棱柱伪定义经典反例的向量表示

<正>众所周知,“有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱”,这是教材中给出的棱柱定义.而在数学史上棱柱定义有一个逐步完善的过程,其中反例起到了重要作用.对于颇具迷惑性的棱柱伪定义“有两个面为平行平面上的全等多边形、其余面均为平行四边形的凸多面体叫棱柱”,数学家波利亚曾给出经典反例^[1];本文从向量表示动点轨迹的视角阐明该经典反例的形成过程.     

一个需要完善的经典反例

一、棱柱定义与经典反例文1中提到了棱柱概念的进化并提供了一个典型反例,笔者觉得这个反例值得商榷,有必要做进一步完善.先看一下人教版教材《必修2》1.1.1节中对棱柱下的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱.而作为一线教师,一定会同时给出     

棱柱中两个典型错误

<正>棱柱是立体几何中最常见的多面体,也是立体几何中较早接触的多面体,由于多种因素的制约,许多性质在证明时,常用举反例的方法,下面谈的就是关于棱柱中的两个经典错误反例。命题1有两个侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱。     

纠正一个错误

中师数学人教社教材《几何 (一 )》第 1 2 0页第 1题是这样的 :有两个面平行 ,其余各面都是平行四边形的多面体是不是棱柱 ,为什么 ?有些学生的解答 :“是 .因为平行四边形的对边互相平行 ,所以这个多面体有两个面互相平行 ,其余每相邻两个面的公共边互相平行 .”其实 ,上述答案是错误的 ,其理由中“‘对边平行’就有‘公共边互相平行’”也不是正确的推理 .而且这种错误在有些教师的教学中及某些书上也发生过 .为了纠正这一错误 ,本文构造一类反例图形 .构造步骤如下 :图 1(1 )取一个正六棱柱 ABCDEF -A1B1C1D1E1F1(图 1 ) ;(2 )在平…     

棱锥是凸多面体吗?

《立体几何》P75言:“所有的棱柱、棱锥、棱台指的都是凸多面体,图中的多面体不是凸多面体”。在教学中,学生提出疑问:图中的多面体符合棱锥的定义:“有一个面是多边形,其余各面是有一     

简单多面体与球

1本单元重、难点分析本单元的重点是:多面体和凸多面体的概念,棱柱、棱锥的概念和性质,直棱柱和正棱锥的直观图的画法,正多面体,欧拉公式,球的概念和性质,球的体积和表面积.棱柱中重点研究的是三棱柱和平行六面体,其中的长方体(正方体)是建立空间概念培养空间想象能力的理想模型.棱锥中重点研究的是正棱锥和三棱锥,它们是许多空间几何问题的载体.棱柱和棱锥的性质是进行计算和证明的理论依据,必须掌握.欧拉公式描述了简单多面体的顶点数、面数和棱数之间的关系,是进行相关推理和计算的重要工具.球是一个特殊的几何体,它只有一个面(即球面),…     

多面体和球

1．本单元重、难点分析 本单元的重点：1）了解多面体和凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球等几何概念；2）掌握一般棱柱、直棱柱、正棱柱的区别和联系，正棱锥和球的性质，球的表面积和体积公式；3）会解决棱柱的对角面以及平行于底面的截面的有关问题．     

关于多面体的几个错误结论

下列几个例题所示的多面体容易被学生搞错．现在剖析如下：错例1有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．     

简单多面体与球

1本单元重、难点分析本单元的重点是:了解五个概念(多面体和凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念)和一个公式(多面体的欧拉公式),掌握三个性质(棱柱、棱锥、球的性质)和两个公式(球的表面积和体积公式),会画两种图(直棱柱、正棱锥的直观图).棱柱和棱锥是建立空间概念、培     

简单多面体与球

本单元的重点是：了解五个概念（多面体和凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念）和一个公式（多面体的欧拉公式）．掌握三个性质（棱柱、棱锥、球的性质）和两个公式（球的表面积和体积公式）,会画两种图（直棱柱、正棱锥的直观图）．     

简单多面体与球

1本单元重、难点分析 本单元的重点是：多面体和凸多面体的概念，棱柱、棱锥的概念和性质，直棱柱和正棱锥的直观图的画法，正多面体，欧拉公式。球的概念和性质，球的体积和表面积．     

多面体对称性的探索

如果一个多面体关于某个平面对称，我们就称它具有对称性．正棱柱、正棱锥这些基本的几何体都具有对称性．利用对称来研究多面体，是一个容易被大家忽视的重要方法．从近几年的高考来看，立体几何题所给出的多面体很多都具有对称性．利用对称性质解题，所体现的思维过程更加完美．所以，我们要加强对多面体对称性的研究．     

关于正多面体只有五种的证明

关于正多面体只有五种的证明明建国（湖北大冶县教师进修学校４３５１００）正多面体是立体几何中多面体概念的一个特殊概念，从正多面体的顶点数、面数和棱数的关系（顶点数Ｖ十面数Ｆ－棱数Ｅ＝２）而进一步发现了棱柱、棱锥、棱台也具有这种关系，把它推广到更一般的凸...     

八、多面体和旋转体

知识要点］本章共有棱柱、棱锥、棱台、多面体、圆柱、圆锥、圆台、球、旋转体、体积的概念与体积公理．棱柱、圆柱的体积,棱锥、圆锥的体积,棱台、圆台的体积,球的体积共１３个高考要求掌握的知识点．其重点之一是多面体与旋转体的概念与性质,这是历年高考试题的一个...     

立体几何是非题一组

1.有两个面相互平行,而其余各面是平行四边形的多面体,则一定是棱柱。(对/错) 2.已知三棱锥底面是正三角形,侧面都是等腰三角形,则三棱锥一定是正棱锥。(对/错) 3.有两个面是三角形且互相平行,而其余三个面都是梯形的五面体,必是三棱台。(对/错) 4.直棱柱的侧面展开图是矩形,而斜棱柱的侧面展开图是平行四边形。(对/错) 5.和圆台的轴平行的截面是等腰梯形。(对/错) 6.已知圆的顶角是120°,则轴截面是过     

谈棱柱概念教学中反例模型的制作和运用

谈棱柱概念教学中反例模型的制作和运用陈英志（山东博兴一中２５６５００）我们发现，在棱柱概念的教学中，常出现这样两种情况．第一，在概念引入时，若先让学生观察有关棱柱的模型燃后引导他们找这些几何体的共同特点（不看课本），来抽象、概括出棱柱定义，往往有学生...     

由三棱锥体积求法而想到的

对于立体几何中的多面体体积的求法，我们一般情况下，是将其割补成比较常规的简单多面体——棱锥或者棱柱，然后利用它们的体积公式进行求和，就可以达到目的．我想就自己知道的一些常规方法和大家共同探讨一下．     

来也分类去也分类--浅谈欧拉公式的来源和欧拉示性数

《全日制普通高级中学教科书数学》第二册(下 ) [1 ] 中安排了一个“研究性的学习课题” ,其题目为《多面体欧拉定理的发现》 .安排这部分内容的目的 ,不仅是要介绍关于简单多面体的顶点数V、面数F和棱数E之间的特定关系———欧拉公式 (V+F-E =2 ) ,更重要的是使学生初步体验“观察 ,发现 ,归纳 ,猜想 ,证明”的研究过程 ,从而加强对学生的创新能力的培养 .教科书中这部分内容主要包含 :( 1 )　发现欧拉公式 (引导学生从观察正多面体做起 ,发现V、F、E间的关系 ,再扩展到观察棱柱、棱锥以及一般的简单多面体 ,通过归纳形成对简单多面体…     

求异面直线距离的三种模式

求异面直线距离的三种模式刘亚聆（江苏昆山市第一中学２１５３００）求异面直线距离是立体几何的难点之一，因为它没有固定的模式和解法．本文试图将这类问题归结为三种模式并给出相应的解题公式．１直三棱柱模式通常两条异面直线可以依附在一个二面角内，其中一条正是该...     

高中数学小单元自测题

高中数学小单元自测题多面体与旋转体（高一）童克西（湖北省荆州中学４３４１００）第一套棱柱、棱锥、棱台１．斜四棱柱的矩形面最多有（）（Ａ）２个．（Ｂ）３个．（Ｃ）４个．（Ｄ）以上都不对．２．侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为ａ时，该三棱锥的全面积...