一个双曲线方程的配方法证明

文 [1 ]证明函数y=(ax+c) + bx+d(ab≠0 ,c、d ∈R)的图象是双曲线中用到了行列式和函数极限等知识 ,文 [2 ]的证明做了改进 ,但由于要用到图象的旋转等复数方面的知识 ,对于不熟悉复数的同学来说 ,仍然难以理解 .本文用配方法给出一个证明 ,所需的知识很浅 ,同学们容易接受 .证明　先将y =(ax+c) + bx+d的图象沿向量 ( -d ,c-ad)平移得到函数y=ax + bx 的图象 ,只需证y=ax+ bx 的图象是双曲线即可 .因为　ab≠ 0 .1 )ab>0时 ,将y =ax+ bx 化为xya -x2 =ba( >0 ) ①设A2 + 1 =B22AB =1a　并在①两边同加上B2 (x2 +y2 ) ,得A2 x2 +B2 y2 …     

一道习题的推广及证明

习题　已知 a,b∈ R+ ,且 a≠ b,求证 :a2 + b2 >3 a3 + b3 .证明　原命题等价于( a2 + b2 ) 3 >( a3 + b3 ) 2 ,展开很易证明 .推广　已知 a,b,m,n∈ R+ ,且 a≠ b,m >n,求证 :n an + bn >m am + bm .证明　构造函数 y =f( x) =x ax + bx( a,b∈ R+ ,且 a≠ b,x >0 ) ,两边取对数得　 lny =ln( ax + bx)x ,两边取导数 ,得y′y =x( axlna + bxlnb) - ( ax + bx) ln( ax + bx)x2 ( ax + bx) .∵　 a,b∈ R+ ,且 a≠ b,x >0 ,∴　 ( ax) ax . ( bx ) bx <( ax + bx ) ax+ bx,∴　 x( axlna + bxlnb)　　 <( ax + bx) ln( ax + bx) ,∴　 y′…     

错在哪里

问题　已知函数 y =ax2 6 x bx2 1 对于一切实数 x都有 {y| 1≤ y≤ 9},求实数 a、b的值 .不少学生 (还有部分老师 )是这样解的 :∵　函数 y =ax2 6 x bx2 1 的定义域为R,于是 ( y - a) x2 - 6 x y - b =0 ,当 y≠a,由Δ≥ 0 ,得 36 - 4( y - a) ( y - b)≥ 0 ,即y2 - ( a b) y ab - 9≤ 0 ( 1 )又 1≤ y≤ 9,即 y2 - 1 0 y 9≤ 0 ( 2 )而不等式 ( 1 ) ( 2 )同解 ,∴　 a b =1 0 ,　 ab - 9=9,∴　 a =5 7,b =5- 7,或　 b =5 7,a =5- 7;当 y =a时 ,结论也成立 .剖析　这道题与《中学数学》(湖北 ) 1 999年增刊 P1 …     

运用二次函数图象研究二次方程初探

二次函数与二次方程的关系密切.对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)而言,当y=0时,就得到一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).因此,一元二次方程的根就是相应的二次函数图象与x轴的交点的横坐标.我们     

争鸣

问题　　问题6 7　　设实数m ,n ,x ,y满足m2+n2 =a ,x2 +y2 =b ,求mx +ny的最大值.观点1　∵mx +ny≤m2 +x22 + n2 +y22=(m2 +n2 ) + (x2 +y2 )2 =a +b2 ,∴(mx +ny) max=a +b2 .观点2　由已知,设m =acosθ,n =asinθ,θ∈[0 ,2π) ,x =bcosφ,y =bsinφ,φ∈[0 ,2π) ,则mx +ny =abcosθcosφ+absinθsinφ=abcos(θ- φ)≤ab ,当且仅当θ=φ时取等号.∴(mx +ny) max=ab .观点3　由观点2 ,得mx +ny≤ab ,又ab≤a +b2 ,∴mx +ny≤a +b2 ,当且仅当θ=φ且a =b时取等号.∴(mx +ny) max=a +b2 .到底谁对谁错,还是题目本身就有错?问题6 8　人教…     

多种方法确定二次函数表达式

我们知道,根据已知条件确定二次函数表达式有三种表达式可供选择:(1)一般表达式:y=ax2+bx+c(a、b、c为常数且a≠0);(2)顶点表达式:y=a(x-h)2+k,其中顶点为(h,k),a≠0;(3)交点表达式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0,x1、x2是抛物线与x轴两交点横坐标).     

二次函数与一元二次方程的关系及运用

二次函数和一元二次方程是我们学习的两个"二次"问题,两者之间有着怎样的关系呢?下面为同学们一一介绍.一、两者的关系(1)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值等于m,求自变量x的值,可以解一元二次方程ax2+bx+c=m(即ax2+bx+c-m=0).反过来,解方程ax2+bx+c=0(a≠0)又看做已知二次函数y=ax2+bx+c值为0,求自变量x的值;     

二次函数和抛物线不等式

考察二次函数 y =ax2 +bx +c(a≠ 0 ) .为了方便起见 ,记 f(x) =ax2 +bx +c,对它进行配平方 ,可以得到f(x) =a x + b2a2 + 4ac -b24a .由上式 ,我们容易得到以下诸结论 :1)若a >0 ,则当x≤ - b2a时 ,y是单调递减的 ;当x≥ - b2a时 ,y是单调递增的 .因此 ,y =f(x)在全实轴上没有最大值 ,只有x =- b2a是 y在全实轴上的最小值点 ,其最小值为ymin=f - b2a =4ac -b24a .从而有 f(x)≥4ac -b24a (1)2 )若a <0 ,则当x≤ - b2a时 ,y是单调递增的 ;当x≥ - b2a时 ,y是单调递减的 .因此 ,y =f(x)在全实轴上没有最小值 ,只有x =- b2a是 y在全实轴上的最…     

三次函数性质的研究和应用

随着新教材的使用和推广,使高中学生用导数来解决高次和无理函数的性质成为现实,三次函数的有关问题作为典型在近几年的高考和竞赛试题中不断出现,因此有必要对三次函数进行研究.文[1]用初等的方法解决了三次函数图象的对称中心问题,本文试用导数对y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)进行较全面的研究,并加以适当的应用.一、y=ax3+bx2+cx+d(a>0)的图象和性质1.三次函数的单调性分析:因为f′(x)=3ax2+2bx+c,所以Δ=4b2-12ac=4(b2-3ac),于是:Ⅰ.当b2-3ac>0时,方程f′(x)=0有两个不同的实根x1,x2(访设x10,所以y=ax3+bx2+cx+d(a>0)在(-∞,x1)或(…     

用二次函数的性质证明不等式

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质可从二次函数的图像中由二次项系数a、判别式△、函数y三者之间的内在联系而得到: (1)若a>0且△=b2-4ac≤0.则y=ax2+bx+c≥0; (2)若a<0且△=b2-4ac≤0,则y=ax2+bx+c≤0. 应用上述性质(1)、(2)去证明一元二次不     

解析2012年山东卷理科选择题的压轴题

2012年高考山东卷理科第12题为:设函数f(x)=1/x,g(x)=ax2+bx(a,b∈R,a≠0),若y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是()     

综合题新编选登

题 91 　已知二次函数 y =ax2 +bx +c(a >0 )图象上存在一点P(x0 ,y0 ) ,满足 y0<0 ,证明 :函数图象必与x轴有两个交点A(x1,0 ) ,B(x2 ,0 ) ,且x0 在x1,x2 之间 .证　∵ y0 =ax20 +bx0 +c =a(x0 +b2a) 2 + 4ac -b24a ,∴Δ =b2 - 4ac =4a2 (x0+ b2a) 2 - 4ay0 ,又a >0 ,y0 <0 ,∴Δ >0 ,故函数图象必与x轴有两个交点A(x1,0 ) ,B(x2 ,0 ) .不妨设x1相似文献   

关于椭圆性质的另一种推导

如图1所示,αl β为平面角等于θ的二面角(规定0°<θ<90°) .已知α平面内有一半径为R的圆O ,则圆O在β平面内的正射影为椭圆.研究过程如下:图1　研究用图在α内,以O为原点建立直角坐标系xoy ,其中ox轴∥l,则其在β内的正射影记为直角坐标系x′o′y′.设α上圆O :x2 + y2=R2 上一点为M (x ,y) ,它对应(这里的对应指由α到β的正射影,下同)于β上一点M′(x′,y′) ,则x′=x ,y′=y·cosθ,即x =x′,y =y′/cosθ,将其代入圆O的方程x2 + y2 =R2 中,得x′2R2 + y′2(Rcosθ) 2 =1 ( 1 )记a =R ,b =R·cosθ,则由( 1 )有x′2a2 + y′2b2 …     

对一个不等式的一点注记

讨论了不等式bx+y-ax+y/bx-ax≥x+y/x(ab)r/2及其逆成立或不成立的一切情形,其中x,y∈R x≠0 a,b＞0,a≠b.     

判别式为零时圆和椭圆为何不相切

1 问题的提出利用一元二次方程ax2 +bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac可以判断直线l:y=kx+b与圆π:x2+y2=r2的位置关系:当Δ＞0时,直线与圆相交;当Δ=0时,直线与圆相切;当Δ＜0时,直线与圆相离.     

品味算法的"交汇性"(续)

(接20101-12(上)P33) 例12 (2010年苏州市调考题)程序框图如图13所示,已知曲线E的方程为ax2+by2=ab(a,b∈R),若该程序输出的结果为s,则 A.当s=1时,E是椭圆 B.当s=-1时,E是双曲线 C.当s=0时,E是抛物线 D.当s=0时,E是一个点解析 若a=0,b=1,则s=0.此时ax2+by2=ab变为y2=0,即y=0,表示直线,排除C、D两项;若a=-1,b=-1,则s=1.此时ax2+by2=ab变为x2+y2=-1,不表示任何曲线,排除A项.故选B.图14点评本题是程序框图与解析几何的交汇综合题,利用特值验证并结合筛选法容易得出正确结果,这正是命题者的初衷和"得意"之处.     

圆锥曲线上四点共圆的充要条件的行列式证明

本文是[1]的继续.在[1]中,我们利用四阶行列式的特征证明了下面的定理. 定理 设Ai(acosθi,bsinθi)(i=1,2,3,4;0≤θi<2π)是椭圆x2/a2+y2/b2=1(其中a≠b)上互异四点,则四点共圆的充要条件是θ1+θ2+θ3+θ4=2π,4π,6π.     

二次函数极值公式的一个应用

二次函数y=ax~2+bx+c(a≠0),经过配方整理后得: y=a(x+b/2a)~2+(4ac-b~2)/4a 这个公式叫二次函数的极值公式。把这个公式稍加变形得: y=a〔(x+(b/2a))~2+(4ac~2-b~2)/4a~2〕=a〔(x+(b/2a))~2-(b~2-4ac)/4a~2〕。这个变形后的公式,不仅可以求二次函数的极大值或极小值,而且还可以用来求抛物线y=ax~2+bx+c(a≠0)在x轴上所截得的线段的长度。定理:设抛物线y=ax~2+bx+c(a≠0)与x轴交于两点A(x_1,0)、B(x_2,0),(x_1≠x_2)则抛物线在x轴上所截得的线段长为:     

一元二次方程根与系数作用大

对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当判别式Δ=b2-4ac≥0时,若两根为x1、x2,则两根与一元二次方程的系数关系为:x1+x2=-ba,x1·x2=ca,根与系数的这种关系又称为韦达定理;它的逆定理也是成立的,即当x1+x2=-ba,x1·x2=ca时,那么x1、x2则是ax2+bx+c=0(a≠0)的两根.一元二次方程的根与系数的关系,综合性强,应用极为广泛,在初中数学中占有极重要的地位,也是数学学习中的重点,更是中考试     

会错意、换错义、解错题

在解数学题时 ,常常会出现意想不到的错误 .本文拟通过几个例题来探讨犯错的原因 ,并就怎样避免错解提出建议 .例 1　求函数y =lg(8sin x + 14x - 1π - 6cos x + 14x - 1π)的值域 .错解 :令 x + 14x - 1π =θ ,则y =lg(8sinθ - 6cosθ) =lg10sin(θ - φ)≤lg10 =1(其中 φ =arctan34) ,于是函数值域为 -∞ ,1.辨析 :上述解答没有考虑函数θ =x + 14x - 1π的反函数存在条件 ,故上述解答有误 .正解 :上述解法中 ,因为方程 π4 =x + 14x - 1π关于x无解 ,可知θ≠ π4 ,所以y≠ 12 lg2 .因此函数值域应为-∞ ,12 lg2∪ 12 lg2 ,1.评注 :…