二次曲线切点弦的一个优美性质

文[1]给出了二次曲线定点弦的一个优美性质,引起了笔者的注意.文[1]证明了过二次曲线定点弦端点的两切线交点轨迹为一定直线,那么过定直线上的点向二次曲线所引切线的切点弦所在直线是否也过定点呢?经证明,答案是肯定的.定理1椭圆x2a2 2yb2=1(a>b>0),过直线mx ny=1上在椭圆外的     

例谈“中点弦”所在直线方程的解题策略

<正>问题过点M(0,1)的直线l,使其被直线m:x-3y+10=0和直线n:2x+y-8=0所截得的线段恰好被点M平分,求直线l的方程.这类问题在二次曲线中常见,相当于知道线段(弦)的中点,求线段所在的直线方程,称之为"中点弦"问题.以下几种解题策略,对于二次曲线"中点弦"问题同样适用.1待定斜率法     

非退化二次曲线的又一个性质

首先还是着看我们所熟悉的非退化二次曲线两个有用的性质: 设非退化的二次曲线F,其方程为: f(x,沙)== Ax,+刀万恋+且Cx万+￡Dx+g石万+F=0(1)一直线l,其方程为: Ax .x+Bg。夕+C(x。万+万。x)+D(x+x。)+石(夕+夕。)+F=0(2) 性质1当点P(x。,夕)在F上时,(2)表示过P且与F相切的直线方程。 性反2当p(x。,夕,)在F的外部时,(约表示过P引F的两切线,切点弦所在的直线方程。 在理解这两个性质时,应注意以下两点: 1。什么是曲线F的内部、外部。F把平面分成三个部分,!牛了r本身一部分外,曲线的焦点(或圆心)所在的一部分叫做r的内部(或内区域);剩…     

双曲线切线的存在性及引向

一、《代换法》引出的问题 程龙同志在《代换法则的一些应用》一文中(见数学通报82年第10期)证明了切点弦定理。 定理叙述如下: “设M(x_0,y_0)是二次曲线C:F(x,y)=0外的一点。那么二次曲线C关于点M的切点弦所在的直线方程是:F′_(x_0,y_0)(x,y)=0”     

读"圆锥曲线的一个优美性质"想到的

文[1]:“圆锥曲线的一个优美性质”,其结论如下:定理1设椭圆E:x2a2 y2b2=1(a>b>0)过定点M(m,n)(m2 n2≠0,m2a2 n2b2≠1)的两直线分别交E于A、B、C、D,则直线AC、BD的交点N在直线l:mxa2 nyb2=1上.定理2设双曲线E:x22a-y2b2=1(a>0,b>0)过定点M(m,n)(m2 n2≠0,m2a2-2nb2≠1)的两直     

二次曲线切点弦的一个优美性质

文[1]给出了二次曲线定点弦的一个优美性质，引起了笔者的注意，文[1]证明了过二次曲线定点弦端点的两切线交点轨迹为一定直线，那么过定直线上的点向二次曲线所引切线的切点弦所在直线是否也过定点呢？经证明，答案是肯定的。     

椭圆中一个常见命题的推广

椭圆中的一个常见命题[1]:设A、B是椭圆xa22 yb22=1长轴的两个端点,CD是与AB垂直的弦,则直线AD与直线BC交点的轨迹方程是xa22-by22=1.把椭圆的一对特殊的共轭直径x轴与y轴演变为任意的一对共轭直径,有定理1设A(m,n),B(-m,-n)是椭圆ax22 by22=1一条直径的两个端点,CD是与AB的共轭直径平行的弦,设直线AD与直线BC交点M,则点M的轨迹方程为(b2m2-a2n2)(b2x2-a2y2) 4a2b2mnxy-a4b4=0.证明设M(x0,y0),则直线PA、PB的方程是y=n xy00--nm(x-m),y=-n xy00 mn(x m)由直线PA、PB生成的二次曲线[y-n-xy00--mn(x-m)]·[y n-xy00 mn(x m)]=0…     

二次曲线定点弦的一个优美性质

文 [1 ]给出了二次曲线定点弦的一个耐人寻味的性质 ,本文将给出二次曲线定点弦的另一个优美性质 .定理 1　椭圆 x2a2 + y2b2 =1 (a >b >0 )的过定点M (m ,n) (m≠ 0且m≠±a)的动弦AB(不平行于焦点轴 )的两端点的切线交点N的轨迹是直线 :mxa2 + nyb2 =1 .证　设A (x1,y1) ,B(x2 ,y2 ) ,N (x ,y) ,则切线AN :x1xa2 + y1yb2 =1 .切线BN :x2 xa2 + y2 yb2 =1 .图 1　定理 1图联立两方程可解得 :x =a2 ( y2 - y1)x1y2 -x2 y1( 1 )y =b2 (x1-x2 )x1y2 -x2 y1( 2 )设kAB=k (k≠ 0 ) ,则直线AB :y -n =k(x -m) ,y2 - y1=k(x2 -x1) ( 3)x1y2 …     

一道2007年高考题的推广及应用

问题1(2007年高考湖南卷,理20)已知双曲线x2-y2=2的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的动直线与双曲线相交于A,B两点.1)若动点M满足F1M=F1A F1B F1O(其中O为坐标原点),求M的轨迹方程;2)在x轴上是否存在定点C,使CA·CB为常数?若存在,求出点C的坐标,若不存在,请说明理由.问题1的2)正确结论为“在x轴上存在定点C(1,0),使CA·CB为常数”.对此,本文作如下推广.定理1已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0,c>0,c2=a2 b2),过定点T(t,0)(t≠0且t≠±a)的动直线与双曲线相交于A,B两点,则在x轴上存在唯一定点C((a2-b2)t2 a2c22a2t,0),使CA·CB为常…     

抛物线中精彩的"一点一线"

为了引出本文所要探讨的主角,我们首先看如下问题:已知抛物线C:y2=2px,(p>0)及定点M(m,n),过点M任作直线l'交抛物线C于A,B两点,分别过点A,B作抛物线C的切线,两切线交于点N,当直线l'运动时,试求点N的轨迹方程.     

抛物线中的若干最值问题

<正>过抛物线的对称轴上一定点引直线交抛物线于两点,则以这两点为端点的弦被对称轴上的定点截成两部分,本文给出这两部分组合的五个最值问题,并用统一的方法给以解答.问题1给定抛物线E:y2=2px(p>0),M(m,0)(m>0)是x轴(即E的对称轴,下同)上的一定点,过M引直线l交E于不同的两点A、B,求|AB|的最小值.     

关于二次曲线切点弦的几个定理

所谓二次曲线的切点弦,即从二次曲线外一点向曲线作两条切线,连接两切点的线段。其方程由下面几个定理给出。定理1：过园x~2 y~2=r~2外一点p(x_0,y_0)引园的两条切线,设切点分别是p_1,p_2,则切点弦(即p_1p_2)的方程为     

还原一道高考试题的真实面目

文[1]的研究很有实用价值,笔者最近在研究圆锥曲线切点弦问题时,发现了一个有用的性质: 定理过双曲线x2/a2-y2/b2=1上任一点E作椭圆x2/a2+y2/b2=1的切线EM,EN,切点分别为M,N两点,直线MN交双曲线两渐近线于G,H两点,O为坐标原点,则S△OGH=ab.     

透过斜率数交点

直线与圆锥曲线的位置关系这一节内容包含直线与圆锥曲线的公共点、曲线截直线所得弦长、弦中点问题,这些内容繁复但可以很好地体现数学思想方法,既是重点又是难点.现对过定点的直线与双曲线的交点情形进行分析.设直线l的方程为y=kx m过定点M(x0,y0),双曲线的方程为xa22-by22=1     

江西卷(理)第21题的推广与拓展

2008年高考江西卷(理)第21题是: 　　设P(x0,y0)是在直线x=m(y≠±m,0＜m＜1)上,过P点作双曲线x2-y2=1的两条切线PA、PB,切点为A、B,定点M(1/m,0).……     

例析曲线过定点问题

曲线(包括函数的图象)过定点问题是研究曲线性质的重要组成部分,它也是高中数学中一类重要的题型,通过对这类问题的研究,有助于加深对曲线性质的理解和应用.下面介绍一下解决这类问题的常用解题策略.1.利用a0=1(其中a>0,且a≠1)例1(2007年山东卷·文)函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过点A,若点A在直线mx ny-1=0(mn>0)上,则1m 1n的最小值为.解析函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(0,1),∴函数f(x)=a1-x(a>0,且a≠1)的图象恒过点A(1,1).又点A在直线mx ny-1=0(mn>0)上,∴m n-1=0,∴m n=1.∴1m 1n=mm n mn n=2 mn nm≥2 2mn·nm=2 2=4,∴1m…     

“二次曲线”一章的教学体会

在新编高中课本第二册,二次曲线一章的教学中,我有如下的体会:教材先介绍椭圆定义,“动点到两定点的距离之和等于定值的点轨迹叫椭圆”.然后据此定义导出标准方程,后来安排一个例题:(即现行教材中的例4)点M(x,y)到定点F(c,0)的距离和它到定直线l:x=a~2/c的距离的比是常数c/a(a>c>0),     

二次曲线的定点弦

文 [1 ]给出了二次曲线的垂轴弦的定义及三个性质 ,经笔者探究 ,发现二次曲线的定点弦也有耐人寻味的性质 .这些性质同样也深刻地揭示了二次曲线的又一几何特征 .性质 1　椭圆、双曲线 x2a2 ± y2b2 =1 (a >0 ,b>0 )的过定点 (m ,0 ) (m≠ 0 ,且m≠±a)的一条弦的两端点和其焦点轴上的两顶点的连线的交点的轨迹是直线x=a2m.证明　以下只证明椭圆情况 ,双曲线同理可证 .不妨设椭圆方程为 x2a2 + y2b2 =1 (a>b>0 ) ,设P1 (x1 ,y1 ) ,P2 (x2 ,y2 ) .(如图 )A1 ( -a ,0 ) ,A2 (a ,0 ) ,则直线P1 A1 :y =y1 x1 +a(x +a) ,P2 A2 :y=y2x2 -a(x-…     

椭圆的长点与长线

<正>命题已知A、B分别为椭圆E:x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0)的左、右顶点,点M (m,0)(异于椭圆中心和长轴的端点),直线l:x=a~2/m.(1)若过点M的直线交椭圆于C、D两点,直线AC与直线BD交于点P,则点P在定直线l上;(2)若点P直线l上,直线PA、PB分别交椭圆于点C、D,则直线CD过定点M.     

“代点法”一文的一点补充

一九八三年第六期《数学通报》刊载了胡世荣同志的篇名为“解平面解析几何题的简捷方法——代点法”的文章。文章的绝大部分内容是正确的,也是简捷的一种解题法。但文中第三部分“二次曲线的弦被一定点平分求这弦所在的直线方程”,作者却忽视了定点M(m,n)在坐标系中的位置。应当指出:绝非任一点M(m,n)都有弦P_1P_2存在,使得P_1、P_2在二次曲线上,且M为P_1P_2线段的中点。