一道竞赛题的证法再探

对如下一道竞赛题：已知a，b，c≥O，且a＋b＋c=1，求证： √a＋4^-1（b-c）^2＋√b＋√c≤√3     

数学问题解答北大核心

2018年5月号问题解答（解答由问题提供人给出） 2421已知a,b,c,d∈R^＋,且a＋b＋c=3,求证： 2（4√a＋4√b＋4√c）＋3≥3（ab＋bc＋ca）． （安徽省六安第二中学 陶兴红 237005）     

一道不等式问题的探源、证明与推广

《数学教学》2012年第12期的数学问题874为：题目 已知 m,n∈N＋,m,n≥2,xi∈R＋（i=1,2,…,m）,（^m∑i=1）xi=S,n∈N＋,求证：（^m∑i=1）^n√xi/S-xi≥.看完此题,笔者不禁想起了文[1]中的不等式：题源1已知a,b,c为正数,求证：√a/（b＋c）＋√b/（c＋a）＋√c/（a＋b）〉2。     

对一类不等式的多证

题目 已知a,b,c∈R^＋,a＋b＋c=1,求证：√4a＋1＋√4b＋1＋√4c＋1≤√21。 证明一（√4a＋1＋√4b＋1＋√4c＋1·√7/3=√4a＋1·√7/3＋√4b＋1·√7/3＋√4c＋1·√7/3     

对一个四元不等式的证明及推广

文[1]证明了这样一个不等式,若n,b,c为正实数,则．√a/b＋c＋√b/a＋c＋√c/a＋b〉2.     

一道不等式的证明与推广

题目 已知a〉0，b〉0，c〉0，a＋b＋c=1，证明：√3a＋1＋√3b＋1＋√3c＋1≤3√2     

一类不等式的背景探源

文[1]给出了以下不等式的简证与加强,已知a,b〉0, （1）求证：√a/2b＋a＋√b/2a＋b≤2/√3 （2）求证：√a/2a＋b＋√b/2b＋a≤2/√3     

On quasi-reduced quadratic forms

With the help of continued fractions, we plan to list all the elements of the set Q△ = {aX2 ＋ bXY ＋ cY2 ： a,b, c ∈Z, b2 - 4ac = △ with 0 ≤ b 〈 √△}of quasi-reduced quadratic forms of fundamental discriminant △. As a matter of fact, we show that for each reduced quadratic form f = aX2 ＋ bXY ＋ cY2 = （a, b, c） of discriminant △〉0（and of sign σ（f） equal to the sign of a）, the quadratic forms associated with f and defined by {〈a＋bu＋cu2,b＋2cu.c〉},with 1≤σ（f）u≤b/2｜c｜ （whenever they exist）, 〈c,-b-2cu,a＋bu＋cu2〉 with b/2｜c｜≤σ（f）u≤[w（f）]=[b＋√△/2｜c｜], are all different from one another and build a set I（f） whose cardinality is #I（f）={1＋[ω（f）],when（2c）｜b,[ω（f）],when （2c）｜b. If f and g are two different reduced quadratic forms, we show that I（f） ∩ I（g） = Ф. Our main result is that the set Q△ is given by the disjoint union of all I（f） with f running through the set of reduced quadratic forms of discriminant △〉0. This allows us to deduce a formula for #（Q△） involving sums of partial quotients of certain continued fractions.     

一道WMTC试题的探究

题目设a、b、c∈R^＋,a＋b＋c=1,则M=√3a＋1＋√3b＋1＋√3c＋1的整数部分是_____     

SHARP BOUNDS FOR NEUMAN-SANDOR MEAN IN TERMS OF THE CONVEX COMBINATION OF QUADRATIC AND FIRST SEIFFERT MEANS

In this article, we prove that the double inequality
αP（a,b）＋（1-α）Q（a,b）〈M（a,b）〈βP（a,b）＋（1-β）Q（a,b）
holds for any a,b 〉 0 with a ≠ b if and only if α≥1/2 and β≤[π（√2 lov （1＋√2）-1]/[√2π-2） log （1＋√2）]=0.3595…,where M（a, b）, Q（a, b）, and P（a, b） ave the Neuman-Sandor, quadratic, and first Seiffert means of a and b, respectively.     

On the Terai-Jésmanowicz conjecture

In this paper, we prove that if a, b and c are pairwise coprime positive integers such that a^2＋b^2=c^r,a〉b,a≡3 （mod4）,b≡2 （mod4） and c-1 is not a square, thena a^x＋b^y=c^z has only the positive integer solution （x, y, z） = （2, 2, r）.
Let m and r be positive integers with 2｜m and 2 r, define the integers Ur, Vr by （m ＋√-1）^r=Vr＋Ur√-1. If a = ｜Ur｜,b=｜Vr｜,c = m^2＋1 with m ≡ 2 （mod 4）,a ≡ 3 （mod 4）, and if r 〈 m/√1.5log3（m^2＋1）-1, then a^x ＋ b^y = c^z has only the positive integer solution （x,y, z） = （2, 2, r）. The argument here is elementary.     

谈一道课本习题与一个常见不等式的简证

题 若a,b∈（0,1）,求证：√a^2＋b^2＋√a^2＋（1-b）^2＋√（1-a）^2＋b^2＋√（1-a）^2＋（1-b）^2≥2√2     

两个优美不等式的再巧证

在一些参考书上，我们看到了下面两个不等式． 已知a〉0，b〉0， （1）求证：√a/2b＋a ＋√b/2a＋b≤2/√3     

一道征解题的推广

《数学通讯》（上半月）2013年第9期问题征解150是一道不等式问题： 已知a,b,c∈R＋,试证：b3＋c3/a＋c3＋a3/b＋a3＋b3/c≥2（a2＋b2＋c2）＋3[（b-c）2＋（c-a）2＋（a-b）2].这道题的证明方法很多,下面我们先给出它的一种解答,然后用同样的证明方法证明此不等式的推广不等式.证明作差变形,并由三元均值不等式得（b3＋c3/a＋c3＋a3/b＋a3＋b3/c）-2（a2＋b2＋c2）     

一个无理不等式的类比

文[1]给出了如下不等式： 设a，b〉0，0〈λ≤2，则 √a/a＋λb＋√b/λa＋b≤2/√1＋λ（1）     

又是一个“美丽的错误”

题目对任意正实数a、b、c,求证：1〈a/√a^2＋b^2＋b/√b^2＋c^2＋c/√c^2＋a^2≤3√2/2.     

一个不等式的另证与推广

题目设n、b、c为正实数,证明：（2a＋b＋c）^2/2a^2＋（b＋c）^2＋（2b＋a＋c）^2/ab^2＋（a＋c）^2＋（2c＋a＋b）^2/2c^2＋（a＋b）^2这是第32届美国数学奥林匹克试题,文[1]给出了该问题的一种证明方法,本文再给出另一种证明方法,并把它加以推广．     

一道日本奥赛题的别证及其它

对如下一道日本数学奥林匹克试题： 问题1已知a,b,c〉0,求证：（b＋c-a）^2/（b=c）^2＋a^2＋（c＋a-b）^2/（c＋a）^2＋b^2＋（a＋b-c）^2/（a＋b）^2＋c^2≥3/5.     

一道美国数学奥赛题的别证

题目 已知a,b,c是正实数,证明： （2a＋b＋c）^2/2a^2＋（b＋c）^2＋（2b＋c＋a）^2/2b^2＋（c＋a）^2＋（2c＋a＋b）^2/2c^2＋（a＋b）^2≤8 ① 这是2003年美国数学奥林匹克竞赛第五题,文[1]及文[2]分别用不同的方法对该题目作出精彩的证明,本文利用“变量标准化”方法给出该竞赛题的别证．     

IMO一题的进一步加强

这是第42届IMO第二题：对所有正实数a,b,c,证明：a/√a^2＋8bc＋b/√b^2＋8ca＋c/√c^2＋8ab≥1.文[1]中宋庆老师将其加强为：若a,b,c,为正数,则a/√a^2＋2（b＋c）^2＋b/√b^2＋2（c＋a）^2＋c/√c^2＋2（a＋b）^2≥1.