西班牙数学竞赛一题推广的另证

第31届西班牙数学奥林匹克第2题为 命题1如果（x＋√x^2＋1）（y＋√y^2＋1）=1,则x＋y=0．文[1]给出下面推广： 命题2如果m〉0,x,y∈[m,＋∞）或x,y∈（-∞,＋m]且（x＋√x^2-m^2）（y＋√y^2-m^2）=m^2,那么x=Y． 文[1]采用换元法证明了命题2,仔细研读后笔者给出命题2的另一种简洁证法。     

2010年高考湖北卷第9题的一个简解

2010年高考湖北卷文、理第9题均是: 若直线y=x+b与曲线y=3-4x-x2有公共点,则b的取值范围是 A.[-1,1+2√2] B.[1-2√2,1+2√2] C.[1-2√3,3] D.[1-√2,3]     

一道高考题的推广的三角证明与其他

张乃贵老师在本刊文[1]中将2008年高考重庆理科卷第4题推广为： 命题1函数f（x）=λ1√x-a＋λ2 √b-x（λ1〉0,λ2〉0,b〉a）的最大值为[f（x）]max=√（λ1^2＋λ2^2（b-a））最小值为[f（x）]max=min{f（a）,f（b）}．     

函数y=ax＋b/x（a〉0，b〉0）的图像及性质

函数y=ax＋b/x（a〉0,b〉0）的定义域为（-∞,0）U（0,＋∞）,利用基本不等式或导数知识易知函数的值域为（-∞,-2√ab]U     

利用向量求一类无理函数的值域

设向量^→a=（x1＋y1）,^→b=（x2,y2）,则称cos（^→→a,b）=x1x2＋y1y2/√x1^2＋y1^2√x2^2＋y2^2为向量^→a与^→b的坐标形式的夹角公式．有一类无理函数,它本身就是根据这一公式编制出来的．其函数表达式的结构与坐标形式的向量夹角公式的结构相似,     

一道不等式问题的探源、证明与推广

《数学教学》2012年第12期的数学问题874为：题目 已知 m,n∈N＋,m,n≥2,xi∈R＋（i=1,2,…,m）,（^m∑i=1）xi=S,n∈N＋,求证：（^m∑i=1）^n√xi/S-xi≥.看完此题,笔者不禁想起了文[1]中的不等式：题源1已知a,b,c为正数,求证：√a/（b＋c）＋√b/（c＋a）＋√c/（a＋b）〉2。     

一数学竞赛题变式推广的简证

命题 如果m〉0,x,y∈[m,＋∞）,或x,y∈（-∞,m],且（x＋√x^2＋m^2）（y＋√y^2＋m^2）=m^2,那么x=y．     

一类不等式的背景探源

文[1]给出了以下不等式的简证与加强,已知a,b〉0, （1）求证：√a/2b＋a＋√b/2a＋b≤2/√3 （2）求证：√a/2a＋b＋√b/2b＋a≤2/√3     

On the Terai-Jésmanowicz conjecture

In this paper, we prove that if a, b and c are pairwise coprime positive integers such that a^2＋b^2=c^r,a〉b,a≡3 （mod4）,b≡2 （mod4） and c-1 is not a square, thena a^x＋b^y=c^z has only the positive integer solution （x, y, z） = （2, 2, r）.
Let m and r be positive integers with 2｜m and 2 r, define the integers Ur, Vr by （m ＋√-1）^r=Vr＋Ur√-1. If a = ｜Ur｜,b=｜Vr｜,c = m^2＋1 with m ≡ 2 （mod 4）,a ≡ 3 （mod 4）, and if r 〈 m/√1.5log3（m^2＋1）-1, then a^x ＋ b^y = c^z has only the positive integer solution （x,y, z） = （2, 2, r）. The argument here is elementary.     

一道圆锥曲线题的推广

题目已知椭圆 C：x2/a2＋y2/b2=1（a〉b〉0）的离心率为1/2,以原点为圆心,椭圆的短半轴Z为半径的圆与直线x-y＋√3=0相切．     

函数f（x）=a/sin^n x＋b/cos^n x最小值猜想的推广

文[1]中猜想：f（x）=a/sin^n x＋b/cos^n x（0〈x〈π/2,a,b∈R^＋,n∈N＋），当且仅当x=arctan ^n＋2√a/b时，取最小值（a 2/n＋2＋b 2/n＋2）n＋2/2。笔者发现不但此猜想是正确的，而且还得到它的一个推广，下面给出推广及证明（初等证明）．     

一个无理不等式的类比

文[1]给出了如下不等式： 设a，b〉0，0〈λ≤2，则 √a/a＋λb＋√b/λa＋b≤2/√1＋λ（1）     

一道西班牙竞赛题的奇异变式

在《数学通讯》网站论坛网友交流分坛上，网友searchbeyond发贴求教一个问题： 题1 已知（√x^2＋1＋y）（√y^2＋1-x）=1试判断x与y的大小关系．     

一道赛题变式的简解

第31届西班牙数学奥林匹克第2题为：如果（x＋√x^2＋1）（y＋√y^2＋1）=1，那么x＋y=0． 在《数学通讯》网站论坛上，一位网友提出了该题的如下变式，并发贴向各位求教：     

一道不等式试题的探究

一、问题提出 已知a,b,c∈R^＋且a＋b＋c=2． （1）求证：√a（2-a）≤9^-4√6;     

拉格朗日恒等式与几个常用不等式

ax＋by≤√a^2＋b^2·√x^2＋y^2，2ab≤a^2＋b^2，a＋b≤2√a^2＋b^2（a，b，x，y∈R）是几个常用的不等式．文[1]利用三角代换，将这些不等式统一为研究sin（α＋β）的取值范围；文[2]通过构造向量，将这些不等式统一为研究向量夹角的范围．这两种方法均是将不等式问题转化为等式进行研究，这让笔者联想到拉格朗日恒等式可以用来处理此类问题．     

关于k√n的不等式猜想的再研讨

文[1]给出了一个关于k√n的不等式猜想，文[2]指出该猜想的右侧不等式，即对于正整数n，k〉1，不等式k√n〈kn＋（k-1）/k＋1k√n-k（n-1）＋（k-1）/k＋1k√n-1在k=2时不成立，当k〉2时成立．本文研究了该猜想的左侧不等式，对于正整数n，k〉1，不等式     

一个数学问题的探究

《数学通报》问题1662：求函数y=sinx＋cosx＋tanx＋cotx＋secx＋cscx的值域．其解答采用切割化弦和换元法求得值域为（-∞，1-2√2]∪[2＋3√2，＋∞）．笔者通过探究发现，在该函数取正值时，最小值2＋3√2在特殊角x=2kn＋π/4（k∈Z）时取得，本文进一步探求该函数在限制条件下的一些推广形式的最小值．     

对一个四元不等式的证明及推广

文[1]证明了这样一个不等式,若n,b,c为正实数,则．√a/b＋c＋√b/a＋c＋√c/a＋b〉2.     

一道高考压轴题的溯源、新证及推广

安徽省2008年高考理科数学压轴题为： 设椭圆C：x^2/a^2＋y^2/b^2=1（n〉b〉0）过点M（√2,1）,且左焦点为F1（-√2,0）．