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现行初三《几何》教科书 (人教版 )P79有一道例题 :例 1 如图 ( 1 ) .AD是△ABC的高 ,AE是△ABC的外接圆直径 .求证 :AB·AC =AE·AD .证明 :连结BE .∵∠ADC =∠ABE =90° , ∠C =∠E ,∴△ABE∽△ADC .∴ AEAC=ABAD.∴AB·AC =AE·AD .此题揭示了三角形的一条重要性质 :三角形的两边的积等于第三边的高与其外接圆直径的积 .它为我们提供了一个很好的研究素材 .将其引申推广如下 :如果D点在线段BC上 ,点E在BC上运动 ,但仍保持∠BAE =∠DAC ,那么在这运动过程中△ABE与△ADC相似仍成立 .于是 ,仍有 :AB·AC… 相似文献
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题目(衢州市2004年中考压轴题)如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的顶点坐标分别为A(0,3),B(-2,0),C(m,0),其中m>0,以OB,OC为直径的圆分别交AB于点E,交AC于点F,连结EF.(1)求证:△AFE∽△ABC.(2)是否存在m的值,使得△AFE的等腰三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.(3)观察当点C在x轴上移动时,点F移动变化的情况,试求点C1(3,0)移动到点C2(33,0)时,点F移动的行程.解(1)证明:易证AO是两圆内的公切线,∴AO2=AE·AB=AF·AC,∴AEAF=ACAB,又∠FAE=∠BAC∴△AFE∽△ABC.(2)∵△AFE∽△ABC.∴AFAB=AEAC=FE… 相似文献
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<正>一、动手操作如图,将正方形纸片ABCD折叠,使点B落在CD边上一点E(不与点C、D重合),AB的对应边为FE,且FE交边AD于点G,压平后得到折痕MN.二、探究发现:∠GBE的值不变,为45°证明由折叠知:BN=NE,∠ABC=∠FEN=∠A=∠C=90°.连接BE.设∠NBE=∠NEB=α.则∠ENC=2α,∠BEC=90°-α,∠FEB=90°-α.∴∠BEC=∠FEB=90°-α.过点B作BQ⊥FE交FE于点Q.在△BEC与△BEQ中,BE=BE,∠BEC=∠FEB, 相似文献
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<正>本文介绍用构造全等三角形的"方法"解决与图形有关的计算、求值、判断推理等问题.一、构造全等三角形"证明等边等角".例1如图1,在△ABC中,∠B=2∠C,BC=2AB,AD为中线.求证:△ABD是等边三角形.分析与思考如图1,作∠ABC的平分线BE,连接DE.因为∠B=2∠C,于是∠EBD=∠C.由"等角对等边"得知BE=CE.但AD为中线,所以BD=CD.所以在△BDE与△CDE中,BE=CE,BD=CD,ED=ED,所以△BDE≌△CDE.这样∠BDE=∠CDE=90°.在△BAE与△BDE 相似文献
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三角形的Brocard点的两个特征性质 总被引:1,自引:1,他引:0
设Ω为△ ABC内一点 ,若∠ BAΩ =∠ CBΩ =∠ ACΩ ω(如图 1 ) ,则称Ω为△ ABC的 Brocard点 ,ω为图 1△ ABC的 Brocard角 .名著 [1 ]记载了三角形的Brocard点与其 Brocard角的一系列性质 .本文旨在揭示三角形的 Brocard点的两个特征性质 .下面的讨论中 ,a、b、c、△分别表示△ ABC的三边长和面积 .定理 1 设 D、E、F分别为△ ABC的三边 BC、CA、AB上的点 ,则 AD、BE、CF三线共点于△ ABC的 Brocard点的充分必要条件是 BDDC=c2a2 ,CEEA=a2b2 ,AFFB=b2c2 .证明 (必要性 )设 AD、BE、CF三线共点于△ ABC… 相似文献
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比例式和等积式问题 ,内容丰富 ,形式活泼 .其中线段成比例问题是几何证明题中常见的问题之一 ,它在初中升学考试中占有较大的比重 .下面就解决比例式和等积式问题的方法作如下归纳 ,供大家参考 .方法一、利用相似三角形的对应边成比例来证明1 .所证成比例问题的四条线段分布在两个三角形中 ,直接证明所在的两个三角形相似 .例 1 已知 :如图 ,PBA是⊙O的割线 ,PC是⊙O的切线 ,C为切点 ,过点A引AD∥PC ,交⊙O于点D ,连结CD ,BD ,CA .求证 :CD·CA =PA·BD .分析 :要证明CD·CA =PA·BD ,就得找出线段CD ,CA ,PA ,BD在哪两… 相似文献
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射影定理,如图1,在△ABC中,∠ACB=Rt∠,CD⊥AB,则, (1)∠1=∠B=90°-∠A;(2)△ACD∽△ABC;(3)AC~2=AD·AD……联想:如图2,任意△ABC,如果∠1=∠B,是否有△ACD∽△ABC,AC~2=AD·AB? 很容易证明结论是成立的。 相似文献
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圆内接三角形的一个性质 总被引:1,自引:0,他引:1
设I为△ABC的内心,射线A I、B I、C I与△ABC的外接圆分别交于点D、E、F,EF与AD交于点P,DF与BE交于点M、DE与CF交于点N,则I是△PMN的内心.图1证明连结AF(如图1),∵∠1=∠4,∠2=∠5,∴∠1 ∠2 ∠3=∠4 ∠5 ∠3.∵内心是三角形三条内角平分线的交点,∴∠4 ∠5 ∠3=90°即∠1 ∠2 相似文献
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众所周知,设P是△ABC内一点,若∠PAB=∠PBC=∠PCA=φ,则点P称作△ABC的布洛卡点.其中φ称为△ABC的布洛卡角.
用类比的视角,若将上述概念中的∠PAB=∠PBC=∠PCA=φ,置换成线段长,即分别在△ABC的三边AB,BC,CA上取点D,E,F,使得AD=BE=CF=t,则CD,BF,AE是否可能共交于一点S?
笔者经过初步探究,得出了如下结果. 相似文献
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比例式和等积式问题 ,内容丰富 ,形式活泼 ,其中线段成比例问题是几何证明题中常见的问题之一 ,它在初中升学考试中占有较大的比重 .下面就解决比例式和等积式问题的方法作如下归纳 ,供大家参考 .方法一 利用相似三角形的对应边成比例来证明1.所证比例的四条线段分布在两个三角形中 ,直接证明所在的两个三角形相似例 1 已知 :如图 ,在△ABC的外接圆中 ,D ,E分别是AB ,AC的中点 ,弦DE交AB ,AC于F ,G .求证 :AFEG=DFAG.分析 :要证 AFEG =DFAG,先观察AF ,EG ,DF ,AG四条线段是否在两个三角形中 .为… 相似文献
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我在做关于三角形“四心”的题目时 ,由一本竞赛书上的一道例题受到启发 ,从中归纳并证明了一个有用性质 .我发现使用该性质可简便地解决一批比较复杂的竞赛题 .在此 ,将该性质及其证明介绍给大家 ,并举几例对之加以证明 . 定理 对于任意三角形ABC ,H为其垂心 ,都有AH =2R·|cosA| =a·|cosA|sinABH =2R·|cosB| =b·|cosB|sinBCH =2R·|cosC| =c·|cosC|sinC证明 (1)若△ABC为锐角△ (如图 1) .设AD、BE、CF分别为△ABC中三边上的高线 .易证 △AHE∽△ACD .∴ AHAC=AEAD.∴ AH =AE·ACAD =AE·ACAD=AE… 相似文献
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垂足三角形内切圆半径之间的一个不等式 总被引:1,自引:1,他引:0
定理 若△ DEF是锐角△ ABC的垂足三角形 ,且 BC =a,CA =b,AB =c,△ AEF、△ BDF、△ CDE的内切圆分别为⊙ IA、⊙ IB、⊙ IC,其半径依次为 r A、r B、r C,则有ar A+br B+cr C≥ 12 3.证明 ∵ BE⊥ AC,CF⊥ AB,∴ ∠ BEC =∠ CFB =90°.又∵ E、F在 BC的同侧 ,∴ B、C、E、F四点共圆 ,∴ ∠ AEF =∠ B,∠ AFE =∠ C, △ AEF∽△ ABC, EFBC=AEAB.在 Rt△ ABE中 ,cos A =AEAB,∴ EFBC=cos A,即 EF =a cos A.同理 DF =b cos B,DE =c cos C.连结 IAE、IAF,作 IAG⊥ EF… 相似文献
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性质1如图1,在锐角△ABC中,AB>AC>BC,点O、H分别是三角形的外心和垂心,则∠OAH+∠OCH=∠OBH.证明延长AH、BH、CH分别交BC、AC、AB于点D、E、F,∵点H是△ABC的垂心,显然AD、BE、CF是△ABC的三条高,于是易证B、C、E、F四点共圆, 相似文献