层层剥求复合函数的单调区间

对于复合函数 y =f[g(x) ],可以分解成 y =f(u) ,u =g(x) ,我们称 y =f(u)为外层 ,u =g(x)为里层 ,u为中间变量 .求复合函数 y =f[g(x) ]的值域 ,即求外层 y的取值范围 ,无可非议从里到外进行 .求复合函数 y =f[g(x) ]的单调区间 ,即求里层中自变量x的取值范围 ,有很多试题仍选择从里到外进行 ,显得方便、易于叙述 ,但有时也会遇到麻烦 .下面略举两例 ,介绍一种从外到里的方法 ,故称之为层层剥 .预备知识　设函数 y =f(u)的定义域M ,u =g(x) 的定义域为N ,且当x∈ [a ,b]([a ,b] N)时u∈ [m ,n]([m ,n] M ) .若 y =f(u) ,u∈ [m ,n],u =g(…     

一类值得注意的函数——复合函数

如果y是u的函数,记为y=f(u),u又是x的函数,记为u=g(x),且g(x)的值域与f(u)的定义域的交集不空,则确定了一个y关于x的函数y=f[g(x)],这就是函数y=f(u)与u=g(x)的复合函数,而y=f(u)称为外函数,u=g(x)称为内函数.本文举例介绍复合函数问题的一些常见类型及解法. 1.求复台函数的定义域 关键是正确分析函数的复合层次,由里向外或由外向里逐层解决. 例1 已知f(x)的定义域为[0,1)若F(x)=f[log1/2(3-x)],则函数的定义域是     

关于一道题解的改正

设二函数 y =f(u)和u=φ(x) 的导函数 y′ =f′(u)与u′=φ′(x) 的定义域分别为D (f′)与D ( φ′) ,则复合函数 y=F(x) =f[φ(x) ]的导函数 dydx=F′(x) 的定义域为 :D(F′) ={x｜x∈D( φ′)且 φ(x)∈D( f′) }     

运用变量代换求函数的极限

本文介绍求极限的变量代换法则,尔后举例说明该方法的应用.定理(变量代换法则)设函数f[φ(X)]由f(u)及u=φ(x)复合而成,若(?)=a(或∞),且当X≠x_0时(?)(x)≠a,(?)f(u)=A(或∞),那末(?)f[(?)(x)]=(?)f(u)=A应当注意的是(?)f(u)不存在时,并不能断言(?)f[(?)(x)]也不存在.     

上期课外练习解答

高一年级1.(1)B≠φ时,-2√2相似文献   

关于复合函数的单调性

由函数y=f(u)和u=φ(x)构成的复合函数y=f[φ(x)],其单调性是对自变量x而言,学生感到十分棘手。由于对复合函数、单调函数理解得不深不透,他们或想当然地认为减函数与减函数复合还是减函数,或困惑不解,乱猜乱想。本文给出的充分条件,可以化繁为简,把复     

序轴法--复合函数单调区间的一种简捷求法

复合函数是高中数学中的一类重要函数 ,讨论复合函数的单调性 ,求出其单调区间是复合函数问题中的一类重要问题 .本文介绍一种求复合函数单调区间的简捷方法 ,供大家参考 .本文介绍的复合函数单调区间求法的理论依据是下面的定理 (判定定理 )　若 y =F1(x) ,u1=F2 (x) ,… ,un=Fn 1(x)都是单调函数 ,则 n次复合函数 y =F1{ F2 [… Fn 1(x) ]}在其定义域内也是单调函数 ,且它为增函数的充要条件是 y =F1(x) ,u1=F2 (x) ,… ,un =Fn 1(x)中减函数的个数为偶数 ;它为减函数的充要条件是y =F1(x) ,u1=F2 (x) ,… ,un=Fn 1(x)中减函数的个数…     

复合函数 f[φ(x)]图象的几何作法

函数是中学数学的重要概念之一,指导学生作好函数图象可以对函数的概念及其性质加强直观理解。中学课本上主要是用描点法来作图的,虽然二次函数和三角函数的图象也介绍了“平移法”。对于复合函数的图象如用描点法作图,常常先要讨论函数的性质,如定义域、单调性、奇偶生、周期性、极值等等,这就此较麻烦了。下面将介绍复合函数的几何作法。所谓复合函数就是:设Y=f(u),定义域为U,u= (x),其定义域为X,值域为U＇,若是UU＇,则称y为x的复合函数,记作y=f〔 (x)〕,其中u称为中间变量。中学课本上常见的函数,诸如y=lg(3x-1),y=sin(ωx+ ),y=1-x~2~(1/2)等等,就是复合函数。如果已知函数y=f(x)及y=(x)的图象,则用下列方法能作出y=f〔 (x)〕的图象。     

复合函数定义域的求法

1.复合函数的定义设u=g(x)是A到B的函数,y=f(u)是B′到C′上的函数,且BB′,当u取遍B中的元素时,y取遍C(CC′),那么y=f(g(x))就是A到C上的函数.此函数称为由外层函数y=f(x)和内层函数u=g(x)复合而成的复合函数,其中x称为直接变量,u称为中间变量,u的取值范围即为g(x)的值域.     

高中数学反函数问题综述

反函数是高中函数问题的重要组成部分 ,以它为知识的一个交汇点 ,上下串联、并联 ,可以把函数与方程 (包括曲线与方程 )的一些重要基础知识、基本技能、基本方法和基本应用联成一个“局域网” .1　反函数的存在条件1 函数y=f(x) (x∈D ,y∈M)存在反函数的充要条件为下述情形之一 :( 1 )确定该函数的映射f:D→M为D到M上的一一映射 ;( 2 ) x1 、x2 ∈D ,当x1 ≠x2 时 ,都有f(x1 )≠f(x2 ) (或只要f(x1 ) =f(x2 ) ,就有x1 =x2 ) ;( 3)y =f(x) (x∈D ,y∈M)的图象与直线l:y=a(a∈M)有且仅有一个公共点 .2 单调函数必存在反函数 .2　反函…     

复合函数的反函数

文[1]论证了在特定条件下函数y=f(x a)的反函数是y=f-1(x)-a,文[2]进一步推理出两函数y=f(ax b)与y=1af-1(x)-ba的图象关于直线y=x对称.顺势顿悟,本文来探索更一般的相关结论.定理1　如果内层函数u=g(x)使集合A到集合B上的映射既是单射*又是满射**,外层函数y=f(u)使集合B到集合     

2004年高考数学选择题中的闪光点解读

20 0 4年除了全国卷之外 ,有许多省市单独命题 ,从而形成百花齐放的氛围 ,在高考数学命题所呈现的多元数学文化中有许多闪光点 ,解读其中的数学思想与数学方法 ,对于我们认识课程改革的新理念会有一些新的认识 .1　在动态下理解函数的本质例 1　 (北京 )函数 f(x) =x ,x∈P ,-x ,x∈M ,其中P ,M为实数集R的两个非空子集 ,又规定 f(P) ={ y|y =f(x) ,x∈P} ,f(M ) ={y|y =f(x) ,x∈M} ,给出下列四个判断 :①P∩M = ,则 f(P)∩f(M ) = ;②若P∩M≠ ,则 f(P)∩ f(M )≠ ;③若P∪M =R ,则 f(P)∪f(M) =R ;④若P∪M≠R ,则 f(P)∪f(…     

“f(x)g(x)=of(x)=0或g(x)=0”对吗?——从一道错题谈起

首先看一道选择题:设全集为实数集R,M={x|f(x)=0},N={x|g(x)=0},那么集合P={x|f(x)g(x)=0}可表示为(A)M∩N;(B)M∪N;(C)M∪N;(D)M∪N.这是一道广为流传的题目.如1998年福州市高中毕业班质量检查卷(理科)第一题.参考答案都选(D).其实这是一道错题.例如,设f(x)=x2-1,g(x)=lg(x-1).则M={x|f(x)=0}={-1,1},N={x|g(x)=0}={2},M∪N={-1,1,2},但P={x|f(x)g(x)=0}={x|(x2-1)lg(x-1)=0}={2}≠M∪N.又如设f(x)=sinx,g(x)=cosx,M={x|f(x)=0}={x|x=kπ,k∈Z},N={x|g(x)=0}={x|cosx=0}={x|x=kπ π2,k∈Z}.M∪N={x|x=kπ或kπ π2,k∈Z}…     

Orlicz空间内第一类不适定积分方程的解

讨论由L~2[a,b]到Orlicz空间L_M~*[a,b]内第一类积分方程 integral from n=a to b(K(x,y)g(y)dy=f(x)) (1)f∈L_M~*[a,b]。这里K(x,y)满足 integral from n=a to b integral from n=a to b(|K(x,y)|~2dxdy〈∞) L_M~*[a,b]为N函数M(u)生成的Orlicz空间,并赋以Orlicz范数||·||_M;L_(N)~*[a,b]为M(u)的余N函数N(v)生成的Orlicz空间,赋以Luxemburg范数。     

关于如何使用好复合函数求导公式的探讨

复合函数的求导问题,历来是函数求导数中的一个难点.关于复合函数的求导法则,国内、国外的数学分析教材和高等数学版本都是这样叙述的:设y=f[（?）(x)]是由函数y=f(u)及u=（?）(x)复合而成的函数,若函数u=（?）(x)在点x处是可导的,y=f(u)在对应点y=（?）(x)处也可导,则复合函数y=f[（?）(x)]在点x处可导,且其导数为     

复合函数单调性的判定

在学习函数的过程中,经常会遇到y= f[g(x)]形式的函数,这样的函数叫复合函数． u=g(x)称为内函数,f(u)称为外函数．而判定复合函数的单调性是一个难点,下面通过例题说明如何判定复合函数的单调性．     

分段函数的复合函数

复合函数是高等数学中一个重要概念,在微分和积分学里都要用到它.所谓复合函数,是这样定义的:如果函数f(u)的定义域是F, 而函数u=g(x)的定义域是G,值域为U(?)F,那么对于G内每一个X,经过中间变量u,相应地得到唯一确定的一个y.即y经过中间变量.u而成为x的函数.这个函数称为复合函数,并记为y=f[g(x)].     

Bernoulli方程解法的启迪

众所周知 ,Bernoulli方程dydx=P( x) y +Q( x) yn( n≠ 0 ,1 ) ( 1 )是可用初等积分法求解的一类非线性方程 ,其解法是用函数变换 z=y1- n,则方程 ( 1 )就化为关于未知函数 z的一阶性方程dzdx=( 1 -n) P( x) z +( 1 -n) Q( x)上述解法启迪我们提出一般的问题 :非线性微分方程dydx=P( x) f ( y) +Q( x) g( y) ( 2 )经函数变换化的一阶线性微分方程的充要条件是什么 ?又方程 ( 2 )经函数变换化为 Bernoulli方程的充要条件是什么 ?其中 P( x) ,Q( x)和 f( y) ,g( y)都分别是 x和 y的连续函数 ,且它们都不为零。定理 1　方程 ( 2 )经未知函…     

数形结合解复合函数的零点个数的常见解法

<正>本文通过利用函数图像的方法研究复合函数y=g(f(x))的零点问题,即复合函数方程g(f(x))=0的根,令u=f(x)(内层方程),这样g(f(x))=0就转化成g(u)=0.当外层方程g(u)=0容易求解时,可以先解方程g(u)=0,再解内层方程u=f(x),这样方程的总个数即为复合函数y=g(f(x))的零点个数.     

函数轴对称问题初探

复合函数轴对称问题比较复杂 ,现行高中课本并未涉及 ,但复习考试题中经常遇到 ,学生感到困难 ,现就线性复合函数对称问题作初步探讨 .定理 1　若 y =f(x) 以x =b为对称轴 ,f(x) 是定义在R上的函数 ,则f(x) =f( 2b-x) (以下函数均定义在R上 ) .证　略 .定理 2　若 y =f(x) 以x =b为对称轴 ,k≠ 0 ,则 y =f(kx)以x =bk 为对称轴 ,反之亦然 .证　因为 y =f(x) 以x =b为其对称轴 ,f(x) 的图象到 f(kx)的图象纵坐标保持不变 ,则 f(kx)的横坐标缩小到 1k,f(kx)的对称轴的横坐标也缩小到1k,所以 f(kx)的对称轴为x =bk.定理 3　若 y =f(x) 关于直…