数学问题解答

数学问题解答１９９７年６月号问题解答（解答由问题提供人给出）１０７６求证：ｔｇ４２０°－４３ｔｇ３２０°＋６ｔｇ２０°＋４３ｔｇ２０°＝３证明如图所示△ＡＢＣ，∠Ｃ＝π２，∠ＡＢＣ＝６０°，ＢＣ＝１，∠ＡＢＥ＝∠ＥＢＤ＝∠ＤＢＣ则ｔｇ２０°＝ＤＣ，ｔ...     

证明三角形不等式的一种方法

证明三角形不等式的一种方法安振平（陕西永寿县中学７１３４００）众所周知，在△ＡＢＣ中，有恒等式ｔｇＡ２ｔｇＢ２＋ｔｇＢ２ｔｇＣ２＋ｔｇＣ２ｔｇＡ２＝１若令ｘ＝ｔｇＡ２，ｙ＝ｔｇＢ２，ｚ＝ｔｇＣ２（）由Ａ２，Ｂ２，Ｃ２∈（０，π２）知ｘ，ｙ，ｚ∈Ｒ＋...     

关于求二面角大小的一组公式及其应用

近年来全国高考及各省市数学竞赛试题中的立体几何题，几乎都涉及求二面角大小的问题；虽然有的数学杂志和复习资料对求解这类问题介绍了不少方法，但有些方法不十分理想，不是计算较繁琐，就是作辅助线较多，有的方法所引用的公式复杂难记；因此，本文给出一组求解公式，不仅公式的形式简单，而且计算简便，学生很容易掌握；公式１　如果三棱锥Ｖ－ＡＢＣ中，侧棱ＶＣ⊥底面ＡＢＣ，ＡＣ⊥ＢＣ；设二面角Ｖ－ＡＢ－Ｃ＝φ，∠ＶＡＣ＝θ１，∠ＶＢＣ＝θ２，那么ｔｇ２φ＝ｔｇ２θ１＋ｔｇ２θ２．图１证明　在底面ＡＢＣ内，过点Ｃ作ＣＤ…     

关于一道极值题的若干反思

这是一道看似寻常的最值问题：四面体ＡＢＣＤ中,ＡＤ、ＢＤ、ＣＤ三棱两两垂直,且ＡＤ＝１,ＢＤ＋ＣＤ＝４．求图１Ｓ△ＡＢＣ的最大值与最小值．从解题常规看,入手并不难．如图１所示,在平面ＡＢＣ内,作ＡＥ⊥ＢＣ,垂足为Ｅ,联ＤＥ．则ＤＥ⊥ＢＣ．设ＢＤ＝ｘ,易知　ＤＥ＝ＢＤ·ＣＤＢＣ＝ｘ·（４－ｘ）ｘ２＋（４－ｘ）２＝４ｘ－ｘ２２ｘ２－８ｘ＋１６　ＡＥ＝ＡＤ２＋ＤＥ２＝ｘ４－８ｘ３＋１８ｘ２－８ｘ＋１６２ｘ２－８ｘ＋１６而　Ｓ△ＡＢＣ＝１２ＡＥ·ＢＣ　＝１２ｘ４－８ｘ３＋１８ｘ２－８ｘ＋１６（１）面对这…     

1999年安庆市重点(示范)中学高三联考数学试题(理科)

一、选择题（本文题共１４小题;第１～１０题每小题４分,第１１～１４题每小题５分,共６０分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）１．（８１１６）－３４的值是（　　）（Ａ）８２７．　　（Ｂ）－８２７．（Ｃ）３２．　（Ｄ）－３２．２．ｃｏｓ（ｋπ－π３）（ｋ∈Ｚ）的值是（　　）（Ａ）１２．　　（Ｂ）±１２．（Ｃ）－１２．　（Ｄ）（－１）ｋ·１２．３．双曲线ｘ＝１＋５ｔｇθｙ＝－２＋３ｓｅｃθ（θ为参数）的离心率是（　　）（Ａ）４５５．　　（Ｂ）４３．（Ｃ）２１０５．　（Ｄ）２６３．４．…     

解直角三角形目标检测

一、填空（每空２分，共３０分）（１）在△ＡＢＣ中：∠Ｃ＝９０°，ａ＝１２，ｂ＝９，则ｓｉｎＡ＝，ｃｔｇＡ＝．（２）在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ｓｉｎＡ＝４５，ＡＢ＝１０，那么ＢＣ＝，ｃｏｓＢ＝．（３）已知ｃｏｓ５４°３６′＝０．５７９３，查表求得同一行中它的修正值是５，则ｃｏｓ５４°３４′＝．（４）用“＜”号连结下列各数：ｓｉｎ３０°，ｔｇ４５°，ｃｔｇ９０°，ｃｏｓ４５°，ｃｔｇ６０°，ｃｏｓ３０°：．（５）化简：（ｓｉｎ６０°－１）２＋｜１＋ｃｏｓ３０°｜＝．（６）在△ＡＢＣ中，∠Ｂ是锐角，…     

关于∑ctgA≥∑tgA／2的研究

关于∑ｃｔｇＡ≥∑ｔｇＡ／２的研究２１４４３１江苏江阴市工商学校李尧亮，夏锦秀１背景在研究三角形不等式的过程中，人们发现诞生了．注本文中约定ａ、ｂ、ｃ，Ａ、Ｂ、Ｃ，△分别表示△ＡＢＣ的三边、三角和面积，记∑ｃｔｇＡ＝ｃｔｇＡ＋ｃｔｇＢ＋ｃｔｇＣ等，所...     

数学问题解答

数学问题解答１９９７年１０月号问题解答（解答由问题提供人给出）１０９６若ａ，ｂ，ｃ为△ＡＢＣ的三边，且ｃｔｇＡ，ｃｔｇＢ，ｃｔｇＣ成等差数列，则ａ２，ｂ２，ｃ２成等差数列．证明由ｃｔｇＡ＝ｃｏｓＡｓｉｎＡ，Ｓ＝１２ｂｃｓｉｎＡ，ｃｏｓＡ＝ｂ２＋ｃ２－...     

初三(上)期末数学测试题

一、一元选择题（每小题３分，共４５分）１．方程３ｘ２－４＝０的一次项系数是（　）（Ａ）－４　（Ｂ）０　（Ｃ）１　（Ｄ）３图Ａ－８２．如图Ａ－８，在Ｒｔ△ＡＢＣ，∠Ｃ＝９０°，那么ｃｔｇＢ＝（　）（Ａ）ＡＣＢＣ　（Ｂ）ＢＣＡＢ（Ｃ）ＡＣＡＢ　（Ｄ）ＢＣＡＣ３．已知ｋ是不等于零的常数，在下列函数中，一次函数是（　）（Ａ）ｙ＝ｋｘ２＋１　（Ｂ）ｙ＝ｘｋ＋１（Ｃ）ｙ＝ｋ＋１ｘ　（Ｄ）ｙ＝ｋｘ＋１４．△ＡＢＣ的外心是三角形的（　）（Ａ）三条高的交点（Ｂ）三边的垂直平分线的交点（Ｃ）三条内角平分线的交点（Ｄ…     

一道常见三角习题的推广

笔者在做一道常见习题：“在△ＡＢＣ中，已知ｃｏｓ３Ａ＋ｃｏｓ３Ｂ＋ｃｏｓ３Ｃ＝１，求证：角Ａ、Ｂ、Ｃ中必有一角为２３π”时，意外地得到了该问题的一个推广，现把它整理出来，供大家教学时参考．命题设角Ａ、Ｂ、Ｃ满足Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π，（１）若ｍ为奇数，则ｃｏ...     

解直角三角形

一、读书自学　Ｐ３３～Ｐ３５二、知识回顾１．解直三角形根据直角三角形中已知两个元素（除去直角）,其中至少有一已知元素是边,求出其余的过程．２．解直角三角形的根据．在Ｒｔ△ＡＢＣ中,∠Ｃ＝９０°,ａ、ｂ、ｃ分别为∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ的对边,六元素的主要关系如下：（１）三边关系：ａ２＋ｂ２＝,（２）两锐角关系：∠Ａ＋∠Ｂ＝,（３）边与角的关系（以∠Ａ为例）ｓｉｎＡ＝,ｃｏｓＡ＝,ｔｇＡ＝,ｃｔｇＡ＝．（４）面积公式：Ｓ△ＡＢＣ＝１２ａ·＝１２ｃ·ｈｃ（其ｈｃ为ｃ边上的高）三、典型范例例１　在Ｒｔ△ＡＢＣ…     

1999年全国普通高等学校招生统一考试 上海数学试卷(理工农医类)

考生注意：本试卷共有２２道试题,满分１５０分．　　一、填空题（本大题满分４８分）本大题共有１２题,只要求直接填写结果,每个空格填对得４分,否则一律得零分．１．ｔｇ［ａｒｃｃｏｓ２２－π６］＝．２．函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２ｘ＋１（ｘ≥４）的反函数ｆ－１（ｘ）的定义域是．３．在（ｘ３＋２ｘ２）５的展开式中,含ｘ５项的系数为．４．在△ＡＢＣ中,若∠Ｂ＝３０°,ＡＢ＝２３,ＡＣ＝２,则△ＡＢＣ的面积Ｓ是．５．若平移坐标系,将曲线方程ｙ２＋４ｘ－４ｙ－４＝０化为标准方程,则坐标原点应移到点Ｏ′（　,　）．６…     

一道三角题多解的辨析

有这样一道三角题：已知ｓｉｎ２α＝ｍ,ｃｏｓ２α＝ｎ,求ｔｇ（α＋π４）的值．集众多书刊的解法如下．解法１ｔｇ（α＋π４）＝１＋ｔｇα１－ｔｇα＝１＋ｓｉｎ２α１＋ｃｏｓ２α１－ｓｉｎ２α１＋ｃｏｓ２α＝１＋ｍ＋ｎ１－ｍ＋ｎ．解法２ｔｇ（α＋π４）＝...     

运用直线重合的条件解题

运用直线重合的条件解题２２４３００江苏射阳中学钱军先，邓超众所周知，直线ｌ１：Ａ１ｘ＋Ｂ１ｙ＋Ｃ１＝０与直线ｌ２：Ａ２ｘ＋Ｂ２ｙ＋Ｃ２＝０（其中Ａ１、Ｂ１、Ｃ１、Ａ２、Ｂ２、Ｃ２均不为零）重合的充要条件是．运用这一条件求解某些数学问题，可以收到出奇制...     

北京市1999年普通高中毕业会考数学试卷

第卷（选择题共６９分）一、选择题（本大题共２３个小题，每小题３分，共６９分）在每小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求涂沫在“机读答题卡”第１—２３题的相应位置上．（１）ｔｇ４０５°的值为（　　）（Ａ）１．　（Ｂ）－１．　（Ｃ）１２．　（Ｄ）－１２．（２）ｌｏｇ２５＋ｌｏｇ２１１０等于（　　）（Ａ）１．　（Ｂ）－１．　（Ｃ）２．　（Ｄ）－２．（３）若α＝１３７π，则（　　）（Ａ）ｓｉｎα＞０且ｃｏｓα＞０．（Ｂ）ｓｉｎα＞０且ｃｏｓα＜０．（Ｃ）ｓｉ…     

用“取等匹配”技巧证明非严格不等式

笔者在文［１］指出：“对非严格不等式的证明，每一次‘放’或‘缩’保证等号成立是一个基本思考点，是放大或缩小的一个必要性要求”．本文着眼于这一必要性要求，以算术——几何平均值不等式的取等条件为出发点，根据待证不等式（或变形后的不等式）的取等条件和结构特征施行“取等匹配”——凑项或嵌式（数），使许多经常在中数刊物上出现且貌似繁难的非严格对称不等式轻松获证．例１　在△ＡＢＣ中，证明不等式　ｔｇＡ２ｔｇＢ２＋５＋ｔｇＢ２ｔｇＣ２＋５＋　ｔｇＣ２ｔｇＡ２＋５≤４３．证明　由于△ＡＢＣ中，有ｔｇＡ２ｔｇＢ２…     

新题征展(1)

Ａ．题组新编１．设函数ｆ（ｘ）＝ｌｇ（ａｘ２－４ｘ＋ａ－３）．（１）若ｆ（ｘ）的定义域是Ｒ,则ａ的取值范围是　　;（２）若ｆ（ｘ）的值域是Ｒ,则ａ的取值范围是　　;（３）若ｆ（ｘ）在区间（－４,－１）上递减,则ａ的取值范围是　　．２．设０＜θ＜π．（１）若ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＝１５,则ｔｇθ＝　　;（２）若ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＝－１５,则ｔｇθ＝　　;（３）若ｓｉｎθ－ｃｏｓθ＝１５,则ｔｇθ＝　　;（４）若ｓｉｎθ－ｃｏｓθ＝－１５,则ｔｇθ＝　　．３．如图,向高为Ｈ的水瓶（Ａ）、（Ｂ）、（Ｃ）、…     

空间折线与其中点折线周长间的一个关系

我们知道，依次连接三角形各边中点所得三角形的周长是原三角形周长的一半．一般地，依次连接折线各边中点所得的折线称为中点折线．那么，任意一条封闭折线（不一定是平面的），它的中点折线的周长与原折线的周长之间有什么关系呢？先给出如下引理引理１　△ＡＢＣ中，ＡＢ＋ＡＣ≤ＢＣ·ｃｓｃＡ２．其中当且仅当ＡＢ＝ＡＣ时取等号．证　在△ＡＢＣ中，ＢＣ２＝ＡＢ２＋ＡＣ２－２·ＡＢ·ＡＣ·ｃｏｓＡ＝（ＡＢ＋ＡＣ）２ｓｉｎ２Ａ２＋（ＡＢ－ＡＣ）２ｃｏｓ２Ａ２≥（ＡＢ＋ＡＣ）２ｓｉｎ２Ａ２，∴ＡＢ＋ＡＣ≤ＢＣ·ｃｓｃＡ２．…     

巧构一组三角形证明几个三角恒等式

在△ＡＢＣ中，无论是锐角、或直角或钝角三角形，总有Ａ２＋Ｂ２＋Ｃ２＝９０°．从而也有（９０°－Ａ２）＋（９０°－Ｂ２）＋（９０°－Ｃ２）＝１８０°（１）Ａ２＋Ｂ２＋（９０°＋Ｃ２）＝１８０°（２）Ｂ２＋Ｃ２＋（９０°＋Ａ２）＝１８０°（３）Ｃ２＋Ａ２...     

三角形内角的余弦方程及应用

设△ＡＢＣ的三边为ａ、ｂ、ｃ,ｐ＝１２（ａ＋ｂ＋ｃ）,内切圆、外接圆的半径分别为ｒ、Ｒ,则ｃｏｓＡ、ｃｏｓＢ、ｃｏｓＣ是方程,４Ｒ２ｘ３－４Ｒ（Ｒ＋ｒ）ｘ２＋（ｐ２＋ｒ２－４Ｒ２）ｘ＋（２Ｒ＋ｒ）２－ｐ２＝０（１）的三个根．证明在△ＡＢＣ中,由ｔｇＡ...