直线l于点B,则此时AB+BC=A′C最小.证明简单,这里从略.生长点一一个动点图2例1(第16届希望杯赛题)如图2,正△ABC的边长为a,D是BC的中点,P是AC上的动点,连结PB和PD得到△PBD.求:(1)当点P运动到AC的中点时,△PBD的周长;(2)△PBD的周长的最小值.简析(1)略;(2)△PBD中,因为点B和点D是定点,所以BD的长度唯一确定,又正△ABC的边长为a,即BD=12a,所以若求△PBD的周长的最小值,只需求出PB+PD的最小值即可,此时已经     

梅涅劳斯定理的应用

<正>梅涅劳斯定理作为奥数的入门定理,在解题中可以起到简化解题步骤、优化解题过程的作用,特别是在平面向量和空间向量的求比值问题中应用广泛.梅涅劳斯定理~([1])设A′,B′,C′分别是△ABC的三边BC,CA,AB或其延长线上的三点,若A′,B′,C′三点共线,则     

对课本一个结论的加强与推广

1 课本结论的再现 全日制普通高级中学教科书(必修)数学第二册(下B)P48,在研究平面的斜线和它在平面内的射影所成的角时,有这样一段话:"已知AO是平面α的斜线,A是斜足,OB垂直于α,B为垂足,则直线AB是斜线在平面α内的斜影,设AC是平面内α的任一直线,且BC⊥AC,垂足为C,又设AO与AB所成的角为θ1,AB与AC所成的角为θ2,AO与AC所成的角为θ,那么θ,θ1,θ2之间满足如下关系式:cosθ=cosθ1cosθ2."     

數学問題及解答欄

205.一點P与△ABC各頂相連,在連綫PA、PB、PC上各取一點A′、B′、C′,使■过A′、B′、C′依次作PA、PB、PC的垂綫,設分别交BC、CA、AB於X、Y、Z,試証X、Y、Z三點共綫。 206.設△ABC与△A′B′C′關於⊙O共軛(即A、B、C分別为B′C′、C′A′、A′B′的極點),求証△ABC与△A′B′C′互相透視,並且透視心是透視軸的極點。 207.證明多項式 f(x)=(1/7)x~7+(1/5)x~5+(1/3)x~3+(34/105)x当x取任何整數時,總是得整數。 208.有13颗珍珠,其中一顆是假的,已     

利用三角形重心性质巧解一道高考数学难题

<正>2019年浙江高考题如图1,已知点F(1,0)为抛物线y~2=2px(p>0)的焦点,过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线上,使得△ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F的右侧.记△AFG,△CQG的面积分别为S_1,S_2.(1)求p的值及抛物线的标准方程;(2)求S_1/S_2的最小值及此时点G的坐标.     

一个计算二面角大小的公式

高中现行立体几何教材仅给出运用定义求二面角大小的一般方法,而未提供公式计算法。本文以向量为工具,得出一个计算二面角大小的有效公式,现介绍如下。公式如图1,从空间一点O引三条射线OA,OB,OC,在OC上任取点C,作CA⊥OC于C交OA于A,作CB⊥OC于C交OB于B,设(?),二面角A-OC-B的大小为α,则有 cosα=(cosθ-cosθ_1cosθ_2)/(sinθ_1sinθ_2)。证明如图1,由CA⊥OC,CB⊥OC知∠ACB为二面角A-OC-B的大小, ∴α=∠ACB=(?)。     

一道课本例题的引伸与探究

1问题提出国标苏科版教材九年级上册24页例6[1]:图1已知:如图1,E、F、G、H分别是正方形ABCD各边的中点,AF、BG、CH、DE分别相交于点A′、B′、C′、D′.求证:四边形A′B′C′D′是正方形.2方法探究课本给出的证法经历了三次全等证明:①△ABF≌△BCG,②△AB′B≌△BC′C,③△AA′E≌△BB′F.接下来,要思考的是能否减少证明全等的次数,使得证明更简单、自然?不妨把上述的三次证明全等,定义为三个模块.不难发现,模块①是证明过程必不可少的,通过模块①证∠A′B′C′=90°,同理可证四边形A′B′C′D′其它的各内角也都为90°,从而可证四边形A′B′C′D′是矩形.在此基础上,模块②、③中只需证明其中的一个即可.方法1证明模块②,可得AB′=BC′,BB′=CC′,同理有CC′=DD′=AA′,则AB′-AA′=BC′-BB′,即A′B′=B′C′,从四边形A′B′C′D′的一组邻边相等.因此,四边形A′B′C′D′是正方形.方法2证明模块③,可得AA′=BB′,B′F=A′E,同理有A′E=D′H=C′G,则AF-B′F-AA′=BG-C′G-BB′,即A′B′=B′C′,从...