八圆定理

定理1⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切,⊙O1切⊙O2、⊙O3于A、C,⊙O2与⊙O3切于B,⊙O4与⊙O1、⊙O2、⊙O3分别外切于D、E、F(如图1),则⊙ADE、⊙BEF、⊙CDF两两外切,且与⊙ABC均内切.先证引理1.引理1⊙O1(r1)、⊙O2(r2)、⊙O3(r3)两两外切,⊙O1与⊙O2、⊙O3切于A、C,⊙O2与⊙O3切于B,     

探究一道中考选择题的解法

题目(2014年湖北武汉)如图1,PA、PB切⊙O于A、B两点,CD切⊙O于点E,交PA、PB于C、D两点.若⊙O的半径为r,△PCD的周长等于3r,则tan∠APB的值是().A5(1/2)3/(12)B.12/5C.3(1/2)(13)/5D.2 (1/2)(13)/3分析:此题以圆的一个基本图形为背景设置,内涵十分丰富:PA=PB;连接OA、OB,则∠OAP=∠OBP=90°;连接OP,则OP平分∠APB;连接AB,则OP垂直平分AB……     

与教材中的一个例题相关的中考题

例题如图1,⊙O1和⊙O2外切于点A,BC是⊙O1和⊙O2的外公切线,B、C为切点,求证:AB⊥AC.纵观近几年的中考试题,与此题相关的试题层出不穷.现举几例加以说明,以供参考.例1(2003年天津)已知,如图2,⊙O1与⊙O2外切于点A,BC是⊙O1和⊙O2的外公切线,B、C为切点.(1)求证:AB⊥AC;(2)若r1、r2分别为⊙O1和⊙O2的半径,且r=2r2,求AB/AC的值.     

第四届北京高中数学知识应用竞赛初赛

答卷要求1 可以使用任何参考资料和计算工具 .2 考试时间从 1 2月 1 5日 1 6:0 0开始 ,1 2月1 8日 8:0 0准时交卷 .试　　题一、窗户造型 (满分 1 5分 )《中学生数学》杂志 2 0 0 0年第一期的封面是一幅欧洲教堂的照片 ,它是一座哥特式的建筑 .建筑物上有一个窗户的造型如右图所示 .图中弧ＡＢ和弧ＡＣ分别是以Ｃ和Ｂ为圆心 ,ＢＣ长为半径的圆弧 .⊙Ｏ1 、⊙Ｏ2 和⊙Ｏ3两两相切 ,并且⊙Ｏ1 、⊙Ｏ2 与弧ＡＢ相切 ,⊙Ｏ1 、⊙Ｏ3与弧ＡＣ相切 ,⊙Ｏ2 、⊙Ｏ3的半径相等 .如果使⊙Ｏ2 、⊙Ｏ3充分大 ,记ＢＣ的长度为ａ ,请你计算出⊙Ｏ1 的…     

发现 归纳 探究 创新——中考压轴题引发的思考

一、中考试题 如图1,⊙O1与⊙O2外切于点A,BC是 ⊙O1和⊙O2的一条外公切线,B、C为切点． (1)求证:AB⊥AC;(2)若R、r分别为 ⊙O1、⊙O2的半径,且R=2r,求AB/AC的值．     

数学问题解答

2021年1月号问题解答(解答由问题提供人给出)2581如图1,半径为r、R的⊙B、⊙C外切于点A(R>r),两圆的一条外公切线与⊙B相切于点D,与⊙C相切于点E,点H₁、H₂在BC上,且BH₁=CH₂.过点A作DE的垂线,与过点H₁垂直于BC的直线相交于点F₁与过点H₂垂直.于BC的直线相交于点F₂.求证.     

问题与解答

一、本期问题 1 △ABC中,BC=a,其内切圆半径为r,如图两个半径同为r_a的⊙X、⊙Y分别与AB、 BC和AC、BC相切,且⊙X、⊙Y也彼此外切。试证:1/γ_a-1/γ=2/a。 2 设函数f(x)是奇函数,对任意x、y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,f(x)<0,f(1)=-2,求f(x)在〔-3,3〕上的最大值和最小值。江苏省六合县八百中学周永道供题 3 比较sum from n-1 to 25(1-n/365)与1/2的大小。     

一道中考题的解构与多解分析

<正>1试题呈现(2023年宜宾中考)如图1,以AB为直径的⊙O上有两点E,F,■,过点E作直线CD⊥AF交AF的延长线于点D,交AB的延长线于点C,过C作CM平分∠ACD交AE于点M,交BE于点N.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)求证:EM=EN;(3)如果N是CM的中点,且AB=9(5)^1/2,求EN的长.     

圆锥曲线的切线的几何作图

圆的切线的几何画法是大家熟悉的。我发现了另外三种圆锥曲线的切线的初等几何画法。一、作图 i)椭圆的切线的几何作图如图1,0为椭圆的中心,F_1、F_2为椭圆的焦点,P为椭圆外一点,过p作椭圆的切线。作法 1.以O为圆心,长半轴长a为半径作⊙O。 2.以PF_1(或PF_2)为直径作⊙O＇,交⊙O于Q、Q＇(若P在⊙O上,则Q、Q＇分别为以PF_1、PF_2为直径的圆与⊙O的另一交点)。 3.连PQ、PQ＇,则PQ、PQ＇就是所求作的切线。     

一道关于圆的几何题的多解

<正>例已知△ABC内接于⊙O,(1)如图1,AD⊥BC,证明∠BAD=∠OAC;(2)运用(1)结论,如图2,H为△ABC的垂心,若∠ABC的平分线BE⊥HO,交⊙O于E,⊙O的半径为10,求弦AC的长.(1)证明如图1,延长AO交⊙O于K,连接CK.∵AK为⊙O直径,AD⊥BC,∴∠BDA=∠KCA=90°.又∠B=∠K,由三角形内角和知∠BAD=∠OAC.对于第二问,提供以下四种解题思路.思路1构造等边三角形(2)解如图3,连接BH,BO,连CH并延长交AB于G,交⊙O于F,连接BF,作直     

初三几何第二学期自测题

A组 一、填空题(每小题3分,共计30分) (1)如果两圆的公切线只有两条,那么这两个圆的位置关系是_. (2)如果一个多边形的内角和等于720°,那么这个多边形的边数是_. (3)已知正六边形的边长为a,则其内切圆与外接圆组成的圆环的面积为_. (4)两等圆⊙O1和⊙O2相交于A,B两点,且⊙O1经过圆心O2,则∠OAB=_. (5)若半径分别为1和2的两圆相切,则这两圆的     

牛顿线的一个性质——一个几何定理的疵点和推广

文[1]给出一个几何定理: 在△ABC中,以边AB,BC,CA为对称轴,作外心O的对称点D',D",D"',连结CD',AD",BD"',三条直线CD',AD",BD"'共点.设此点O',称O',为△ABC的边对称外心,此点是牛顿线段的中点,且有OG:GO',:O'H=2:1:3 (N)     

相切圆与平行线——对叶中豪提出的一道几何题的探讨

一、引言众所周知,⊙0_1,⊙0_2均与⊙0相切的情形有三种: Ⅰ⊙0_1,⊙0_2均内切于⊙0; Ⅱ⊙0_1,⊙0_2分别内、外切于⊙0; Ⅲ⊙0_1,⊙0_2均外切于⊙0(如图1)。命题1 设⊙0_1,⊙0_2均与⊙0_3内切,⊙0_1,⊙0_2的内公切线AB,CD分别交⊙0_3于A、B、C、D、求证:AC、BD分别与⊙0_1,⊙0_2的外公切线平行(如图2):     

相切问题与圆锥曲线

问题:“已知一动圆与⊙C1:(x 3)2 y2=4和⊙C2:(x-3)2 y2=1都相外切,求此动圆圆心的轨迹方程.”     

初三几何第二学期自测题

一、填空题 (每小题 3分 ,共 3 0分 )1 .△ABC中 ,AB =1 3 ,AC =5 ,BC =1 2 ,则△ABC的外接圆直径为 .2 .圆的半径为 5 ,圆中一条弦的弦心距为 4,那么这条弦长为 .3 .已知⊙O的半径为 5cm ,圆心O到直线AB的距离为 5cm ,那么直线AB与⊙O的位置关系为 .4.正六边形的半径与边心距之比为 .5 .半径为 6cm的圆中 ,长为πcm的弧所对的圆周角为 .6.如图 1所示 ,EF是⊙O的弦 ,P是EF上一点 ,EP =5 ,PF =4,OP =4,则⊙O的直径是 .7.如图 2所示 ,PA是⊙O的切线 ,A为切点 ,PBC是过点O的割线 ,PA =4cm ,PB =2cm ,则⊙O的面积为.8.已知⊙…     

数学问题解答

20 0 3年 6月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 4 36　如图 .⊙O1 与⊙O2内切于P ,⊙O1 的弦AB切⊙O2 于C .若⊙O1 和⊙O2的半径分别为R、r.求证 :AC2AP2 =R-rR .(安徽省肥西中学　刘运谊　 2 31 2 0 0 )证明　设PA、PB交⊙O2 于E、F ,连结EF ,过P作⊙O1 与⊙O2 的外公切线MN ,延长PC交⊙O1 于Q ,再连BQ、CF .因为MN是⊙O1 与⊙O2 的外公切线所以∠EFP =∠APM =∠ABP所以EF∥AB ,所以CE =CF所以∠APC=∠BPC又因为∠A =∠Q所以△APC ∽△QPB、△APC∽△QBC所以 ACAP =BQPQ ( 1 )　　 ACAP =CQBQ (…     

三角形的面积问题探索

<正>一、直接求三角形的面积例1(2016年全国竞赛试题)如图1,已知⊙O的半径OD垂直于弦AB,交AB于点C,连接AO并延长交⊙O于点E,若AB=8,CD=2,则△BCE的面积为().(A)12(B)15(C)16(D)18简析利用方程先求出圆的半径.设OC=x,则OA=OD=x+2.∵OD⊥AB于C,∴AC=CB=(1/2)AB=4.在Rt△OAC中,(OC)²+(AC)2+(AC)²=(OA)2=(OA)²,即x2,即x²+42+4²=(x+2)2=(x+2)²,解得x=3,即OC=3.     

平行四边形的一个性质

<正>一、性质如图1, P为■ABCE所在平面上任一点,记PA=a,PB=b,PC=c,PD=d,AB=s,BC=t,BD=m,则m²-(s2-(s²+t2+t²)=(b2)=(b²+d2+d²)-(a2)-(a²+c2+c²).我们先证明如下引理.引理如图2,在四边形ABCD中,AD∥BC,记AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,BD=m,AC=n,则m2).我们先证明如下引理.引理如图2,在四边形ABCD中,AD∥BC,记AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,BD=m,AC=n,则m²+n2+n²=a2=a²+c2+c²+2bd.证明如图3,以BD为半径作⊙B,以CD为半径作⊙C,⊙B与⊙C的另一交点为D′,直线AD与⊙B、⊙C的另一交点分别为E、F.连结DD′、ED′、FD′,易知BC⊥DD′(连     

一道中考题的解题思路分析

题目(2011黄石)已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,点O1在⊙O2上,C为⊙O2上一点(不与A,B,O1重合),直线CB与⊙O1交于另一点D.(1)如图1,若AC是⊙O2的直径,求证:AC=CD;(2)如图2,若C是⊙O1外一点,求证:O1C⊥AD;     

求两圆公切线方程的简捷方法

设⊙Ｏ1,⊙Ｏ2 的半径分别为ｒ1,ｒ2 且ｒ2 >ｒ1.可用以下两种简捷方法来求两圆的公切线方程 .方法 1　 1 )作出两圆的公切线与两圆连心线Ｏ1Ｏ2 的交点Ｐ ,求出点Ｐ分有向线段Ｏ1Ｏ2 的比λ =- ｒ1ｒ2(外公切线 )或λ =ｒ1ｒ2(内公切线 ) ;2 )由定比分点坐标公式求出点Ｐ的坐标 ;(1)　　　　　　 (2 )图 1　方法 1图　　 3)求出过点Ｐ与⊙Ｏ1(或⊙Ｏ2 )相切的切线方程即为所求 .方法 2　 1 )以Ｏ2 为圆心 ,半径ｒ=ｒ2 -ｒ1(外公切线 )或ｒ =ｒ1 ｒ2 (内公切线 )作圆 ;2 )求出过点Ｏ1与所作圆相切的切线斜率ｋ ;3)求出斜率为ｋ的两圆公切线…