纠正一个错误

中师数学人教社教材《几何 (一 )》第 1 2 0页第 1题是这样的 :有两个面平行 ,其余各面都是平行四边形的多面体是不是棱柱 ,为什么 ?有些学生的解答 :“是 .因为平行四边形的对边互相平行 ,所以这个多面体有两个面互相平行 ,其余每相邻两个面的公共边互相平行 .”其实 ,上述答案是错误的 ,其理由中“‘对边平行’就有‘公共边互相平行’”也不是正确的推理 .而且这种错误在有些教师的教学中及某些书上也发生过 .为了纠正这一错误 ,本文构造一类反例图形 .构造步骤如下 :图 1(1 )取一个正六棱柱 ABCDEF -A1B1C1D1E1F1(图 1 ) ;(2 )在平…     

关于多面体的几个错误结论

下列几个例题所示的多面体容易被学生搞错．现在剖析如下：错例1有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．     

立几中补形法证题举例

“补形法”是把较复杂几何体向外延伸或补加,构成简单几何体。课本中不仅贯穿将复杂问题归结为简单问题的基本思想,而且较系统地给出补形方法。如在求斜棱柱侧面积时,是把斜棱柱的直截面下面部分,“补形”到上方组成直棱柱,在求圆台侧面积时,是把圆台侧面展开图,“补形”成圆锥侧面展开图。在求三棱锥体积时,是把它“补形”成一个三棱柱,然后再把这个三棱柱“割成”三个等积的三棱锥。在     

棱柱伪定义经典反例的向量表示

<正>众所周知,“有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱”,这是教材中给出的棱柱定义.而在数学史上棱柱定义有一个逐步完善的过程,其中反例起到了重要作用.对于颇具迷惑性的棱柱伪定义“有两个面为平行平面上的全等多边形、其余面均为平行四边形的凸多面体叫棱柱”,数学家波利亚曾给出经典反例^[1];本文从向量表示动点轨迹的视角阐明该经典反例的形成过程.     

一道立体几何习题的引伸

统编教材《立体几何》习题八中有这样一道题 ,求证 :平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得截面是平行四边形 .此题易用直线与平面平行的性质证明 .下面通过此题的演变发现其与一道数学竞赛题的联系 ,从中领悟基础与能力、课内与课外的关系如何处理 .图 1　例 1图例 1　四面体ＡＢＣＤ中 ,已知对棱ＡＢ ,ＣＤ的长分别为ａ ,ｂ,ＡＢ ,ＣＤ所成角为θ ,截面ＥＦＧＨ平行于对棱ＡＢ和ＣＤ(Ｅ ,Ｆ ,Ｇ ,Ｈ在其它四条棱上 ) .1)试求截面在什么位置时面积最大 ?2 )求截面周长的取值范围 .(如图 1)1)解法 1　由习题知截面ＥＦＧＨ为平行四边…     

对一个反例的订正

对一个反例的订正２７４７００山东郓城实验中学于加月多年来常见如图１的一个长方体和一个斜四棱柱组成的多面体作反例，说明棱柱Ｕ概念不能简化为“有两个面互相平行，其余ｇ面都是平行四边形的几何体叫做棱柱”，其９这个反例有些失当，因为它是四多面体．因为棱柱的概...     

着眼一个截面 探讨一组性质

如图１,在已知三棱锥Ｓ—ＡＢＣ中,截面ＥＦＧＨ平行于它的一组对棱ＳＡ和ＢＣ．下面探讨截面ＥＦＧＨ的一组性质,供教学时参考．性质１　（截面形状）截面是平行四边形的充要条件是截面平行于三棱锥的一组对棱．事实上,给三棱锥Ｓ—ＡＢＣ附加一些定量或定性条件,会引起截面形状的变化．如：①ＳＡ＝ＢＣ且Ｈ是ＳＢ的中点　截面是菱形．②ＳＡ⊥ＢＣ,ＳＡ≠ＢＣ且Ｈ是ＳＢ的中点　截面是矩形．③ＳＡ⊥ＢＣ,ＳＡ＝ＢＣ且Ｈ是ＳＢ的中点　截面是正方形．性质２　（截面周长）在已知三棱锥Ｓ—ＡＢＣ中,ＳＡ＝ａ,ＢＣ＝ｂ,Ｓ…     

77 棱柱定义的发现学习

［课前准备工作上课的一周前，发给每一个学生如图1、图2所示的展开图（比例尺为5：1），让学生折成两个封闭的几何体．折成后的几何体如图3、图4，这既是让学生动动手；也是为打开他们的思路与想象，预备了两个可能用得上的反倒模型．］1这就是棱柱上课了，教师随即演示如图5的各个棱柱的正例（至少演示三个）；并明确地说“这就是棱柱！”让学生仔细观察后，教师设问：T：我们所演示的几何模型的共同的本质属性是什么？即应怎样定义棱柱？S1：（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．（这…     

对三棱锥的一个截面的探讨

现行高级中学课本《立体几何》（必修本）P62，有这样一道题求证：平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形．这是一道看似平淡无奇、实则回味无穷的好题．如图I，利用线面平行的性质不准证明．本文拟对截面EFGH作点探讨，得到一些饶有趣味的命题，并例析此截面的广泛应用．IM面特殊化由截面＊＊CH平行移动而得命gi（l）当E为AB中点，且SA一BC时，截面EFGH是菱形；（2）当SA上BC时，截面EFGH是矩形；（3）当E为AB中点，SA—BC，SA上BC时，截面EFGH是正方形．对棱SA、BC的长H相对位置已定，则有命…     

立体几何中一些截面图的作法

在立体几何的学习中,会遇到由所给条件进行已知棱柱、棱锥等几何体的一些截面的作图问题。对于其中一部分问题当然是十分容易的。例如已知一个三棱锥,在三条棱上分别有已知三点A、B、C(见图1),要作出过A、B、C三点的截面,我们只要连结AB,BC,CA得到三角形ABC平面就是所要求的截面。但在某些时候,只要稍不留神,就会作错。例     

多面体和旋转体

一、判断下列命题的正误(对的在括号内填 .了,,不对的城.x’) 1.有两个侧面垂直于底面的四棱柱是直四棱柱.,() 2.底面是正多边形的梭锥是正棱锥.() 3.有两个面是三角形且互相平行.汀臼J妻余点个面都是梯形的五面体是三棱台.() 4.圆锥侧面展开图扇形的半径等于圆锥底面半径.():5     

一道立几习题的引伸与应用

求证:平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得截面是平行四边形.在指导学生复习的过程中,我将此题进行了一些引伸与应用,这里设三棱锥为 A—BCD,截面为     

斜截三棱柱的一个体积公式

用与底面不平行的平面去截三棱柱,截面与底面间的几何体,称之为斜截三棱柱.如图1的斜截三棱柱记作斜截三棱柱ＥＦＡＢＣＤ,并约定平面ＡＢＣＤ为底面,ＥＦ到底面ＡＢＣＤ的距离为高.引理　设三棱柱的一个侧面面积为Ｓ,与相对侧棱之间的距离为ｈ,则三棱柱的体积为Ｖ=12Ｓ·ｈ.该引理的证明见文[1],从略.定理　设斜截三棱柱ＥＦＡＢＣＤ中,ＥＦＡＢ=λ,ＤＣＡＢ=ｍ,底面ＡＢＣＤ的面积为Ｓ,ＥＦ与面ＡＢＣＤ的距离为ｈ(如图2),则斜截三棱柱的体积为Ｖ=图2　定理图ｍ λ 13(ｍ 1)Ｓ·ｈ.证　如图2,过Ｆ作面ＦＭＮ∥面ＡＤＥ,由引理知ＶＡＤＥＭ…     

梯形的判定与中位线定理(上)

<正>一个四边形中如果有一组对边平行,这个四边形叫做(广义)梯形.显然,广义梯形包含平行四边形.一个四边形中如果一组对边平行,另一组对边不平行,这个四边形叫做(狭义)梯形.显然,狭义梯形不包含平行四边形.梯形中位线定理梯形两腰中点的连线(中位线)平行于底边且等于两底和的一半.     

争鸣

问　题问题 1 9　 在高中立体几何中正棱锥的定义是 :“底面是正多边形 ,顶点在底面上的射影为正多边形的中心” .若将一个正三棱锥的侧面为底面 ,那么此棱锥是否为正三棱锥 .[观点 1 ]　是正三棱锥 ,因为一个正三棱锥不会因它怎样放置而发生变化 ,无论怎样放都是正三棱锥 .[观点 2 ]　不是正三棱柱 ,因为不符合正三棱锥的定义 .问题 2 0　 高一新教材Ｐ95页中 ,“平行向量”与“向量平行”这两个概念是否一样 ?[观点 1 ]　两概念是一样的 ,向量平行就是平行向量 ,平行向量指的就是向量平行 .[观点 2 ]　是两个不同概念 ,因为平行向量是指非…     

基础知识自测

一、选择题二.在斜棱柱的侧面中,矩形最多有( ). (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个2.已知长方体的高为h,底面面积为Q,垂直于底面的对角面的面积为R,则此长方体的侧面积S等于 ( ).3.一个正四棱锥的中截面面积是9,它的底面边长是 ( ).(A)9/4 (B)3/2 (C)3 (D)64.一个正三棱台上、下底面的边长分别为2和6,侧面与下底面所成的二面角为60°,则此棱台的高为     

一个趣题的另两个简证

文[1]给出了如下趣题的简证:一个正三棱锥与一个正四棱锥的所有棱长均相等,将它们的一个面粘起来(如图),则所得的几本何体文是给斜出三两棱柱个.     

关于梯形定义的爭論問題

关于梯形定义,有两种爭論。第一、有一双对边平行的四边形,叫做梯形。第二、有一双对边平行而另一双对边不平行的四边形,叫做梯形。如果采取第一种定义,那么平行四边形便是梯形的特殊形状;而在第二种定义內,平行四边形就不是梯形。第一种定义的优点,在于它是清楚地按照邏輯分类叙述的。第二种定义则不是用的一种标准,而是同时采用了邏輯分类的两个連續阶段(1)一双对边的性     

用平面简单示意图代替多面体的直观图

在解答与棱锥、棱台底面平行的截面有关的问题时 ,用平面简单示意图代替直观图 ,既能省去画直观图的麻烦 ,又能起到想象出它们构造特点的作用 .再利用相似比 ,能顺利地解答这方面的问题 .例 1　已知三棱锥Ｐ ＡＢＣ的侧面积为Ｑ ,Ｍ为高ＰＯ上一点 ,且ＰＭ =13ＰＯ ,过Ｍ作平行于底面的截面 ,求截面与棱锥底面之间棱台部分的侧面积 .图 1　例 1图解　如图 1,设过Ｍ且平行于底面的截面为底的小棱锥的侧面积为Ｓ0 ,棱锥的高为 3ｈ ,则小棱锥的高为ｈ ,由相似比得Ｓ0Ｑ =( ｈ3ｈ) 2 =19,得Ｓ0 =19Ｑ .故所求棱台部分的侧面积为Ｑ -Ｓ0 =Ｑ - 19…     

一个趣题的实践与证明

题:一个正三棱锥与一个正四棱锥的所有棱长均相等,将它们的一个侧面粘起来,所得几何体可能是什么?如图(一),将正四棱锥S-ABCD的侧面SCD与正三棱锥V-EFG的侧面VEF粘合在一起,为了验证平面SBC与平面GVE是否叠合成一个平面,用硬纸片制作这样的正三棱锥和正四棱锥,实践验证平面SBC与平面GVE,平面SAD与平面GVF恰好分别叠合成一个平面,这样所得的几何体应该是斜三棱柱,问题即为求证二面角B-SC-G=180°.(图一)记所有棱长均为1,探讨如下:(图二)设顶点G、B在平面SCD上的射影分别为M、N,则M为△SCD的中心(如图二)易求得MG=36,SM=…