一类数列和不等式证法探究

对于一类数列和不等式,如果其中一边可看作n的函数式,另一边是一个数列的前n项和,且这个和式既不能直接求和,也较难先放缩后求和,很多学生感到难以处理,本文通过实例介绍证明这类数列和不等式的方法.     

一类数列和不等式证法探究

对于一类数列和不等式，如果其中一边可看作n的函数式，另一边是一个数列的前n项和，且这个和式既不能直接求和，也较难先放缩后求和，常可以考虑下列方法．     

怎样求解数列的前n项和

已知等差数列{an}求前n项的和Sn,可直接代入求和公式求和,而数列{｜an｜）前n项的和,则不能直接代入公式求和,     

通项放缩数列求和数列不等式

数列不等式是近几年高考试题中的热点,文[1]、[2]在解题方法上作了分析讲解,笔者深受启发.以数列和形式出现的不等式证明不仅考查灵活运用求和方法的能力,也考查了证明中放缩的技巧.利用递推公式求通项,对通项进行分析来求数列和,这是学生已掌握的方法.对通项进行合理放缩,转化为可求和的形式来证明数列不等式是笔者本文试图探求的问题.1放缩通项,利用等差(等比)数列公式求和例1(2005年武汉市高三年级二月调考卷)已知数列{an}满足an 1=2a2n 3an aan 1(n∈N ),a1=1.(1)在a=1时,求通项公式an;(2)a在什么范围内an 1≥an恒成立;(3)在-3≤a<1时,…     

拉格朗日估和公式及其应用

利用分段积分公式和积分不等式证明拉格朗日估和公式,并将其应用在求和式数列极限及无穷级数上.     

一组凹凸性不等式及其应用

基于函数凹凸性的定义和性质,推导了一组新的不等式,进而将其推广到n项形式,并给出了它们在求和式数列极限中的应用.     

数列裂项求和的几种常见类型

通过裂项相消求数列的前n项和是数列求和的基本方法之一．下面介绍数列裂项求和的几种常见类型及应用．1通项的分母是关于n的多项式型通项是关于n的分式，且分母是关于n的多项式，若此多项式可分解成几个因式的积，常可以用待定系数的方法进行裂项．     

含指数的分式型数列的放缩技巧

<正>在数学高考与竞赛中,与数列相关的不等式证明多是重点、热点问题,完成它的证明,需要一定技巧,即需要对不等式进行恰当的放缩.这种放缩,一般情况下难度大、技巧性较高.与指数、分式、不等式、数列等捆绑的试题形式上多是数列的和式结构,这个和式一般无法直接求和,因此需要一个求和过程.笔者拟通过一个例子,谈谈一类含指数的分式型数列的不等式的放缩技巧,如何把数列化为可以求和方法,达到抛砖引玉的目的.     

怎样求解数列的前n项和

<正>已知等差数列{an}求前n项的和Sn,可直接代入求和公式求和,而数列{|an|}前n项的和,则不能直接代入公式求和,那么怎样求数列{|an|}的前n项的和呢?笔者认为,关键是去绝对值符号,转化后再求和,即先分清数列{an}中哪些项是正值,哪些项是负值,分类讨论     

用组合数解数列求和问题

数列求和是数列中很重要的一项内容,求和的方法也是多种多样．现谈一下用组合数求数列和的一类问题,先看两个例题．例1 已知数列{an}通项为an=n(n 1), 求前n项和Sn．分析我们一般习惯应用错位相减法,但对于这种求和也可以应用组合数．     

数列裂项求和的几种常见类型

通过裂项相消求数列的前n项和是数列求和的基本方法之一。下面介绍数列裂项求和的几种常见类型及应用。1通项的分母是关于n的多项式型     

一题·一类·一法——一堂自主招生辅导课引起的思考

数列的通项与求和是自主招生考试命题“感兴趣”的内容．数列在自主招生中出现的知识背景、表现形式（如有理数形式、无理数形式、阶乘形式等等）很丰富,它还常常和不等式的背景融合在一起．因此,探究这一类题目的命题的思路,即将数列的求和与不等式证明的技巧渗透在一起,这时,解决此类题目的思路和方法也就“水到渠成”了．     

活用通项比较法 简证数列不等式

在近年的各省市高考数学试卷中,有一类与数列有关的不等式证明的问题频繁出现,由于这类题型综合性较强,能力要求较高,知识涵盖面较广而倍受命题者们的青睐.这类问题的常用证法是数学归纳法,由于思维难度较大,证明过程较繁,放缩技巧较强等而不易被学生掌握.本文以课本题及高考题为例,拟就由数列的前n项之和或前n项之积构成的"求和型"或"求积型"数列不等式的证明,给出一种较为简捷、快速的方法——通项比较法.     

n项和数列极限的若干求法及实例分析

文章从数列求和、夹逼准则、定积分的定义及幂级数的和函数等几个方面研究了n项和数列极限的求法，并分别对每种方法给出了对应的实例分析.     

数列裂项求和的原则及作用

我们知道等差、等比数列求和有现成的求和公式,但若数列既非等差又非等比,在求和时就要用其它办法,如:例1这里所用的方法称“裂项法”,怎样的数列求和可用裂项法,有何规律?首先是找出数列的通项,如例1的通项是αn=1/n(n 1),把通项裂成     

有限数列的拆项相消求和法

关于有限数列的求和问题,在高中数学课本内只介绍了两种基本数列——等差数列和等比数列的求和公式.然而,我们经常碰到一些数列,这些数列既不是等差数列,也不是等比数列,求它们的前n项之和是困难的.利用拆项相消法可求某些数列的前n项之和.     

特殊数列部分和的求法

数列求和问题是初等数学的重要内容之一,为充实传统的初等代数教材内容,本文仅就某些特殊数列的求和问题加以分类,探求前n项和的初等解法及理论根据。一、部分和变换法某些特定数列化为等差(或等比)数列求和十分方便,我们主要来看以下几种类型的问题。若{a_n}是等差数列,{b_n}是等比数列,那么怎样求数列{a_n±b_n}、{a_n b_n}及{a_n/b_n}或{b_n/a_n}的前n项的和呢? 我们可以利用变换部分和的方法来解,就是先将部分和进行“变换”,使数列转化为等差(或等比)数列的求和问题。例1 求下列数列的前n项的和:     

对2010年数列高考趋势的几点看法

数列是高考的必考内容,从近几年来的高考试题来看,单纯考查的有：等差、等比数列的性质,数列的求和（倒序相加、拆项求和、错位相减等）;综合考查的有：数列与函数、数列与不等式、数列与圆锥曲线的综合运用等．这些都是把数列问题作为模型和载体来考核学生综合应用数学知识的能力．随着新课标的逐步开展,对于数列的考查的形式呈现出新的特点．     

考试中的另类求和问题

<正>在最近几年的高考和各类模拟试卷中,出现了一些新的数列求和问题,这些数列求和与传统的等差数列、等比数列的求和不同,他们含有一些独特的特征,如(-1)ⁿ、nn、n²、sin(n/2)π等等而这些特征恰恰就是求和的关键.一、含有因式"(-1)2、sin(n/2)π等等而这些特征恰恰就是求和的关键.一、含有因式"(-1)ⁿ"的求和问题例1(2012年新课标卷)数列{an}满足a_(n+1)+(-1)n"的求和问题例1(2012年新课标卷)数列{an}满足a_(n+1)+(-1)ⁿa_n=2n-1,则{a_n}的前60项的     

两类特殊数列求和的问题

<正>高考题和模拟题中常常遇到下面两各类型的数列求和问题:类型一若数列{a_n}是等差数列,求数列{|a_n|}的前n项和;类型二已知数列a_n={f(n),n为奇数,g(n),n为偶数,或者a_n=(-1)ⁿf(n),求数列{a_n}的前n项和;为表示方便,假设S_n=a_1+a_2+…+a_n.这两种类型的数列求和问题,常常会成为学生的"拦路虎",得分率非常不理想,现结合几道典型例题来总结这种类型的解题策略!