直线与圆

选择题1　直线ｘｃｏｓα ｙ 1=0的倾斜角θ的取值范围是 (　　 )(Ａ) [- π4 ,π4 ].　　　 (Ｂ) [π4 ,3π4 ].(Ｃ) [0 ,π4 ]∪ [3π4 ,π) .(Ｄ) [0 ,π4 ]∪ [3π4 ,π].2　下列命题中正确的是 (　　 )(Ａ)经过点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )的直线都可以用方程 ｙ -ｙ0 =ｋ(ｘ -ｘ0 )表示 .(Ｂ)经过定点Ｐ(0 ,ｂ)的直线都可以用方程 ｙ =ｋｘ ｂ表示 .(Ｃ)不经过原点的直线都可以用方程 ｘａ ｙｂ =1表示 .(Ｄ)过任意两个不同的点Ｐ1(ｘ1,ｙ1)和Ｐ2 (ｘ2 ,ｙ2 )的直线都可以用方程 (ｙ - ｙ1) (ｘ2 -ｘ1) =(ｘ -ｘ1) (ｙ2 - ｙ1)表示 .3　过点Ａ…     

二进制的巧算与巧用

随着计算机文化的普及 ,我们经常会接触到二进制数 .可是不少学生对二进制数不熟悉 ,当然就不习惯用它 .下面举几个例子说明二进制的巧算与巧用 .为叙述方便 ,作如下约定 :(1 )在数字之后用Ｂ表示二进制数 ,Ｈ表示十六进制数 ,十进制数仍按习惯表示 .(2 )对一个二进制数 ,连续若干个“0”称为 0连贯 ,连续若干个“1”称为 1连贯 .一个连贯所含数字的个数称为连贯的长 .例如 ,二进制数 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0Ｂ中有两个 1连贯 ,其长度分别为 1和 4;两个 0连贯 ,其长分别为 3和 2 .1　十进制数与二进制数的快速互换用“除 2取余法”将一个较大的…     

关于月牙形状的数学分析

以下的一幅图片 (图1 )是从一本被广泛采用的大学地理教科书中复印下来的 ,图中显示的是从新月、蛾眉月到满月又到新月的月相变化全过程 .应该说 ,每一种月相都是很美的 (特别是蛾眉月和满月 ) ,但是笔者要说的是 ,从理论上讲我们从来不可能看到图 1中那样的“蛾眉月” ;也从来不可能看到真正的“圆”月亮 ;还不可能看到图 2中所列的诸种形状 .为什么如此 ,本文将要给以详细的说明 ,回答这一问题的前提是必须弄清这样的一个问题 :月牙边缘的弧线究竟是什么曲线 .图 21　月牙边界的弧线是什么结论　月牙 (含凸月 )的一个边缘是半圆 ,另一边缘…     

参赛应用题选登

题 42　从 1 980年 1月起计 ,用ａｎ 记某厂第ｎ月的月产值 (ａ1记 1 980年 1月的产值 ,… ,ａ13记 1 981年 1月的产值 ,… ) ,Ｓｎ 记该厂从 1 980年 1月至第ｎ月的总产值 ,即Ｓｎ=ａ1 ａ2 … ａｎ.据该厂产值的统计表发现Ｓｎ 与ａｎ 满足线性关系 :Ｓｎ=ｋａｎ ｈ(ｋ ,ｈ都是常数 ,ｋ >0且ｋ≠ 1 ,ｈ≠ 0 ) .1 )证明 :从 1 980年 2月起 ,任意一个月的产值比它上一个月的产值增长 (减少 )的百分率是一个定值 ;2 )若从 1 980年 1月起每月的产值递增 ,试确定ｋ ,ｈ应满足的条件 ;3 )若ｋ =2 1 ,求产值的月平均增长率及年平均增长率 (精确…     

“0”、“零”、“○”的起源与传播

现在国际上通用的阿拉伯数码“0、1、2、3、4、5、6、7、8、9”来源于印度 ,“0”始出现于公元 9世纪末 .这套数码经翻译后传入阿拉伯 ,又于 1 3世纪由阿拉伯传入欧洲 ,故亦称为印度 -阿拉伯数码 .0的发现与十进位记数法有密切关系 .中国自古 (大约公元前 5世纪以后 )以来就用算筹来记数 ,早就使用十进位值制 ,是世界上最早确立完善的十进位值记数制度的国家 .位值制必须有表示零的办法 ,例如 ,“1 2 3”这个数可摆成而要表示“2 0 6”这个数 ,中国用空一位来表示零 ,2 0 6表示作 .个位是零的数字也能表示出来 ,如“3 82 0”表示为 :,它不会…     

直线系和曲线系

1　直线系若直线ｌ1:Ａ1ｘ Ｂ1ｙ Ｃ1=0与直线ｌ2 :Ａ2 ｘ Ｂ2 ｙ Ｃ2 =0相交于Ｐ ,则ｌ1与ｌ2 的线性组合 (λ ,μ∈Ｒ ,且不全为零 )ｌ3 :λ(Ａ1ｘ Ｂ1ｙ Ｃ1) μ(Ａ2 ｘ Ｂ2 ｙ Ｃ2 ) =0表示过Ｐ点的所有直线 ,称为过Ｐ点的直线系方程 .特别地 ,当λ =0时 ,ｌ3 成为ｌ2 ;当 μ =0时 ,ｌ3成为ｌ1.对于ｌ1,ｌ2 以外的直线 ,我们往往只在ｌ3 中保留一个参数 ,而使另一个为 1,即为ｌ4 :Ａ1ｘ Ｂ1ｙ Ｃ1 λ(Ａ2 ｘ Ｂ2 ｙ Ｃ2 ) =0 .如果ｌ1与ｌ2 平行 ,这时ｌ3 表示与ｌ1平行的直线系方程 .例 1　求过直线ｌ1:2ｘ ｙ - 5 =0和…     

圆锥曲线统一定义课件的制作

《数学通讯》2 0 0 1年第 2 3期、2 0 0 2年第7期先后刊登了张爱明老师和杨德兵、余咏梅老师用《几何画板》辅助圆锥曲线统一定义教学的文章 .《几何画板》和《平面解析几何教师版》都是人民教育电子音像出版社推出的制作数学课件的软件 .而在制作平面解析几何的课件时 ,《平面解析几何教师版》具有更强大的功能和优势 .本人在此介绍自己用此软件制作圆锥曲线统一定义课件的方法 ,与同行共同探讨 .如图 1,设M (x ,y)为圆锥曲线上任意一点 ,圆锥曲线统一定义用数学式子可表示为 :|MF|d =e ,0 1,曲…     

对一道2002年高招试题的质疑

20 0 2年全国普通高校招生统一考试数学 (文史类 )试卷压轴题为 :(Ⅰ )给出两块面积相同的正三角形纸片(如图 1、图 2 ) ,要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型 ,另一块剪拼成一个正三棱柱模型 ,使它们的全面积都与原三角形的面积相等 ,请设计一种剪拼方法 ,分别用虚线标示在图 1、图 2中 ,并作简要说明 ;(Ⅱ )试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小 ;(Ⅲ ) (附加题 ,略 ) .图 1　正三角形　　　　　　图 2　正三角形这是一道实际操作落料型应用题 .源于人教版数学第二册 (下Ａ) (试验修订本·必读 )Ｐ52介绍的五种正多面体的表面…     

用等积法巧解一道数列题

江苏省 2 0 0 2年初中数学竞赛试题 ,初一年级第15题 :电影胶片绕在盘上 ,空盘时盘芯半径为 6 0mm ,现有厚度为 0 .15mm的胶片 ,它紧绕在盘上共有6 0 0圈 ,那么这盘胶片的总长度约为m (圆周率π取 3.14计算 ) .现行高中数学新教材 (试验修订本 (必修 ) )第一册 (上 )P 14 1第 13题与上题类似 :图 1　绕片盘　　　图 2　分析用图如图 1,铜片绕在盘上 ,空盘时盘芯半径为4 0mm ,满盘时半径为 80mm ,铜片的厚度为 0 .1mm ,求 :(1)满盘时 ,铜片共绕了多少圈 ?(2 )满盘时 ,铜片共有多长 (精确到 1m ) ?(提示 :按铜片厚度的中心线计算各圈的长度 )…     

应用广泛的函数y=Asin（ωx＋φ）＋k

三角学产生于约两千年前的古希腊 ,起因是人们要对三角形中的角和边进行精确的测量与计算 ,后来逐渐发展为定义在实数集上的三角函数 .三角函数有着相当广泛的应用 ,就函数 ｙ =Ａｓｉｎ(ωｘ φ) ｋ来说 ,其应用不仅仅限于课本上提到的简谐振动、交流电、单摆等方面 ,许多有节律地变化的自然现象 ,都可用此函数来模拟 ,在生物、天文、地理、机械等方面都有其应用 ,下面举几例供大家参考 .图 1　例 1图例 1　估计一天白昼的时间 .估计某一天的白昼时间的小时数Ｄ(ｔ)可由下式表示 :Ｄ(ｔ) =ｋ2 ｓｉｎ 2π365 (ｔ- 79) 12 ,其中ｔ表示某…     

哥德巴赫猜想能用初等方法证明吗

近年来,有时见到报刊上登一些错误的结论或证明,说某某人用初等方法证明了哥德巴赫(C.Goldbach)猜想.笔者猜测,可能还有些尚未完成证明的业余数学爱好者在做这种努力.本文想谈一谈:若是限定在皮亚诺(G.Peano)公理组的基础上,能否证明哥德巴赫猜想.1真假皮亚诺公理组我们用PA简记下列的皮亚诺公理组:(1)对一切x:x 1≠0.(2)对一切x,y:若x 1=y 1,则x=y.(3)对一切x:x 0=x,并且x·0=0.(4)对一切x,y:x (y 1)=(x y) 1,并且x·(y 1)=(x·y) x.(5)数学归纳法则(从0开始的).我们再用PA′简记下列的公理组:(2)至(5)与PA者相同.(1′)0 1≠0,1 1≠0,2…     

对一个传球问题的探究

1　原问题三个人相互传球 ,由甲开始发球 ,并作为第一次传球 ,经过 5次传球后 ,球仍回到甲手中 ,则不同的传球方式共有 (　　 )(Ａ) 6种 .　　　　 (Ｂ) 8种 .(Ｃ) 10种 . (Ｄ) 16种 .简解　这是 2 0 0 2年广州市普通高中毕业班综合测试 (一 )的第 12题 ,画树图或枚举不难知道 ,符合题意的传球方式共有 10种 ,所以选 (Ｃ) .本文约定 ,如不加说明 ,ｎ ,ｍ都表示正整数 .2　探究一　三个人相互传球 ,由甲开始发球 ,经过ｎ次传球后 ,球仍回到甲手中 ,则不同的传球方式共有多少种 ?2 .1　归纳—猜想设 ｆ(ｎ)表示符合题意的传球方式数 ,用解答原…     

从2006年几道数学考研试题谈起

考研与平时教学应相互促进,“考研是教学的指挥棒”,因此,分析和研究每年的考研试题是很必要的,让我们从今年的几道试题谈起.一、一题六解与六题一法首先我们将2006年考研题中的一道大题作为例1,这道题至少可以用6种方法来解.例1(2006,二、四)确定A、B、C的值使ex(1 Bx Cx2)=1 Ax o(x3)(x→0)解1可以把题设等式的右边看作是左边的函数的局部泰勒展式,则A=[ex(1 Bx Cx2)]x′=0=1 B(1)0=[ex(1 Bx Cx2)]x″=0=1 2B 2C(2)0=[ex(1 Bx Cx2)]x=0=1 3B 6C(3)由(2)、(3)解得B=-23,C=16;代入(1)得A=13.解2先将ex用泰勒公式展开:ex=1 x x22 3x…     

巧添绝对值符号解非绝对值问题

绝对值是高中数学的重要知识点 ,我们习惯上是把绝对值问题通过定义法、分类讨论、数形结合等手段转化为非绝对值问题来解决 .在实际的数学解题过程中可以发现 ,有些非绝对值问题 ,通过添加绝对值符号处理 ,往往能化难为易 ,优化解题过程 ,下面举例说明 .1　判断函数的奇偶性　对于分段函数的奇偶性 ,除了直接用函数奇偶性的定义去判定外 ,用先添加绝对值符号 ,再去判定 ,显得更简捷 .例 1　判定函数 ｆ(ｘ) =ｘ2 (ｘ - 1 ) (ｘ≥ 0 )-ｘ2 (ｘ 1 ) (ｘ <0 ) 的奇偶性 .分析 :利用绝对值 ,原函数可用一个表达式来表示 .解　原函数就是 ｆ(…     

争鸣

问　题问题 2 5　 在高中新教材《数学》第一册 (下 )中 ,第 95页有“平行向量也叫共线向量” .这样 ,对向量ｂ与非零向量ａ共线 (或平行 )的充要条件有两处 :见 1 0 4页用到“有且只有一个实数λ” ,而第 1 1 1页用到“存在一个实数λ” .我们的问题是 :为什用两种逻辑意义的语句叙述 ,可否统一为“有且只有一个实数λ” ?问题 2 6　 判断命题“若ａ∥ｂ ,则ａ与ｂ的方向相同或相反”的真假 .观点一 :　当ａ∥ｂ时 ,ａ与ｂ的方向相同或相反 ,否则 ,ａ与ｂ不平行 ,故此命题为真 .观点二 :　由于规定了 0与任一向量平行 ,故 0的方向是任意的 …     

运用向量知识解释平面解析几何问题

推证分两步进行：1)平面直角坐标系内任一直线，其方程都可写成Ax By C=0(A^2 B^2≠0)的形式；2)任一方程Ax By C=0(A^2 B^2≠0)在平面直角坐标系内都表示一条直线．其中要用到结论：“平面内过一点与一已知直线(法向量为非零常向量)垂直的直线有且只有一条．”     

累积数学归纳法

数学归纳法是一种证明与自然数ｎ有关的数学命题的重要方法 .一般地用数学归纳法证明命题时 :首先 ,证明当ｎ取第一个值ｎ0 (例如ｎ0 =1或ｎ0 =2 )时结论正确 ;然后 ,假设当ｎ =ｋ(ｋ∈Ｎ ;且ｋ≥ｎ0 )时结论正确 ,证明当ｎ=ｋ 1时结论也正确 .完成这两个步骤 ,就可以断定命题对于从ｎ0 开始的所有自然数ｎ都正确 .其实这只是数学归纳法的第一种形式 ,有些命题在第二步骤只假设当ｎ=ｋ时结论正确是不能推导出ｎ=ｋ 1时结论也正确的 (如下面几道题 ) ,必须假设当ｎ=ｎ0 ,ｎ0 1…… ,ｋ时结论都正确 ,才能推导出ｎ =ｋ 1时结论也正确 .这就是…     

参赛应用题选登

题 35　某村有荒山若干亩 ,经改造飞播种草养植大白山羊 .第一年生草量 10万ｋｇ ,如果年新生草量不超过 4 2 0万ｋｇ ,那么每年新生草量将以 2 0 0 %的增长率递增 (旧草自然枯竭、落种 ) ,若超过此量 ,草地有荒废的危险 .每只大白山羊平均年食草量为5 0 0ｋｇ ,该村从第二年起年养殖大白山羊量保持在2 0 0只 .(1)写出年新生草量 ｙ与年份ｎ的函数关系 ;(2 )第几年后应将养殖的大白山羊总数增加到最大数量 ?最大数量为多少只 ?解　 (1) 2 0 0只大白山羊每年吃掉 2 0 0× 5 0 0×110 0 0 0 =10万 (ｋｇ)新草 .第一年新生草量 10万ｋｇ ,第二…     

数学娱乐圈

数学灯谜在一次元宵节中 ,组织者挂出了如图所示的用红色小灯泡和白色小灯泡组成的灯谜 .假定白色小灯泡表示“1” ,红色小灯泡 (图中带阴影的灯泡 )表示“0” ,这些灯泡表示什么意思 ?答　　案这是一个用二进制组成的数谜 .11110 0 1110 1,10 10 ,1,把它化成十进制数为11110 0 1110 12 =1× 2 10 1× 2 9 1× 2 8 1× 2 7 0× 2 6 0× 2 5 1× 2 4 1× 2 3 1× 2 2 0× 2 1 1=194 9.10 10 2 =1× 2 3 0× 2 2 1× 2 2 0× 2 2 =10 .因此这个灯谜表示 :194 9,10 ,1.这说明 :一九四九年十月一日 ,这是伟大的中华人民共和国诞生之日 .(…     

关于高斯整数环的商环元素个数的注记

设 Z表示整数环 ,i表示虚数单位 ( i=- 1 ) .Z( i)为所有形如 a+ bi( a,b∈ Z)的复数组成的集合 ,称为高斯整数环 .高斯整数环中的元素称为高斯整数 .在文 [1 ]中 ,提出了两个猜测 ,其中之一是 :设 m和 n都是整数 ,则高斯整数环 Z( i)的商环 Z( i) /( m+ ni)的元素个数不超过 m2 + n2 .本文证明这一结论成立 ,且更明确的有 ,| Z( i) /( m+ ni) | =m2 + n2 .注意 ,对 m=0 (或 n=0 )以及 m任意但 n=1 (或 n任意但 m=1 )的情形 ,文 [1 ]已经证明此等式成立 .以下我们用 | A|表示集合 A的元素个数 ,也用 | α|表示复数 α的模 .下面给出的是…