对一类不等式的多证

题目 已知a,b,c∈R^＋,a＋b＋c=1,求证：√4a＋1＋√4b＋1＋√4c＋1≤√21。 证明一（√4a＋1＋√4b＋1＋√4c＋1·√7/3=√4a＋1·√7/3＋√4b＋1·√7/3＋√4c＋1·√7/3     

一道不等式的证明与推广

题目 已知a〉0，b〉0，c〉0，a＋b＋c=1，证明：√3a＋1＋√3b＋1＋√3c＋1≤3√2     

一道竞赛题的证法再探

对如下一道竞赛题：已知a，b，c≥O，且a＋b＋c=1，求证： √a＋4^-1（b-c）^2＋√b＋√c≤√3     

对一个四元不等式的证明及推广

文[1]证明了这样一个不等式,若n,b,c为正实数,则．√a/b＋c＋√b/a＋c＋√c/a＋b〉2.     

数学问题解答北大核心

2018年5月号问题解答（解答由问题提供人给出） 2421已知a,b,c,d∈R^＋,且a＋b＋c=3,求证： 2（4√a＋4√b＋4√c）＋3≥3（ab＋bc＋ca）． （安徽省六安第二中学 陶兴红 237005）     

一道不等式试题的探究

一、问题提出 已知a,b,c∈R^＋且a＋b＋c=2． （1）求证：√a（2-a）≤9^-4√6;     

又是一个“美丽的错误”

题目对任意正实数a、b、c,求证：1〈a/√a^2＋b^2＋b/√b^2＋c^2＋c/√c^2＋a^2≤3√2/2.     

一道不等式问题的探源、证明与推广

《数学教学》2012年第12期的数学问题874为：题目 已知 m,n∈N＋,m,n≥2,xi∈R＋（i=1,2,…,m）,（^m∑i=1）xi=S,n∈N＋,求证：（^m∑i=1）^n√xi/S-xi≥.看完此题,笔者不禁想起了文[1]中的不等式：题源1已知a,b,c为正数,求证：√a/（b＋c）＋√b/（c＋a）＋√c/（a＋b）〉2。     

一类不等式的背景探源

文[1]给出了以下不等式的简证与加强,已知a,b〉0, （1）求证：√a/2b＋a＋√b/2a＋b≤2/√3 （2）求证：√a/2a＋b＋√b/2b＋a≤2/√3     

对一道自创题的引申和总结

题目 已知a1＋a2＋a3=4，b1＋b2＋b3=3，且a1，a2，a3，b1，b2，b3均为正数，试求√a1^2＋b1^2＋√a2^2＋b2^2＋√a3^2＋b3^2的最小值。     

对一道世锦赛试题的拓广

题目 设a,6,c∈R+,a+b+c＝1,则M＝√3a+1+√3b+1+√3c+1 的整数部分 ∈是( ). 参考答案是这样求M的下界值的: 因为x∈(0,1)时,有x＞xn(n∈N且n≥2),所以√3x+1＞√x2+2x+1＝x+1. 即√3a+1+√3b+1+√3c+1＞a+b+c+3＝4.     

2014年全国高中数学联赛加试第一题的证法探究

2014年全国高中数学联赛A卷加试第一题：设实数a,b,c满足a＋b＋c=1,abc〉0．求证：ab＋bc＋ca〈√abc/2＋1/4.本文探究这道试题的几种解法,供读者参考。     

两个优美不等式的再巧证

在一些参考书上，我们看到了下面两个不等式． 已知a〉0，b〉0， （1）求证：√a/2b＋a ＋√b/2a＋b≤2/√3     

新题征展(103)

A题组新编 　　1.(1)已知Y∈R+,求证: 　　1/2(x+y)2+1/4(x+y)≥x√y+y√x; 　　(2)设a、b、c为不全相等的正数,求证: 　　bc/a+ac/b+ab/c>a+6+c; 　　(3)已知口,b,c∈R+, 　　求证:a2/b+c+b2/c+a+c2/a+b≥a+d+c/2; 　　(4)已知a,b,c∈R+, 　　求证:c/a+b+a/b+c+b/c+a≥3/2; 　　(5)若正数a、b,c满足a+b+c=1, 　　求证:(1/a+q1(1/b+1)(1/c+1)≥64.……     

On the Terai-Jésmanowicz conjecture

In this paper, we prove that if a, b and c are pairwise coprime positive integers such that a^2＋b^2=c^r,a〉b,a≡3 （mod4）,b≡2 （mod4） and c-1 is not a square, thena a^x＋b^y=c^z has only the positive integer solution （x, y, z） = （2, 2, r）.
Let m and r be positive integers with 2｜m and 2 r, define the integers Ur, Vr by （m ＋√-1）^r=Vr＋Ur√-1. If a = ｜Ur｜,b=｜Vr｜,c = m^2＋1 with m ≡ 2 （mod 4）,a ≡ 3 （mod 4）, and if r 〈 m/√1.5log3（m^2＋1）-1, then a^x ＋ b^y = c^z has only the positive integer solution （x,y, z） = （2, 2, r）. The argument here is elementary.     

一个无理不等式的类比

文[1]给出了如下不等式： 设a，b〉0，0〈λ≤2，则 √a/a＋λb＋√b/λa＋b≤2/√1＋λ（1）     

数学中的对立统一

2/1/a＋1/b〈√ab〈a＋b/2〈√a^2＋b^2/2     

一道第31届IMO预选题的推广

设a,b，c，d∈R^＋，且ab＋bc＋cd＋da=1，求证： a^3/b＋c＋d＋b^3/c＋d＋a＋c^3/d＋a＋b＋d^3/a＋b＋c≥1/3① 这是第31届IMO的一道预选题，本文对此不等式进行一些推广．     

一个不等式的推广

文[1]给出了不等式：设a、b、c为正数,且a＋b＋c=1,则有（1/a＋b-c）（1/a＋c-b）（1/b＋c-a）≥（7/6）^3,当且仅当a=b=c=1/3时等号成立．     

On quasi-reduced quadratic forms

With the help of continued fractions, we plan to list all the elements of the set Q△ = {aX2 ＋ bXY ＋ cY2 ： a,b, c ∈Z, b2 - 4ac = △ with 0 ≤ b 〈 √△}of quasi-reduced quadratic forms of fundamental discriminant △. As a matter of fact, we show that for each reduced quadratic form f = aX2 ＋ bXY ＋ cY2 = （a, b, c） of discriminant △〉0（and of sign σ（f） equal to the sign of a）, the quadratic forms associated with f and defined by {〈a＋bu＋cu2,b＋2cu.c〉},with 1≤σ（f）u≤b/2｜c｜ （whenever they exist）, 〈c,-b-2cu,a＋bu＋cu2〉 with b/2｜c｜≤σ（f）u≤[w（f）]=[b＋√△/2｜c｜], are all different from one another and build a set I（f） whose cardinality is #I（f）={1＋[ω（f）],when（2c）｜b,[ω（f）],when （2c）｜b. If f and g are two different reduced quadratic forms, we show that I（f） ∩ I（g） = Ф. Our main result is that the set Q△ is given by the disjoint union of all I（f） with f running through the set of reduced quadratic forms of discriminant △〉0. This allows us to deduce a formula for #（Q△） involving sums of partial quotients of certain continued fractions.