构造法解三角函数题

一、构造数列等差 (等比 )中项求三角函数值例 1已知sinα +cosα =15 ,α∈ (0 ,π) ,求tanα =?解　∵　sinα +cosα =2× 110 ,∴　sinα、110 、cosα成等差数列 ,设公差为d ,sinα =110 -d ,cosα =110 +d .∵　sin2 α +cos2 α =1,知d =± 710 ,当d= -710 时sinα =810 ,cosα =-610 ,tanα =-43 ;当d =710 时 ,sinα =-610 <0与α∈ (0 ,π)不符 ,∴　tanα =-43 .例 2已知sinαcosα =122 5 ,α∈ (0 ,π4) ,求tanα =?解　∵　sinαcosα =122 5 =(125 ) 2 ,∴　sinα、 125 、cosα成等比数列 ,设公比为 q ,∴　sinα =125 q ,…     

一类离心率范围问题的统一结论

1　题目已知椭圆C :x2a2 + y2b2 =1(a >b >0 ) ,F1,F2 是焦点 ,如果C上存在一点P ,使∠F1PF2 =α(0° <α<180°) ,则椭圆离心率的范围是sin α2 ≤e <1.证明　方法 1:设 |PF1| =m ,|PF2 | =n ,∠PF2 F1=θ,则∠PF1F2 =180° - (α +θ) .在△F1PF2 中 ,根据正弦定理得 :msinθ=nsin[180° - (α +θ) ]=2csinα,根据比例性质及诱导公式得m +nsinθ +sin(α +θ) =2csinα.因m +n =2a ,故 2asinθ +sin(α +θ) =2csinα,所以e =ca =sinαsinθ +sin(α +θ)=2sinα·cos α22sin α2 +θcos α2=sin α2sin(α2 +θ)≥sin α2 ,当…     

勿忘(0)~(1/2)=0

我们知道 0 =0 ,但在解题过程中 ,却常常忽视了 ,这反映了我们考虑问题的片面性 .例 1　当α、β取什么范围内的值时 ,式子sin2αcosβ有意义 ?错解　由 sin2 α≥ 0知　 sin2 αcosβ≥ 0等价于 cosβ≥ 0 .即β∈ [2 kπ - π2 ,2 kπ π2 ](k∈ Z) .分析　因为学生牢记“实数的平方为非负数”,即α∈ R时 ,sin2 α≥ 0 .所以由sin2 αcosβ≥ 0推导出 cosβ≥ 0 .事实上 ,这漏掉了另一种情况 :sinα =0 ,cosβ∈ R时原式也有意义 .即α =kπ,且β∈ R,k∈ Z.正解　原式有意义等价于 cosβ≥ 0或sinα =0 .解得β∈ [2 kπ - π2 ,2 k…     

三角题的解析证法

有些三角题若用三角法求解则解法冗长 ,教材中的两角差的余弦公式是利用单位圆上的点的坐标给予证明的 .这给予我们启示 ,若有 f( cosα,sinα) =0 ,注意到 sin2α +cos2 α=1 ,我们可以把点 P( cosα,sinα)看成单位圆 x2 + y2 =1与曲线 f ( x,y) =0的交点 .因此某些三角题可以用解析法求解或证明 ,这样做还可以帮助学生融化贯通各科知识 .例 1　△ ABC中cos A sin A 1cos B sin B 1cos C sin C 1=0 .求证 :△ ABC为等腰三角形 .图 1证明　由条件知 :单位圆上三点P1( cos A,sin A) ,P2 ( cos B,sin B) ,P3 ( cos C,sin C)三点共线…     

应用万能公式解竞赛题

在众多竞赛题中,虽然不是三角题目,但若能类比万能公式,往往可以推陈出新.本文撷取几例以供参考. 1.应用于证明不等式(或恒等式) 例1 已知x,y,z为正实数,且 求证:证明考虑要证式子的特点,可作代换x=tanα,y=tanβ,z=tanγ,其中α,β,γ均为锐角,则已知可化为sin2α sin2β sin2γ=2,同时cos2α cos2β cos2γ=1,而     

为什么用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数

在人教版《普通高中实验教科书·数学4·必修(A版)》(简称“人教A版”)中,三角函数采用了如下定义(简称“单位圆定义法”):图1“如图1,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:(1)y叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y;(2)x叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x;(3)xy叫做α的正切,记作tanα,即tanα=xy(x≠0).可以看出,当α=2π kπ(k∈Z)时,α的终边在y轴上,这时点P的横坐标x等于0,所以tanα=yx无意义.除此之外,对于确定的角α,上述三个值都是唯一确定的.所以,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值…     

错在哪里

题目 :已知 sin2α=a,cos 2 a=b,则 tan(a π4)的值为 (　　 ) .(A) 1 a b1 - a b　　　 (B) a - b 1a b- 1(C) 1 ab (D) b1 - a解法 1　因为1 a b1 - a b=1 sin 2α cos 2α1 - sin 2α cos 2α=1 2 tanα1 tan2α 1 - tan2α1 tan2α1 2 tanα1 tan2α 1 - tan2α1 tan2α=1 tanα1 - tanα=tan(α π4) .所以选 (A) .解法 2　因为a - b 1a b- 1 =sin 2α- cos 2α 1sin 2α cos 2α - 1　 =2 sinα .cosα- (1 - 2 sin2α) 12 sinα .cosα (1 - 2 sin2α) - 1　 =sinα(cosα sinα)sinα(cosα- sinα) =cosα …     

2004年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类)

第Ⅰ卷　　参考公式 :三角函数的积化和差公式sinαcosβ =12 [sin(α β) sin(α- β) ]cosαsinβ=12 [sin(α β) -sin(α- β) ]cosαcosβ=12 [cos(α β) cos(α - β) ]sinαsinβ =- 12 [cos(α β) -cos(α - β) ]正棱台、圆台的侧面积公式S台侧 =12 (c′ c)l其中c′、c分别表示上、下底面周长 ,l表示斜高或母线长球的体积公式V球 =43πR3其中R表示球的半径一、选择题( 1 )设集合M ={(x,y) ｜x2 y2 =1 ,x∈R ,y∈R},N ={(x ,y) ｜x2 -y=0 ,x∈R ,y∈R},则集合M∩N中元素的个数为 (　　 )(A) 1　　 (B) 2　　 (C) 3…     

用三角代换解一类不等式问题

例1已知a,b,x,y∈R,且a2+b2=1,x2+y2=1,求ax+by的范围。解通过观察已知的条件我们不难发现:则ax+by=sinαsinβ+cosαcosβ=cos(α-β).由于-1≤cos(α-β)≤1,所以-1≤ax+by≤1.本题会出现许多的变式:变式1a,b,c,d∈R,且a2+b2=1,c2+d2=9,求abcd最大值和ac+bd的最小值.变式2若x2+y2=1,求(1-xy)(1+xy)的值域.     

在圆内解释两个三角公式

利用圆的特点 ,不难解释三角函数公式 :tan θ2 =sinθ1+cosθ和cot θ2=1+cosθsinθ .如图 ,△BOC中 ,∠BOC =θ,AB为⊙O的直径 ,CD⊥AB于D .　　则　OC =OA =OB =R ,　∠CAB =θ2 .在△COD中 ,CD =Rsinθ ,　OD =Rcosθ,∴　tan θ2 =CDAD=RsinθR +Rcosθ=sinθ1+cosθ,cot θ2 =ADCD=R +RcosθRsinθ =1+cosθsinθ .在圆内解释两个三角公式$河南省永城第三高中(二)九班!476600@刘冬辉…     

一类含三角函数的初等函数取值范围问题的图象解法

一类求在给定条件下三角函数式的取值范围问题 ,已有多篇文章论及 (参见文〔1〕〔2〕〔3〕) ,但美中不足的是文中未给出如何揭示隐含条件以避免误解 .笔者发现这类问题通过构造合适的直线或圆锥曲线能充分揭示隐含条件 ,正确求解 .例 1　已知 sinα 2 cosβ=2 ,求 2 sinα cosβ的取值范围 .解　设 x=sinα,y=cosβ,t=2 sinα cosβ则有 x 2 y=2 ,2 x y=t( |x|≤ 1,|y|≤ 1) .t的取值范围即线段 x 2 y=2与平行线段 2 x y=t( 0≤ x≤ 1,12 ≤ y≤ 1)相交时 ,2 x y=t在 y轴上截距的取值范围 .由图 ( 1)易得 :当 2 x y=t通过点 B( 1,12 )时 ,t…     

新题征展(34)

A.题组新编1 .( 1 )函数 f ( x) =2 x - 3x 1 的图像的对称中心为　　 ;( 2 )函数 f ( x) =ax cx b 的图像的对称中心为 ( 1 ,2 ) ,则 a =　　 ,b =　　 ;( 3)函数 f( x) =ax - 1x 1 在 ( -∞ ,- 1 )上是减函数 ,则 a的取值范围是　　 .2 .　 ( 1 )在锐角△ ABC中 ,sin A、cos B的大小关系是　　 .( 2 )在锐角△ ABC中 ,设 x =sin A sin B sin C,y =cos A cos B cos C,则 x、y的大小关系是　　 .( 3)在长方体中 ,一条对角线与一个顶点的三条棱所成角分别为α、β、γ.1　设 p =tanα tanβ tanr、q=cotα cotβ …     

运用两个比例定理巧解三角题

在求解某些三角函数题时 ,通过揭示题目中的比例关系 ,运用等比定理和合分比定理可得到简捷巧妙的解决 .等比定理是指 :若 b1a1=b2a2 =b3a3=… =bnan =k ,则b1+b2 +b3+… +bna1+a2 +a3+… +an=k(其中a1+a2 +a3+…+an≠ 0 ) .合分比定理是指 :若 ba =dc ,则 a -ba +b=c -dc+d(其中a +b ,c +d≠ 0 )或 a +ba -b=c +dc-d(其中a -b ,c -d≠ 0 ) .下举几例以说明 .例 1　求证 :1) 1+sin2θ -cos2θ1+sin2θ +cos2θ=tanθ ;2 ) 1+secα +tanα1+secα -tanα=secα +tanα .证明　 1)因为tanθ =sinθcosθ=2sinθ·cosθ2cos2 θ =sin2θ1+cos2…     

新题征展(63)

A　题组新编1 .( 1 )动点 M( x,y)满足( x - sinα) 2 + ( y - cosα) 2 =| xsinα+ ycosα- 1 | ,判断动点 M的轨迹类型 ;( 2 )动点 M( x,y)满足( x - sinα) 2 + ( y - cosα) 2 =| xsinα+ ycosα- 2 | ,判断动点 M的轨迹类型 ;( 3)动点 M( x,y)满足( x - sinα) 2 + ( y - cosα) 2 =2 | xsinα+ ycosα- 2 | ,判断动点 M的轨迹类型 ;( 4 )动点 M( x,y)满足2 ( x - sinα) 2 + ( y - cosα) 2 =| xsinα+ ycosα- 2 | ,判断动点 M的轨迹类型 .2 .( 1 )过点 P( 1 ,2 )的直线与 x、y轴的正半轴分别交于点 A、B,试求 S△ AOB 的最小…     

考点14 三角函数的最值及应用

1.(全国卷,7)当0相似文献   

2000年高考数学试卷Ⅱ解法集锦

理科 ( 1 7( ) )题别解甘肃秦安　张月顺　江苏东海　李跃学河北正定　吴怀杰　山东宁阳　程若礼湖北浠水　程贤清　贵州道真　冉福现河南陕县　李严军　刘栓龙　黄石　杨志明试题　已知函数y =12 cos2 x 32 sin xcos x 1,x∈ R,当函数 y取得最大值时 ,求自变量 x的集合 .解法 1y =cos x( 12 cos x 32 sin x) 1=cos x .sin( π6 x) 1=12 [sin( 2 x π6) sin π6] 1=12 sin( 2 x π6) 54.以下同参考解答 .解法 2　当 cos x =0时 ,y =1;当 cos x≠ 0时 ,y =12 cos2 x 32 sin xcos x sin2 x cos2 xsin2 x cos2 x=tg2 x 32 tg x…     

对一道三角函数问题四种解法的剖析

题目已知sin2α=a,cos2α=b,则tan(α π4)的值为()(A)b1-a.(B)1 ab.(C)1 a b1-a b.(D)a-b 1a b-1.解法1 tan(α π4)=sin(α π4)cos(α π4)=2sin(α π4)cos(α π4)2cos2(α π4)=sin(2α π2)1 cos(2α π2)=cos2α1-sin2α=b1-a,所以选(A).解法2 tan(α π4)=sin(α π4)cos(α π4)=2sin2(α π4)2sin(α π4)cos(α π4)=1-cos(2α π2)sin(2α π2)=1 sin2αcos2α=1 ab.所以选(B).解法3 tanα=sinαcosα=2sinαcosα2cos2α=sin2α1 cos2α=a1 b,所以tan(α π4)=tanα tanπ41-tantαanπ4=a1 b 11-a1 b=1 a b1-a b,所以选(C…     

研究三角函数性质的法宝——“三个一”

高一学生分析问题时最缺乏的就是目标意识,有的同学拿到三角函数性质的题目,想半天都没有一个明确的解题方向,其实所有这类问题都是首先将目标三角函数化为“三个一”:y=Asin(ωx+φ)+k的形式,即一个角的一种函数名称的一次式的形式,因为课本中三角函数的每一种性质都是由“三个一”型三角函数而展开讨论的,我们只有将目标三角函数化归成这种模型,才能使用课本结论灵活解题·例1求函数y=sin3xsin3cxos+22cxos3xcos3x+sin2x的最小值.分析只需将目标三角函数化简为“三个一”:y=Asin(ωx+φ)+k的形式即可·解法1因为sin3xsin3x+cos3xcos3x=(sin3xsinx)sin2x+(cos3xcosx)cos2x=21[(cos2x-cos4x)]sin2x+21[(cos2x+cos4x)cos2x]=21[cos2x+(cos2x-sin2x)cos4x]=21(cos2x+cos2xcos4x)=21cos2x(1+cos4x)=cos32x,∴y=cos32xcos22x+sin2x=cos2x+sin2x=2sin(2x+4π).当sin(2x+π4)=-1时,y...     

综合题新编选登

题 76　已知O为坐标原点 ,A ,B为抛物线y2 =2 px (p >0 )上的点 ,设S△AOB =t·tan∠AOB ,求t的最小值 .图 1　题 76图解　设AB与x轴相交于点P(a ,0 ) ,A ,B的坐标分别为 (x1,y1) ,(x2 ,y2 ) ,当AB与x轴斜交时 ,设AB的方程为 :y =k (x -a) (k≠ 0 ) ,联立 y =k(x -a) ,y2 =2 px ,得x1x2 =a2 ,y1y2 =- 2ap .当AB与x轴垂直时 ,上述结论仍然成立 .由S△AOB =12 |OA |· |OB |sin∠AOB =12|OA|·|OB|cos∠AOB·tan∠AOB ,可知t =12 ·|OA|·|OB|cos∠AOB .由向量数量积的定义 ,得|OA|·|OB|cos∠AOB =OA ·OB =x1x2 + y…     

一个条件,多种结论

若α、β、γ满足: sinα sinβ sinγ=0 (1) cocα cosβ cosγ=0 (2)则有 sinα=-(sinβ sinγ)(3) cosα=-(cosβ cosγ) (4) (3)的平方加上(4)的平方得: cos(β-γ)=-1/2 (5) 这是我们要证的第一个结论由(5)还可得:β-γ=2/3π 2kπ其中k∈Z。同理可证:γ-α=2/3π 2kπ,α-β=2/3π 2kπ、因此,在(1)、(2)条件下,有结论:α、β、γ依次相差2/3π 2kπ,(k∈Z)——这是要证的第二个结论。