曲线对称性质选择题

(一)作以下替代,若f(x,y)=0不变,判断其图形的对称性质.1.以-x代x.2.以-y代y.3.以-x代x,同时以-y代y.4.以2a-x代x.5.以2b-y代y.6.以2a-x代x,同时以2b-y代y.7.将x与y互换.8.以-y代x,同时以-x代y.(二)曲线与曲线问的对称性9.曲线f(x,y)=0与曲线f(-x,y)=0.10.曲线f(x,y)=0与曲线f(x,-y)=0.     

浅谈曲线系方程的应用

设f(x,y)=0,g (x y)=0 是两曲线的方程,求证方程f(x y)+λg(x y)=0表示经过这两条曲线的交点的曲线。这是十年制学校高中第二册复习题六的第一题的第(4)小题它的正确性,我们已经证明,还可证明其逆命题也成立。我们把方程f(x,y)+λg(x,y)=0(λ为任何实数)叫做经过两曲线f(x,y)=0和g(x,y)=0的交点的曲线系方程。(不包括曲线g(x,y)=0) 直线系方程和圆系方程是曲线系方程的两个     

线段与圆锥曲线的公共点问题探讨

设线段P1P2的两个端点为P1(x1,y1),P2(x2,y2),圆锥曲线G的方程为f(x,y)=Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F=0.则直线P1P2的两点式参数方程为x=x1 λx21 λ,y=y1 λy21 λ其中λ为P(x,y)分有向线段P1P2所成的比,即P1P=λPP2代入f(x,y)=0,并整理化简可得f(x2,y2)λ2 H·λ f(x1,y1)=0(1)其中H=2Ax1x2 B(x1y2 x2y1) 2Cy1y2 D(x1 x2) E(y1 y2) 2F.当f(x2,y2)=0时,P2在曲线G上,方程(1)退化为关于λ的一次方程.当f(x2,y2)≠0时,方程(1)的两根λ1,λ2分别是曲线G与直线P1P2的交点分P1P2所成的比,此时,若f(x1,y1)=0,则P1在曲线G上,方程(1)有一根λ…     

二元一次绝对值方程构图的两个关键定理

在曲线、曲面方程f(x,y)=0、f(x,y,z)=0中,如果f的某些含有变量的部分上,带有绝对值符号,就称f=0为含有绝对值的曲线或曲面方程,简称绝对值方程.……     

曲线与其曲率圆

设一条曲线的方程为y=f(x).该曲线在点M(x_0,y_0)处的曲率圆在切点附近的一支曲线方程设为y=g(x),并设f(x)在x=x_0附近有三阶连续导数,且f″(x_0)≠0.将f(x)-g(x)在x=x_0处展开为二阶泰勒公式(注意到 f(x_0)=g(x_0),f′(x_0)=g′(x_0)及f″(x_o)=g″(x_0):     

极坐标系下曲线与方程

一、曲线的极坐标方程在平面极坐标系下,平面上一条曲线,可以用含有ρ和θ两个变数的方程F(ρ,θ)=0或ρ=f(θ)来表示。这种方程,叫做曲线的极坐标方程,而这条曲线就叫做这个极坐标方程的曲线。无论在什么坐标系下,曲线的方程或方程的曲线的意义都是一致的。也就是说,“曲线     

浅谈函数的性质与方程的解

函数是中学数学的重要内容之一。它与数学中其它知识有着密切的联系;本文就函数的性质与方程的解给读者介绍一些方法。一、利用函数的对称性例1 已知函数 y=f(x)满足 f(2+x)=f(2-x).试证:方程 f(x)=0的根成对出现;并且若这个方程有四个根,试求这四个根之和。分析:由于 f(2+x)=f(2-x),这说明函数 y=f(x)的对称轴为 x=2,即 f(x)=f(4-x)∴当 x_0是方程 f(x)=0的一个根,同时4-x_0亦一定是 f(x)=0的根,故方程 f(x)=0     

一类直线方程求法的探讨及应用

在圆锥曲线中,已知弦的定比分点,求弦所在直线的方程常见解法是利用直线的参数方程及参数的几何意义求解.当分点为弦的中点时,求弦所在直线的方程还有设所求直线斜率为k利用韦达定理及中点条件求出k值或者利用差换法求斜率等方法.这些解法运算量较大,不如下面两种解法简便。一、对称曲线作差法二次曲线f(x,y)=0中,以已知点M(x_0,y_0)为中点的弦如果存在,则弦所在直线的方程为f(x,y)-f(2x_0-x,2y_0-y)=0(*) 证明:设圆锥曲线的方程为f(x,y)=0,M(x_0,y_0)为已知点,如果曲线f(x,y)=0和     

五个对称结论及应用

对称是高中数学的一个重要内容,分为中心对称和轴对称两大类型,最常见对称有,关于原点、x轴、y轴,直线y=x、直线y=-x等五种,设点P(x,y)或曲线F(x,y)=0,则有以下结论:1.关于x轴对称时,P(x,y)的对称点为P’(x,-y),曲线F(x,y)的对称方程为F’(x,-y)=0,其特点是"纵变,横不变".     

曲线绕极点的旋转

在极坐标系中,曲线f(ρ,θ-α)=0(α为定值)可以看成是曲线f(ρ,θ)=0绕极点旋转α后,在新位置下的曲线。事实上,我们设极坐标系为OX中M′(ρ′,θ′)是曲线f(ρ,θ)=0上任意一点,并设M(ρ,θ)为其对应点。且使     

Lienard方程的无穷远奇点和极限环

本文利用文中关于Lienard方程x+f(x)x+g(x)=0.的极限环的存在性,这里f(x),g(x)为多项式,给出了直接利用多项式的系数就可以判断某些Lienard方程存在或不存在极限环的条件。 在无穷远奇点的特性进一步研究它的极限环的存在性,这里f(x),g(x)为多项式,给出了直接利用多项式的系数就可以判断某些Lienard方程存在或不存在极限环的条件。     

f(x_0,y_0)的几何意义及应用

设曲线L的方程为f(x,y)=Ax~2+Cy~2+Dx+Ey+F=0,与点P(x_0,y_0)不在曲线L上时,有f(x_0,y_0)=m≠0。本文研究m的几何意义,然后指出其在解题中的应用。 1 f(x,y)=Dx+Ey+F 定理l 设点P(x_0,y_0)到直线L:f(x,y)=0的距离为d,则|f(x_0,y_0)|=d·(D~2+E~2)~(1/2)。此定理的正确性明显,证明从略。     

关于极坐标方程等价变形的一个问题

在曲线的极坐标方程的变形中,常常要施行方程两边同乘以或同除以ρ的运算。为了保证这类变形的等价性,我们给出下面的定理。定理设曲线c_1;f(ρ,θ)=0,c_2:ρf(ρ,θ)=0,如果c_1过极点,则f(ρ,θ)=0与ρf(ρ,θ)=0等价。     

关于近于凸函数类的一个扩展

设f(z)在单位圆盘D={|z|<1}上解析且f(0)=f′(0)-1=0,记所有满足上述条件的f(z)所成集合为A.对α∈[0,1],令 P(α)={p(z)|p(z)在D中解析且P(0)=1,Rep(z)>α,z∈D}, C={f(z)|f(z)∈A且存在φ(z)∈K(0)使Re(f′(z)/φ′(z)>0,z∈D}。     

例析求曲线切线的两种提法

在人教版B版书选修2-2第11项有这样的一段话:“由导数的几何意义可知,曲线y=f(x)过点(x0,f(x0))的切线的斜率等于f′(x0)”.由此段话可知,过点P(x0,f(x0))的切线只有一条,真的是这样吗?我们不妨举例分析一下:例1过点P(1,1)作曲线y=x3的切线,求此切线方程.错解:由于P(1,1)在曲线y=x3上,则P(1,1)就是切点.易求得斜率k=f′(1)=3,从而切线方程为y=3x-2.分析上述解法漏解了.尽管P(1,1)在曲线上,但是切点是否只有一个,即过点P作切线是否只有一条,答案是不一定的.我们应该设出切点Q(x0,y0),则y0=x03,由y′=3x2得斜率k=3x02,从而切线方程为y-y0=…     

用Bcklund变换确定神经传导反应扩散方程的显示精确行波解

文献[1]讨论了反应扩散方程的形如u(x_1,t)=q(x-ct)的行波解.令ξ=x-ct,给出该方程的BackIund变换为q_x=p(q),q_t=-cp(q).显然,p=p(q)∈C~1[0,1]∩C~2(0,1)应满足p((dp)/(dq) c)=-f(q).若c=0,则p=±(-2∫_0~(q(ξ))f(τ)dτ)~(1/2);若c≠0,则必须从方程(dp)/(dq)=-c-f(q)/p,p(0)=p(1)=0,p(q)>0,q∈(0,1)出发寻求传播较快的行波.如果p和f分别为次数m和n的多项式,那么n=2m-1.在m=1和2情形下求得的传播速度与生物物理学家用实验     

关于两类函数图象的对称性问题

奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,以及函数y=f(x)和y=-f(x),y=f(-x)及y=-f(-x)的图象分别关于x轴对称,y轴对称和原点对称,这些都是显为人知的,但对另一些有关对称性的问题,如;函数y=f(x),若对于定义域内的任-x,都有f(m x)=f(n-x),其图象的对称性如何? (问题1)以及函致y=f(m x)与y=f(n-x)其图象的对称性又如何?(问题2)有些人恐怕就不大清楚了,本文想对此两类函数图象的对称性问题谈一些浅见。     

把直角坐标方程化为极坐标方程的等价问题

在直角坐标系中,点与坐标是一一对应的。若方程F_1(x,y)=0与方程F_2(x,y)=0同解时,这两个方程就表示同一曲线;反之,表示同一曲线的两个方程也必同解。但在极坐标系中,一个点对应无数个坐标((-1)~kρ,kπ θ),其中k∈Z。方程f_1(ρ,θ)=0与f_2(ρ,θ)=0若同解就表示同一曲线,但表示同一曲线的两个方程却不一定同解。如方程ρ=θ与p=2π θ表示同一曲线,但方程并不同解。我们在极坐标中把表示同一曲线的方程称为等价方程。显然所有的同解方程都是等价方程。     

新题征展(72)

A题组新编1.下列条件对于函数f(x)定义域中的每一个x都成立,其中(a≠0,k≠0,a,b,k∈R):(1)条件1f(x)-f(-x)=0;条件2f(a x)=f(a-x);条件3f(kx b)=f(-kx-b);条件4f(x)=(x-a)0.其中判断函数f(x)是偶函数的条件是.(2)条件1f(a x)=f(a-x);2f(x)=f(2a-x);3f(3a-x)=f(x-a);4f(x)=(x-a)     

高次方程有有理根的一个必要条件

求整系数方程的有理根,一般根据相应的多项式的首末项系数的因数利用综合除法求出。当首末项系数的因数较多时,逐一地去检验这些因数组成的有理数是不是该方程的根,的确不是一件容易的事,本文在一般方法基础上提出一个必要条件,利用这个必要条件可以大大缩小检验的范围,从而使求有理根的过程大大缩减。必要条件:如果有理数g/p((p,p)=1)是整系数方程 f(x)=a_0x~n a_1x~(n-1) … a_(n≡1)x a_n~i=0 (1)的根,则p-q必为系数和sum from i=0 to a a_i的因数。证明设有理数q/p为方程(1)的根,则f(x)被px-q整除,则f(x)可写成 f(x)=(px-q)f_1(x)。