构造图形求一类函数的最值问题

对于形如y=√x2+b1x+c1±√x2+b2x+c2的函数,可以联想直角坐标系内两点间距离公式,利用三角形三边长的关系来求最小(大)值.例如,为求函数y=√x2-2x+2+√x2-12x+40的最小值,先配方成y=√(x-1)2+(0-1)2+√(x-6)2+ (0-2)2,再设定点A(1,1),B(6,2),A'(1,-1)及x轴上动点P(x,0),那么y=|PA+|PB|;因为|PA|+| PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|,所以当点P恰和A'B与x轴交点Q重合时,|PA|+|PB|最小等于|A'B|,即x=8/3时y取最小值√34(如图1所示);而当x→∞时y→+∞,所以y没有最大值.     

有关圆锥曲线的选择题

1.不论a取任何实数,方程x~2+2y~2sina=1所表示的曲线必不是__。 (A)直线;(B)圆;(C)抛物线;(D)双曲线。 2.曲线C与抛物线y~2=4x-3关于直线y=x对称,则C的方程是__。 (A)x~2=4y-3;(B)y=4x~2-3; (C)x=3y~3-3;(D)x=1/4(y~2+3)。 3.若点A的坐标为(3,2),F为抛物线y~2=2x的焦点,P点在抛物线上移动,若|PA|+|PF|取最小值,则点P的坐标是 (A)(0,0);(B)(1/2,1); (C)(1,1);(D)(2,2)。 4.方程y=|1-x~2|~1/2的图象是__。     

利用最简几何不等式求最值

几个基本几何不等式如下 :(1)两点间距离最短 ;(2 )三角形两边之和大于第三边 ,两边之差小于第三边 ;(3)点到直线的距离最短 .把这几个基本几何不等式运用到数学中的一些最值问题中 ,将使整个解题过程令人耳目一新 .例 1　如图 1,若 A(3,2 ) ,F为抛物线y2 =2 x的焦点 ,P为抛物线上任意一点 ,求 :| PF| | PA|的最小值 ,以及取得最小值时 P的坐标 .解　由条件可知 ,抛物线的准线 l的方程为 x=- 1.设动点 P(x,y)在准线上的垂足为M(- 1,y) .∵　　 | PF| =| PM| ,∴　要求 | PF| | PA|的最小值 ,即是求 | PM| | PA|的最小值 .如…     

新题征展(33)

A　题组新编1 .( 1 )已知平面上的点 P( - 2 ,- 2 )、Q( 0 ,- 1 ) ,若点 R( 2 ,m)使 | PR| | QR|最小 ,则 m =,| PR| | QR|的最小值是.( 2 )已知直线 l:x y =8,点 F1( - 4,0 )、F2 ( 4 ,0 ) ,在直线上取一点 M,过 M作以F1、F2 为焦点的椭圆 ,求长轴最短时该椭圆的方程 .( 3)抛物线 y2 =4 x上一个动点 P,抛物线的焦点为 F,又知定点 A( 3,1 ) ,则 | AP| | PF|的最小值是 ,此时 P点的坐标是.( 4 )已知点 A( 3,2 ) ,F是双曲线 x2 - y23= 1的右焦点 ,P为双曲线上任意一点 ,则| PA| 12 | PF|的最小值是 ,此时 P点的坐标是 …     

新题征展(43)

A　题组新编1 .如果直线 l经过点 P( 2 ,1 ) ,且与 x轴、第 1题图y轴正半轴分别交于点 A、B,O为坐标原点 ,则( 1 ) | OA| .| OB|的最小值为 ;( 2 ) | OA| + | OB|的最小值为 ;( 3)△ OAB面积的最小值为 ;( 4 ) | PA| .| PB|的最小值为 ;( 5 ) | PA| + | PB|的最小值为 .2 .如果直线 l经过点 P( 2 ,1 ) ,且与两坐标轴围成的三角形面积为 S.( 1 )当 S=3时 ,这样的直线 l有条 ;( 2 )当 S=4时 ,这样的直线 l有条 ;( 3)当 S=5时 ,这样的直线 l有条 ;( 4 )若这样的直线 l有且只有 2条 ,则 S的取值范围是 ;( 5 )若这样的直线 l有且只有…     

双曲线的通径不一定是最短的焦点弦

设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0,c=a2+b2),取其右焦点F(c,0),过点F的直线与双曲线交于不同两点P1(x1,y1),P2(x2,y2).若P1,P2同在双曲线右支上,则当P1P2垂直于实轴时,|P1P2|取最小值2b2a(即通径长)(证明见《中学数学》2005年第7期P16);若P1,P2分别在双曲线左、右支上,则当P1P2垂直于虚轴时,|P1P2|取最小值2a(即实轴长).证明如下:证明令直线P1P2的方程为y=kx+m(|k|相似文献   

圆锥曲线的一个最值问题

在圆锥曲线的学习中 ,我们遇到了如下的最值问题 :抛物线x2 =2 y上离点A(0 ,a)最近的点恰好是顶点 ,则a的取值范围是 (　　 )(A)a≤ 0 .　　　 (B)a≤ 12 .(C)a≤ 1. (D)a≤ 2 .通过探究 ,同学们得到了如下几种不同的解法 .解法 1　 (二次函数最值法 )设P(x ,y)为抛物线x2 =2 y上的任意一点 ,则 |PA|2 =x2 +(y -a) 2=2 y +(y -a) 2 =y2 - 2 (a - 1) y +a2 =[y - (a -1) ]2 +2a - 1(y≥ 0 ) .当a >1时 ,a - 1>0 ,y =a - 1时 ,|PA|2 min=2a - 1;当a≤ 1时 ,a - 1≤ 0 ,y =0时 ,|PA|2 min=a2 ,此时P点为抛物线的顶点 .　　故当a≤ 1时 ,…     

向量不等式a·b≤|a|·|b|的应用

对于任意两个向量 a,b,有不等式 a.b≤|a|. |b|当且仅当向量 a与 b同向时为等式 .此不等式结构简单 ,形式隽永 ,内涵丰富 .运用它处理某些与不等式相关的代数问题简捷明快 ,颇具特色 .1　求函数的最值例 1　求函数 f(x) =3x +2 +44- x2 的最大值 .解　令 a =(3,4 ) ,b =(x,4 - x2 ) ,则 f(x) =a . b +2 ,|a|=5 ,|b|=2 .故 f(x)≤ |a|. |b|+2 =12 ,当且仅当 a与 b同向 ,即 3x=44 - x2 >0时取等式 .解之　 x =65 .故当　 x =65 时 ,f(x) m ax =12 .例 2　求实数 x,y的值 ,使得 f(x,y) =(1- y) 2 +(x +y - 3) 2 +(2 x +y - 6 ) 2取得最小值 . (…     

新题征展 (65)

A　题组新编1 .( 1 ) Rt△ ABC斜边 AB的三等分点 E、F,且 CE =sinα,CF =cosα,则 AB的长.( 2 )已知　 A( - 1 ,0 ) ,　 B( 1 ,0 ) ,P为圆( x - 2 ) 2 + ( y - 2 ) 2 =1上一点 ,则 PA2 +PB2 取得的最小值是 .( 3)已知 P( 4 ,0 ) ,Q( 0 ,2 ) ,A为直线 x +2 y - 9=0上一动点 ,使 | AP| 2 + | AQ| 2取最小值时 ,A点坐标 .2 .( 1 )关于 x的方程 x2 + 2 ( a + 1 ) x + 2 a+ 1 =0有一个大于 0小于 1的根 ,求 a的取值范围 .( 2 )对于满足 P∈ [0 ,4 ]的所有实数中 ,使不等式 x2 + px >4 x + p - 3恒成立的 x的取值范围 .(第 1、2题由…     

对一道调考题的解法探究

题目2009年武汉市二月调考数学试题第19题(理)已知椭圆P的中心在原点O,焦点在x轴上,直线l:x+3y-3=0与P交于A、B两点,|AB|=2且∠AOB=π2·(1)求椭圆P的方程;(2)若M、N是椭圆P上两点,满足OM·ON=0,求|MN|的最小值.解法1(命题人给出的参考答案)(1)设直线l:x+3y=3与椭圆x2a2+by22=1(a>b>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2).由∠AOB=2πx1x2+y1y2=0.而x1=3(1-y1),x2=3(1-y2),代入上式得4y1y2-3(y1+y2)+3=0,①而|AB|=21+k12|y1-y2|=2|y1-y2|=2·不妨设y2>y1,则y2=y1+1,②由①②解得y1=0,y2=1,或y1=21,y2=23,所以A(23,12),B(-23,32)或A(3,0),B(0,1)·若A(23,12),B(-23,23)代入椭圆方程无解,故舍去;若A(3,0),B(0,1),则椭圆方程为x32+y2=1·(2)∵M、N是椭圆x32+y2=1上的点,且OM⊥ON,故设M(r1cosθ,r2sinθ),N(-r2sinθ,r2cosθ)·于是r12...     

从一题高考试题谈圆锥曲线的特征折线

1 真题再现(2011年安徽理)设变量x,y满足|x|+|y|≤1,则x+2y的最大值和最小值分别为A.1,-1 B.2,-2 C.1,-2 D.2,-1解析 约束条件可化为{x+y≤1 x≥0 y≥0或{-x+y≤1 x＜0 y≥0或{x-y≤1,x≥0,y＜0,或 {-x-y≤1,x＜0,y＜0,其表示的平面区域如图1所示,作 x+2y=0l0:x+2y=0,平移l0至l位置, l图1则当l分别过(0,1),(0,-1)时,x+2y分别取最大值2和最小值-2,故选B.本题考查了绝对值不等式和线性规划知识,考查了学生的作图能力和转化能力,是容易题.题中牵涉到一个含绝对值的曲线|x-a|+|y-b | =r( r＞0),笔者发现函数|x-a|+|y-b|=r(r＞0)是一条折线,它与圆(x-aa)2+(y-b)2 =r2(r＞0)有着十分相似的图象和性质,例如:曲线(x-a) 2+(y-b)2 =r2(r＞0)是以(a,b)为圆心,直径为2r的圆;而曲线|x-a|+|y-b|=r( r＞0)则是以(a,b)为中心,对角线长2r,内接于圆的正方形.进而笔者猜测,是不是把所有的圆锥曲线方程中的平方改成绝对值后,就能得到与其类似的折线呢?笔者把改后的这一类折线称为圆锥曲线的特征折线.     

例说解析几何计算减负之法

|PF1|+|PF2 |=2 a(a>c>0 ) ,求 P的轨迹方程 .解　令 P(x,y) ,则由已知得 :(x+c) 2 +y2 +(x- c) 2 +y2 =2 a (1)将 (1)两边取倒数 ,得 :(x+c) 2 +y2 - (x- c) 2 +y2 =2 cxa (2 )(1) +(2 )得 ,(x+c) 2 +y2 =a+cax.平方得 :x2 +2 cx+c2 +y2 =a2 +2 cx+c2a2 · x2 .整理得 :x2a2 +y2a2 - c2 =1(3)易验证 (3)上任一点 (x,y)也在 (1)上 ,从而点 P轨迹方程为 :x2a2 +y2a2 - c2 =1.注　对于 (1)的化简 ,中学课本上用了两次平方 ,较为麻烦 .以上算法 ,抓住了 (1)的左边的整体上的特点 ,只用一次平方 ,较为简单 ,是优化算法的结果例说解析几何计算…     

圆的切点弦方程及其应用

1.结论当点M(x0,y0)在⊙O:x2+y2=r2外时,过P(x0,y0)向⊙O:x2+y2=r2所做两条切线的切点弦的方程为l:x0x+y0y=r2.2.简析如图1,过M(x0,y0)作⊙O的两条切线,切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则过点A(x1,y1)的     

综合题新编选登

题 73　 双曲线 x2a2- y2b2 =1(a >0 ,b >0 )的左、右焦点分别为F1,F2 ,点P(x0 ,y0 )是双曲线右支上一点 ,且x0 >2a .I为△PF1F2 的内心 ,直线PI交x轴于Q点 ,若 |F1Q| =|PF2 | ,当a ,b变化时 ,求I分PQ的比λ的取值范围 (见图 1) .解　设双曲线半焦距为c ,则c =a2 +b2 .∵I为PQ的内分点 ,则λ =PIIQ=|PI||IQ| .由内角平分线定理知|PI||IQ| =|PF1||F1Q| =|PF2 ||F2 Q| .又∵ |F1Q| =|PF2 | .∴|PI||IQ| =|PF1||PF2 | ,可得|PI| - |IQ||IQ| =|PF1| - |PF2 ||PF2 | =2a|PF2 | ,|PI||IQ| =|F1Q||F2 Q| ,可得|PI| …     

新题征展(16)

A.题组新编1 . (1 )已知 lg x lg y =1 ,则 u=2x 5y 的最小值为　　 ;(2 )已知 x、y∈ R ,且 x y =3,则u = 2 x 2 y 的最小值为　　 ;(3)已知 x、y∈ R ,x 2 y=1 ,则 u=1x 1y的最小值为　　 ;(4)已知 x、y∈ R ,且 xy2 =1 ,则 x y的最小值为　　 ;(5)已知 x、y∈ R ,且 x y = 1 ,则 xy2的最大值为　　 .2 .如图 1 ,三棱锥 P— ABC的顶点 P在△ ABC所在平面上的射影为 O.(1 )若 PA =PB=PC,则O是△ ABC的　　 ;图 1(2 )若 P到 AB、BC、AC的距离相等 ,则 O是△ ABC的　　 ;(3)若 3个侧面与底面 ABC所成二面角相等 ,…     

由点与椭圆的位置关系探索一道高考题的新解法

平时在解题过程中往往运用一些结论性的知识,而缺乏对这些结论的深刻认识,从而会错失一些有效的解题方法.如果在解题之后能养成反思总结的习惯,也许会获得更多的解题思路. (2010湖北高考文-15)已知椭圆C:x2/2+y2=1的两个焦点F1,F2,点P(x0,y0)满足0＜x20/2+y20＜1,则|PF1|+| PF2 |的取值范围为,直线x0x/2+y0y=1与椭圆C的公共点个数为_____.     

构圆定界求范围

解析几何中求参数范围的问题一直倍受青睐 ,为此 ,本文特介绍一种“构圆定界法”速解一类解析几何范围问题 .图 1　例 1图例 1　椭圆 x29+ y24=1的焦点为F1,F2 ,P为其上的动点 ,当∠F1PF2为钝角时 ,点P横坐标的取值范围是 .解析　这是一道2 0 0 0年全国高考题 ,解法较多 ,但用构圆定界来解显得简捷明快 .由椭圆方程得a2 =9,b2 =4 ,∴c2 =5 .故以 |F1F2 |为直径的圆的方程为x2 +y2 =5 .由方程组x2 + y2 =5 ,x29+ y24 =1中消去 y ,得4x2 + 9(5 -x2 ) =36 .解之得P点的横坐标为x =± 355 ,此时∠F1PF2 =90° .故由图 1知 ,当∠F1PF2 为…     

巧变形 求最值

<正>《中学生数学》2013年第4月(下)课外练习题初三年级第1题是:题求函数y=2x+2x2+3x+3的最大值和最小值.参考答案用"判别式"给出了解答.本文再给出一种不用"判别式"的解法,供同学们参阅.另解y=2x+2x2+3x+3=2(x+1)(x+1)2+(x+1)+1,当x+1=0时,y=0,即y=0是函数的一个值;当x+1≠0时,y=2x+2x2+3x+3=2(x+1)(x+1)2+(x+1)+1=2(x+1)+1x+1+1.∵|x+1|+1|x+1|≥2|x+1|·1|x+1槡|=2,     

绝对值几何意义的应用

我们知道 ,|x|的几何意义是表示数轴上点 (x)到原点的距离 ,由此 |x -a|的几何意义表示点 (x)到点 (a)的距离 ,同样 ,|x +a|的几何意义表示点 (x)到点 ( -a)的距离 .应用绝对值的几何意义去解含绝对值的一些题目 ,能使解题过程大为简化和直观 ,看下面几种题型的解法 .一、解绝对值方程例 1　解方程 |x -4 |+|x +1|=5 .解　由绝对值的几何意义知 :|x -4 |+|x +1|表示数轴上的点 (x)到点 ( 4 )的距离与点 (x)到点 ( -1)的距离之和 ,由图 1知点A( -1)与点B( 4 )之间的距离等于 5 ,当x为线段AB上的任一点P时 ,则P点到A、B两点的距离之和都为…     

小异大不同

本人在解题教学中 ,发现有些试题貌似相同 ,而考查的知识、思想方法却大相径庭 ,常有同学因审题不清或思维定势 ,而“以貌取题” ,导致“张冠李戴” .为了大家能更好地区分、理解、掌握此类问题 ,现列举出常见的容易混淆的几组典型问题 ,略作解析 ,供大家在教与学时作参考 .题组 1　 1)已知椭圆 x24 +y23=1内有一点P(1,- 1) ,F为椭圆右焦点 ,M是椭圆上的动点 ,求|MPⅫ +2 |MF|的最小值 .2 )已知椭圆 x24 +y23=1内有一点P(1,- 1) ,F为椭圆右焦点 ,M是椭圆上的动点 ,求 |MP |+|MF|的最小值 .解　 1)依题设得 :椭圆的右准线l的方程为x =4…