分数(g,f)-因子覆盖图

一个图称为分烽（g,f)- 因子覆盖图，如果G中的任何一条边e都包含在一个分数（g,f)- 因子中，并且满足h(e)=1，其中h是分数（g,f)- 因子的导出函数。本文给出了一个图是分数（g,f)- 因子覆盖图的充要条件。     

具有给定性质的奇偶因子

设G是一个图，g和f是定义在V（G）上的一整值函数且满足对于所有x∈V(G)均有g(x)≤f(x)以及g(x)≡f(x)(mod2)。称G的生成子图F为一个(g,g 2,…,f)－因子，如果对于一切x∈V(G)有degF(x)∈｛g(x),g(x) 2,…,f(x)｝，当g(x)＝1时（对于所有x∈V(G)，这样的因子称为（1，f）－奇因子。本文给出了一个图G具有（g,g 2,…,f)－因子和包含G中任意给定一条边的（1，f）－因子的充要条件，并据此，得到了一些有趣的结果。     

二分(mg,mf)-图中的(g,f)-因子

设G是一个二分图具有顶点集V（G）和边集E（G）。设g和f是定义在V（G）上的两个正整值函数使对任意的x∈V（G）有g(x)≤f(x)，G的一个（g,f）－因子H是G的一个生成子图满足g(x)≤dH(x)≤f(x）。若图G本身是一个（g,f）－因子，则称G是一个（g,f）－图。本文得到一个（mg,mf）－图具有特殊性质的（g,f）－因子的充分条件，从而推广了文献[6]中的一个结果。     

图的分数(g,f)-因子

本文研究了图的分数因子的性质,特别给出了图的弧立韧度这一新概念,研究了孤立韧度与分数因子的关系,文中给出了一个图具有某些约束条件的（g,f）-分数因子的一些充分条件,得到了若干新结果,并提出 了一些可供进一步研究的问题。     

分数(g,f,m)-覆盖图的充要条件

G是一个图,g和f是两个定义在V(G)上的非负整数值函数,并且对任意的x∈V(G),满足g(x)≤f(x).称图G是分数(g,f,m)-覆盖图,如果存在图G的分数(g,f)-因子G[F_h]满足对任意的e∈E(H)有h(e)=1,其中H是图G的m条边的子图.证明了一个图是分数(g,f,m)-覆盖图的充要条件,并得到了几个推论.     

关于分数可消去图的若干结果

令G=(V(G),E(G))是一个图,并令9和f是两个定义在V(G)上的整数值函数且对所有的x∈V(G)有g(x)≤f(z)成立．若对G的每一条边e都存在G的一个分数(g,f)-因子G_h使得h(e)=0,其中h是G_h的示性函数,则称G是一个分数(g,f)-消去图,若在G中删去E′■E(G),|E′|=k后,所得图有分数完美匹配,则称G是分数k-边-可消去的。本文给出了图是1-可消去,2-可消去和k-边-可消去的与韧度和孤立韧度相关的充分条件。证明了这些结果在一定意义上是最好可能的．     

关于(g,f)-2-消去图

一个图G称为一个(g,f)-2-消去图,如果G的任何两条边不属于它的一个(g,f)-因子.本文给出了当g＜f时一个图是(g,f)-2-消去图的一个充要条件.     

图中具有推广的正交（g，f）-因子分解的子图

设G是一个图，具有顶点集V（G）和边集E（G）．设g和f是定义在V（G）上的整数值函数且对每个x∈y（G）有g（x）≤f（x）．本文证明了如下的结果：若G是一个（mg＋kr，mf-kr）一图，且对每个x∈V（G）有g（x）≥r-1，H和G的任意给定的有kr条边的子图，则G中含有一个子图R，使R有（g，f）-因子分解r-正交于H，其中m，k和r是正整数且k〈m.     

图中的最大分数(0,f)-因子

本语文给出了图的一个（０,ｆ）因子是最大因子的特征,并得到了一个图有（ｇ,ｆ）－因子的充分条件,从而了关于分数对集和１－因子的有关结果。     

图的联结数与分数κ-消去图

设G是一个图,若对于图G的任一条边e,G-e都存在一个分数k-因子,则称G是一个分数k-消去图.若k=2,则称分数k-消去图为分数2-消去图.本文证明了当bind（G）≥2,并且δ（G）≥3时,G是分数2-消去图.     

关于图是(g,f,n)-临界图的充分条件

设G是一个图. 设g和f是两个定义在V(G)上的整值函数使得对V(G)所有的顶点x有g(x)f(x). 图G被称为(g,f,n)-临界图,如果删去G的任意n个顶点后的子图都含有G的(g,f)-因子. 本文给出了图是(a,b,n)-临界图几个充分条件. 进一步指出这些条件是最佳的. 例如,如果对V(G)所有的顶点x和y都有g(x)＜f(x), n+g(x)dG(x)和g(x)/(dG(x)-n)f(y)/dG(y),则G是(g,f,n)-临界图.     

FRACTIONAL (g, f)-FACTORS OF GRAPHS

1 IntroductionThe graphs considered in this paper will be finite undirected graphs wllicll 11lay llavemultiple edges but no loops. Let G be a grapll with vertex set V(G) and edge set E(G). Fora vertex x of G, the degree of x in G is denoted by dG(z). Let g and f be two integer-valuedfunctions defined o11 V(G) such that 0 < g(z) 5 f(x) fOr all x E V(G). Then a (g, f)-factorof G is a spanning 8ubgraph F of G satisfying g(x) < dG(z) 5 f(x) for all x E V(F). Ifg(x) = f(x) for all x E V(…     

(g,f) -因子和可扩图

设G是一个图,并设g和f是定义在V(G)上的整值函数使得对所有的点x∈ V(G)均有g(x)≤ f(x).称一个图G是(g,f,H) -可扩的,如果在删除了任意一个同构于H的子图中所有点后,剩下G的子图有一个(g,f) -因子.该文给出了(g,f,H) -可扩图的特征.进一步,研究了(g,f,H) -可扩(H=nK₁)的性质.     

（mg,mf）—图中具有特殊性质的（g,f）—因子

本文给出了一类带有边连通度限制的（ｍｇ,ｍｆ）－图有一个（ｇ,ｆ）因子含任一给定的边且不含其它任意给定的ｍ－１条边的一个充分必要条件,并使（１）中结果成为本文定理的推论。     

关于一类(g,f)-3-覆盖图的判据

本文首先给出了(g,f)-3-覆盖图的定义,即一个图G称为(g,f)-3-覆盖图,如果G的任何三条边都属于它的一个(g,f)-因子；其次,黄光鑫曾先后给出了当g＜f时一个二部图分别是(g,f)-2-覆盖图和(g,f)-3-覆盖图的充分必要条件,在此基础上,本文进一步得到了,当g≤f时一个二部图G=(X,Y)是(g,f)-3-覆盖图的一个充分必要条件；最后,研究了f(X)=f(Y)的情形,得到了当f(X)=f(Y)时一个二部图G=(X,Y)是f-3-覆盖图的一个充分必要条件．     

(a,b,n)-临界图的几个充分条件

设G是一个图 .设g和f是两个定义在V(G)上的整值函数使得对V(G)所有顶点x有g(x) ≤f(x) .图G被称为 (g ,f,n) 临界图 ,如果删去G的任意n个顶点后的子图都含有G的 (g ,f) 因子 .本文给出了图是 (a ,b ,n) 临界图几个充分条件 ,即度和邻域条件 .进一步指出这些条件是最佳的 .     

On （g, f）-Uniform Graphs

A graph G is called a (g, f)-uniform graph if for each edge of G, there is a (g, f)-factor containing it and another (g, f)-factor excluding it. In this paper a necessary and sufficient condition for a graph to be a (g, f)-uniform graph is given and some applications of this condition are discussed. In particular, some simple sufficient conditions for a graph to be an [a, b]-uniform graph are obtained for a≤b.