利用等差数列的性质解题几例

等差数列有不少性质,现列举如下: 一、设{a,},{b。}是等差数列,则{a。+b。}也是等差数列. 二、设{a,}是等差数列,。为常数,则{ca,}也是等差数列. 三、设{a。}是等差数列,c为常数,则{a。+好也是等差数列. 四、设{a。}是等差数列,如果项数号码P,q,:,:,…成等差数列,则。,,a。,。r,a,,…也成等差数列. 以上性质皆不难证明,仅就性质四为例来证明。 设等差数列通a,}的公差为d,取新数列a,,a。,a,一中的任意相邻两项“‘,a,, az一a、=〔a;+(j一1)d)一〔a:+(‘一l)d〕 =(j一f)d. ,.’p,q,:…i,j,…成等差数列,+abc也成等差数差列,各项都减去abc,则 …     

证明三数成等差(或等比)数列方法新探

笔者在文[1]中证明了: 定理1 若不相等的三数α、β、γ成等差数列,且x-y/α-β=y-z/α-β。则x、y、z也成等差数列。从而对“已知三数成等差数列,求证另外三数也成等差数列”问题,给出了一种新的证明方法。     

等差数列的一个有趣的性质

我们知道,如果a_1,a_2,a_3成等差数列,由等差数列的定义,就有:a_2-a_1=a_3-a_1由此可得a_1-2a_2 a_3=0 (A) 如果a_1,a_2,a_3,a_4成等差数列,应用上面的结论,对这个数列的前三项有a_1-2a_2 a_3=0 (1)而对它的后三项又有a_2-2a_3 a_4=0 (2)将(1)减去(2),便得     

等差与等比数列的一个性质

等差数列与等比数列各自有一个“相似”的性质,如下: 定理1 若x0,x1,x2,…,xn,xn 1,均为实数,且成等差数列,则有(1/n)(∑|n)xi=(x0 xn 1/2)．     

巧设公差解题

巧设公差解题江昶（河北承德民族师范学校０６７０００）有不少数学问题，看上去似乎与等差数列毫无关系，其实不然．这时只要我们注意发现并利用题目中蕴含的等差数列条件，通过巧设公差，就能获取简捷的解题途径，兹举例说明如下．一、解无理方程例１解方程解成等差数列...     

用函数观点证明等差数列中两个结论

等差数列是中学教材中出现的两种特殊的数列之一,其中有两个重要的结论:(1)已知{an}成等差数列,当am=n,an=m时,则有am+n=0;(2)已知{an}成等差数列,当sm=n,Sn=m时,则有Sm+n=-(m+n).对于上述两个重要的结论,可用列方程来证明,运算过程较烦,若用函数的观点分析证     

C_n~(k-1),C_n~k,C_n~(k 1)成等差数列的充要条件——一道课本复习题的探究

“已知（１＋ｘ）ｎ的展开式中第９项、第１０项、第１１项的二项式系数成等差数列,求ｎ．”——这是高级中学课本《代数》下册（必修）复习参考题九的第１４（３）题,其实质是求一切自然数ｎ,使得Ｃ８ｎ,Ｃ９ｎ,Ｃ１０ｎ成等差数列,其结果为ｎ＝１４或ｎ＝２３．因此,Ｃ８１４,Ｃ９１４,Ｃ１０１４（或Ｃ４１４,Ｃ５１４,Ｃ６１４）成等差数列,Ｃ８２３,Ｃ９２３,Ｃ１０２３（或Ｃ１３２３,Ｃ１４２３,Ｃ１５２３）成等差数列．另外,通过杨辉三角,我们容易知道Ｃ１７,Ｃ２７,Ｃ３７（或Ｃ４７,Ｃ５７,Ｃ６７）也成等…     

用行列式证三数成等差数列

定理如果a_1、b_1、c_1、三数成等差数列(a_1、b_1、c_1为互不相等的三数),那么a_2、b_2、c_2三数成等差数列的充要条件是证明 (充分性):设a_1、b_1、c_1三数成等差数列的公差为d,则b_1-a_1=d=c_1-b_1,c_1-a_1=2d。     

边长为等差数列的三角形的一组性质

98年高考试题 (理工 )第 2 0题为 :在△ ABC中 ,a、b、c分别是角 A、B、C的对边 ,设a c=2 b,A - C =π3,求 sin B的值 .此题的条件中出现有 a c=2 b,即三边成等差数列 .本文介绍三边成等差数列的三角形的一系列性质 .在△ ABC中 ,若 a c=2 b,则有(1 ) sin A - 2 sin B sin     

等差数列的m阶前n项和及应用

一个数列从第二项起,各项与其前一项的差所成数列,称原数列的一阶差数列。仿此可得原数列的二阶差数列,……;若第r阶差数列为非零常数列,则原数列称r阶等差数列。二阶以上的等差数列称高阶等差数列。本文讨论等差数列与高阶等差数列的一个有趣的联系,并举例说明其应用。设数列{a_n}为等差数列,公差为d。考察它的前n项和:     

由一道课本习题想到的

<正>由人民教育出版社出版的A版必修五第61页有这样一道题目:已知S_n是等比数列{a_n}的前n项和,S₃,S₉,S₆,成等差数列.求证:a₂,a₈,a₅成等差数列.     

等比数列中等距离三项成等差数列的充要条件

普通高中课程标准实验教科书《数学必修5》第61页A组第6题： 已知S n是公比q≠1的等比数列{a n}的前n项和,S3,S9,S6是等差数列,求证a2,a8,a5成等差数列.由这道习题,可以得到等比数列{a n}中三项成等差数列的一个性质：     

等比数列中等距离三项成等差数列的充要条件

<正>普通高中课程标准实验教科书《数学必修5》第61页A组第6题:已知S n是公比q≠1的等比数列{a n}的前n项和,S3,S9,S6是等差数列,求证a2,a8,a5成等差数列.由这道习题,可以得到等比数列{a n}中三项成等差数列的一个性质:设等比数列{a n}的公比q≠1,其前n项     

一道调考题的解法及推广

湖北省八市2007年高三三月调考数学试卷（理科）第10题：已知数列{an}为等差数列，从集合A={a1，a2，…，a20}中取出3个不同的数，使这3个数成等差数列，则不同的等差数列共有（ ）     

也谈一道调研题的解法及推广

湖北省八市2007年三月调研数学试卷（理科）第10题：已知数列{an}为等差数列，从集合A={a1，a2，a3，…，a20}中取出3个不同的数，使这3个数成等差数列，则不同的等差数列共有     

一道调考题的解法及推广

湖北省八市2007年高三三月调考数学试卷(理科)第10题:已知数列{an}为等差数列,从集合A={a1,a2,…,a20}中取出3个不同的数,使这3个数成等差数列,则不同的等差数列共有()(A)90个.(B)120个.(C)180个.(D)200个.[解法1]分类讨论设数列{an}的公差为d,由集合中元素的互异性知d≠0,所取出的公差为d的等差数列是由a1,a2,a3的各项分别加上0,d,2d,…,17d构成的,共有18个,同样可知公差为2d,3d,…,9d的等差数列分别有16,14,…,2个,又每个公差为kd(1≤k≤9,k∈N*)的等差数列都对应一个公差为-kd的等差数列,故不同的等差数列共有2(2 4 … 18)=180个.选(C…     

等差中项的妙用

<正>若a,b,c成等差数列,那么b叫a,c的等差中项.任何两个实数都有唯一的等差中项.由b-a=c-b有b=a+c/2,b=a+c/2是a,b,c三个数按这个顺序排列成等差数列的充要条件.这个貌不惊人的概念,在解题中往往能起到四两拨千斤的神奇效果.下面就此问题做一肤浅探讨,以期达到抛砖引玉.1.解数列问题     

关于素数等差数列的一组结论

文[1]讨论了三个素数成等差数列的问题,给出了三个素数a,a+d,a+2d成等差数列的三个猜想.猜想1设三个数a,a+d,a+2d构成一个等差数列,其中a和d都是正整数.当d是奇数时,不论a取何值,a,a+d,a+2d不可能都是素数.猜想2设三个数a,a+d,a+2d构成一个     

严格一道课本习题

教材数列中有这样一道习题:已知a~2,b~2,c~2成等差数列。求证1/(b c),1/(c a),1/(a b)也成等差数列。严格地说,这条命题不真,它忽略了|a|=|b|=|c|时,分式1/(b c)等可能无意义。弥补的办法是加以限制条件:(a b)(b c)(c a)≠0。这时,关于它的证明也严格了。 a~2、b~2、c~2成等差数列(?)b~2-a~2=c~2-b~2 (?)(b-a)(b a)=(c-b)(c b)(其中a b,c d(?)0)(?)(b-a)/(b c)=(c-b)/(b a)①有1/(c a)-1/(b c)=1/(c a)·1/(b c)     

等差数列的又一个有趣性质

在文 [1]中介绍并证明了———等差数列的一个有趣性质 :性质Ａ　若ａ1,ａ2 ,ａ3 ,… ,ａｎ,ａｎ 1成等差数列(2≤ｎ∈Ｎ) ,则有恒等式Ｃ0 ｎａ1-Ｃ1ｎａ2 Ｃ2 ｎａ3 -… (- 1) ｋＣｋｎａｋ 1 … (- 1) ｎ - 1Ｃｎ - 1ｎ ａｎ (- 1) ｎＣｎｎａｎ 1=0 .显然 ,性质Ａ对含有 (ｎ 1)项的等差数列都成立 (2≤ｎ∈Ｎ) .此外 ,我们还发现了酷似性质Ａ的———等差数列的又一个有趣性质 :性质Ｂ　若Ｓｎ 是等差数列 {ａｎ}的前ｎ项和 ,则当 3≤ｎ∈Ｎ时 ,恒有等式Ｃ1ｎＳ1-Ｃ2 ｎＳ2 Ｃ3 ｎＳ3 -… (- 1) ｋ- 1ＣｋｎＳｋ … (- …