解三角题应重视对角的范围的考察

例 1　已知ｓｉｎθ ｃｏｓθ =- 15( 0 <θ <π) ,求ｔｇθ的值 .分析 :本题解法甚多 ,但若由ｓｉｎθ ｃｏｓθ <0把θ的范围进一步缩小 ,则解法较简洁 .解　由 (ｓｉｎθ ｃｏｓθ) 2 =( - 15) 2 =12 5得ｓｉｎ2θ =- 2 42 5.∵ 0 <θ<π且ｓｉｎθ ｃｏｓθ <0 ,∴ 3π4 <θ <π ,则3π2 <2θ <2π ,∴ｃｏｓ2θ=72 5,　∴ｔｇθ =1-ｃｏｓ2θｓｉｎ2θ =- 34.评述 :只有把 2θ的范围缩小 ,才能确定ｃｏｓ2θ的符号 ,进而求出ｔｇθ的值 .例 2　已知α ,β均为锐角 ,ｓｉｎα =210 ,ｓｉｎβ =1010 ,求α 2 β的值 .分析 :为了求…     

求辐角主值的三种方法

例　已知ｚ =ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ( 0 <θ <π2 ) ,求ａｒｇ(ｚ2 -ｚ) .分析 1:由复数的代数式与三角式的关系 :ａ ｂｉ=ｒｃｏｓθ ｉ·ｒｓｉｎθ ,知辐角θ的主值可由ｔｇθ =ｂａ及点 (ａ ,ｂ)所在的象限确定 .笔者首推这一方法 .解法 1　设ｚ2 -ｚ =(ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ) 2 - (ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ) =ｃｏｓ2θ -ｃｏｓθ ｉ(ｓｉｎ2θ -ｓｉｎθ)的辐角主值为α ,则ｔｇα =ｓｉｎ2θ -ｓｉｎθｃｏｓ2θ -ｃｏｓθ=2ｃｏｓ3θ2 ｓｉｎ θ2- 2ｓｉｎ3θ2 ｓｉｎ θ2=-ｃｔｇ3θ2 =ｔｇ( π2 3θ2 ) .由 0 <θ <π2 ,知 π2 <…     

一道竞赛题的又一解法

题目　已知当ｘ∈ [0 ,1]时 ,不等式ｘ2 ｃｏｓθ -ｘ( 1-ｘ) ( 1-ｘ2 )ｓｉｎθ >0恒成立 ,试求θ的取值范围 .这是 1999年高中联赛一试中的第三题 ,属于带有参数的不等式在某区间上恒成立的问题 .参考答案给出一构造性的解法 ,但湖北赛区未发现一人按此法解答 .下面给出一种更自然 ,让学生容易上手的解法 .图 1　例题图解　将ｘ2 ｃｏｓθ -ｘ( 1-ｘ) ( 1-ｘ) 2 ｓｉｎθ >0整理得( 1 ｓｉｎθ ｃｏｓθ)ｘ2 ( -1-2ｓｉｎθ)ｘ ｓｉｎθ >0 .设ｆ (ｘ) =( 1 ｓｉｎθ ｃｏｓθ)ｘ2 ( -1-2ｓｉｎθ)ｘ ｓｉｎθ .∵原不等式在ｘ∈ […     

巧设公差(公比)解三角题

有些三角题 ,看起来似乎与数列毫不相干 ,但仔细观察 ,便可发现它们的条件中隐含着等差 (或等比 )数列的因素 ,通过巧设公差(或公比 )可以改变问题的结构 ,促成问题的解决 .请看几例 .例 1　 (1991年上海市高三数学竞赛题 )已知ｓｉｎθ ｃｏｓθ =2 ,试求 (ｌｏｇ12 ｓｉｎθ)·(ｌｏｇ12ｃｏｓθ)的值 .(1991年上海市高三数学竞赛题 )解　∵ｓｉｎθ ｃｏｓθ =2 =2× 22 ,∴ｓｉｎθ ,22 ,ｃｏｓθ成等差数列 .令ｓｉｎθ =22 -ｄ ,ｃｏｓθ =22 ｄ .由ｓｉｎ2 θ ｃｏｓ2 θ =1,得(22 -ｄ) 2 (22 ｄ) 2 =1,解得ｄ =0 .∴ｓｉｎθ…     

例说转化

转化思想是解决实际问题的重要思想 ,它是解决函数、数列、不等式、三角、复数、立体几何、解析几何等问题的重要方法 .控制好“转化方向”是运用转化思想的关键 ,本文略举数例 ,用以说明转化的方法 .1　“恒成立”问题常向“最值”问题转化例 1　 ( 1 999年全国高中数学联赛第一试第三题 )当ｘ∈ [0 ,1 ]时 ,不等式ｘ2 ｃｏｓθ ｘ(ｘ - 1 ) ( 1 -ｘ) 2 ·ｓｉｎθ >0恒成立 ,求θ的取值范围 .分析　注意到不等式左端是ｘ的二次代数式 ,可通过构造函数求解 .解　∵ｘ2 ( 1 ｃｏｓθ ｓｉｎθ) - ( 1 2ｓｉｎθ)ｘ ｓｉｎθ>0在ｘ∈ …     

一道三角函数求值题

一道题从不同的角度出发 ,会有不同的解法 ,这样做有利于开阔解题思路 ,总结解题规律 .下面是本人对一道三角函数求值问题的多种解法 .题目　已知ｓｉｎθ ｃｏｓθ =15,θ∈ [0 ,π]那么ｃｔｇθ = .思路 1　最容易想到的是知道角的大小求值 .解法 1　由 15=ｓｉｎθ ｃｏｓθ =2ｓｉｎ(θ π4 )得θ =ｋπ - π4 ( - 1) ｋａｒｃｓｉｎ 210 ,∵θ∈ ( 0 ,π) ,∴θ =34π -ａｒｃｓｉｎ 210 .∴ｃｔｇθ=ｃｔｇ( 34π -ａｒｃｓｉｎ 210 ) =- 34.本人认为 ,这种解法计算繁琐 ,容易出错 ,一般不采用 .思路 2　另一种直接的方法是从定…     

从三角换元学习中谈数学认知结构的发展

数学学习的过程是一个数学认知结构的发展变化过程 .教师若能从学生原有认知结构中找到生长点 ,把新数学问题由浅入深地分析 ,引导学生思考 ,使新知识不断有程序地作用于学生原有的认知结构 ,形成新的数学认知结构 ,就能收到很好的教学效果 .本文仅以“平方和为定值”型的最值题为例 ,从三角换元法学习中来谈数学认知结构的变化 .例 1　若ｘ2 +ｙ2 =1 ,求ｚ =ｘ +ｙ的最值 .分析　以学生已掌握的ｓｉｎ2 θ +ｃｏｓ2 θ =1为知识生长点 ,设ｘ =ｓｉｎθ ,ｙ =ｃｏｓθ ,θ∈ [-π ,π],则ｚ =ｘ +ｙ =ｓｉｎθ +ｃｏｓθ =2ｓｉｎθ +π4,θ…     

数学问题解答

20 0 1年 6月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 31 6　已知ｓｉｎ3θ-ｃｏｓ3θ=22 ,求ｓｉｎθ-ｃｏｓθ的值 .(南昌大学附中　宋庆　 330 0 2 9)解　令ｓｉｎθ -ｃｏｓθ =ｔ,则 ｜ｔ｜≤ 2 ,且ｓｉｎθｃｏｓθ =12 (1 -ｔ2 ) .∴　 22 =ｓｉｎ3θ-ｃｏｓ3θ= (ｓｉｎθ-ｃｏｓθ) (ｓｉｎ2 ｓｉｎθｃｏｓθ ｃｏｓ2 θ)=ｔ[1 12 (1 -ｔ2 ) ]=- 12 ｔ3 32 ｔ.∴　ｔ3- 3ｔ 2 =0 ,∴　ｔ(ｔ2 - 2 ) - (ｔ- 2 ) =0 ,∴　 (ｔ- 2 ) (ｔ2 2ｔ- 1 ) =0 ,∴　ｔ=2或ｔ=6- 22 ,∴　ｓｉｎθ-ｃｏｓθ的值为 2或 6- 22 .1 31 7　△ＡＢＣ…     

构造法分析一高考函数题的单调性

20 0 0年高考 (理工农医类 )第 19题第Ⅱ问 :“设函数ｆ(ｘ) =ｘ2 1-ａｘ ,其中ａ >0 ,求ａ的取值范围 ,使函数ｆ(ｘ)在 [0 , ∞ )上是单调函数 .”1　转化为等价问题处理若令ｘ =ｔｇθ ,θ∈ (-π2 ,π2 ) ,则高考题等价于 :设函数ｇ(θ) =(1-ａｓｉｎθ)ｃｏｓθ ,其中ａ>0 ,求ａ的取值范围 ,使函数ｇ(θ)在 [0 ,π2 )上是单调函数 .下面用构造法比较直观地给出等价问题的分析 :ｇ(θ) =(-ａ)·(ｓｉｎθ -1ａ)ｃｏｓθ =(-ａ)·ｋ(θ) ,其中ｋ(θ) =(ｓｉｎθ -1ａ)ｃｏｓθ ,ａ >0 ,θ∈[0 ,π2 ) .构造两点Ｍ (0 ,1ａ) ,Ｎ (ｃｏｓ…     

两道代数题的几何解法

文 [1]日本高考题 :设θ∈ [0 ,π2 ],ｃｏｓ2 θ 2ｍｓｉｎθ - 2ｍ - 2 <0恒成立 ,求ｍ的取值范围 .原解答摘录如下 :解　原不等式等价于2 (1-ｍ) (1-ｓｉｎθ) <(1-ｓｉｎθ) 2 2 .令ｘ =1-ｓｉｎθ ,则 0≤ｘ≤ 1且2 (1-ｍ)ｘ <ｘ2 2 .1)若ｘ =0 ,不等式对任何ｍ总成立 .2 )若 0 <ｘ≤ 1,则2 (1-ｍ) <ｘ 2ｘ记 ｆ(ｘ) (1)由ｆ(ｘ) =ｘ 1ｘ 1ｘ ≥ 2 1=3知 ,当ｘ =1时 ,[ｆ(ｘ) ]ｍｉｎ=3,于是不等式 (1)对 0 <ｘ≤ 1恒成立当且仅当2 (1-ｍ) <[ｆ(ｘ) ]ｍｉｎ=3,即ｍ >- 12 .图 1　抛物线综合 1) ,2 )知ｍ的取值范围是 (- 12 , ∞…     

平面向量的一个优美的综合公式

笔者研究发现 ,平面向量中有一个优美并且非常有用的综合公式 :图 1　证公式用图设 |ｂ→|=ｋ ,ｂ→ 与ａ→ 夹角为θ ,则有 :　ｂ→ =(ｋａ→|ａ→|·(ｃｏｓθ ,　ｓｉｎ(±θ) ) ,ｋａ→|ａ→|　·(ｓｉｎ( θ) ,ｃｏｓθ) ) .　　证　如图 1 ,设ａ→ =(ｘ ,ｙ)与ｘ轴正半轴夹角为α ,ｂ→ =(ｘ0 ,ｙ0 ) ,则ｃｏｓα =ｘ|ａ→|,ｓｉｎα =ｙ|ａ→|.ｘ0 =ｋ(ｃｏｓ(α±θ) ) ,ｙ0 =ｋ(ｓｉｎ(α±θ) ) .ｘ0 =ｋ(ｃｏｓαｃｏｓθ ｓｉｎαｓｉｎθ)=ｋ(ｘ|ａ→|ｃｏｓθ ｙ|ａ→|ｓｉｎθ)= ｋａ→|ａ→|·(ｃｏｓθ,ｓｉｎ( θ) ) ,…     

一道高考复数试题的变式研究

1999年全国高考第20题:设复数ｚ=3ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ.求函数ｙ=θ-ａｒｇｚ(0<θ<π2)的最大值及对应的θ值.下面以本题为原型进行变式研究.变式1　设复数ｚ=ａｃｏｓθ ｉｂｓｉｎθ(ａｂ为常数且ａ>ｂ>0).求函数ｙ=θ-ａｒｇｚ(0<θ<π2)的最大值及对应的θ的值.解　?..     

类比——让我分享一次成功

题 1　已知实常数ａ >0 ,ｂ >0 ,0 <θ <π2 ,求 ｙ =ａｓｉｎθ+ ｂｃｏｓθ的最小值 .当我试图去解这道题时 ,几经努力都没成功 ,失败使我陷入深思中 .忽然 ,我头脑中浮现出我曾做过的一道题 :题 2　已知实常数ａ >0 ,ｂ >0 ,且ｘ + ｙ=1,求 ｙ =ａｘ+ ｂｙ 的最小值 .这道题可以这样来解 :ｙ =ａｘ+ ｂｙ=(ａｘ + ｂｙ) (ｘ + ｙ)=ａ + ａｙｘ + ｂｘｙ +ｂ≥ａ + 2ａｂ +ｂ=(ａ +ｂ) 2 .其中当且仅当ａｙｘ =ｂｘｙ ,即 ｘｙ=ａｂ 时等号成立 .题 1、题 2很相似 ,但题 2有变量约束条件ｘ + ｙ =1,而题 1隐含条件ｓｉｎ2 θ +ｃｏｓ2 θ …     

函数y=θ-argz的几何解释

设复数ｚ =ａｃｏｓθ ｉ·ｂｓｉｎθ,(ａ>ｂ >0 ,0 <θ<π2 ) ,则θ为复数ｚ在复平面上对应点ｚ轨迹 ｘ =ａｃｏｓθｙ =ｂｓｉｎθ(0 <θ<π2 为参数 )———椭圆 (在第一象限部分 )的离心角 ,如图 ,函数ｙ=θ-ａｒｇｚ即为∠ＡＯＺ .ｔｇ∠ＡＯＺ =ｔｇｙ =ｔｇ(θ-ａｒｇｚ)=ｔｇθ - ｂａｔｇθ1 ｔｇθ· ｂａｔｇθ=(ａ -ｂ)ｔｇθａ ｂｔｇ2 θ=ａ-ｂａｔｇθ ｂｔｇθ≤ ａ-ｂ2ａｂ,所以ｙ的最大值为ａｒｃｔｇａ -ｂ2ａｂ,当且仅当 ａｔｇθ=ｂｔｇθ,即θ =ａｒｃｔｇ ａｂ 时取得 .当ａ =3 ,ｂ=2或ａ =3 ,ｂ=1时就分别得到 9…     

巧用特殊化方法解2001年高考选择题

特殊化是寻找解题途径的有效策略 ,也是解答选择题的一种有效方法 .此法在解选择题中主要体现为 :取满足题设条件的特殊情况寻找正确结论 ,或取选择支的特殊情况以排除干扰支从而达到迅速解题的目的 .例 1　 (理 (1 ) )若ｓｉｎθｃｏｓθ >0 ,则θ在(　　 )(Ａ)第一、二象限 .(Ｂ)第一、三象限 .(Ｃ)第一、四象限 .(Ｄ)第二、四象限解　取θ=3π4,由ｓｉｎ3π4ｃｏｓ3π4=- 12 <0知满足条件的θ不在第二象限 ,可排除 (Ａ) ,(Ｄ) .取θ =7π4,因ｓｉｎ7π4ｃｏｓ7π4=- 12 <0 ,所以θ不在第四象限 ,可排除 (Ｃ) ,故选 (Ｂ) .例 2　 (理 (4 )…     

一道全国联赛题的别解

1999年全国高中数学联合竞赛加试试题第二题是 :给定实数ａ ,ｂ ,ｃ .已知复数ｚ1 ,ｚ2 ,ｚ3满足 :|ｚ1 |=|ｚ2 |=|ｚ3|=1.ｚ1 ｚ2 ｚ2ｚ3 ｚ3ｚ1=1.求 |ａｚ1 ｂｚ2 ｃｚ3|的值 .命题委员会提供的“参考答案”用到了关于复数的欧拉公式ｅｉθ=ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ .下面我们给出此题的一种简便的解法 .解　令ｚ1 =ｃｏｓθ1 ｉｓｉｎθ1 ,ｚ2 =ｃｏｓθ2 ｉｓｉｎθ2 ,ｚ3=ｃｏｓθ3 ｉｓｉｎθ3,则ｚ1 ｚ2 ｚ2ｚ3 ｚ3ｚ1=ｃｏｓ(θ1 -θ2 ) ｃｏｓ(θ2 -θ3) ｃｏｓ(θ3-θ1 ) [ｓｉｎ(θ1 -θ2 ) ] ｓｉｎ(θ2-θ3) ｓｉｎ(θ3…     

课外练习

高一年级1 .当函数 ｙ =2ｃｏｓｘ - 3ｓｉｎｘ取最大值时 ,求ｔａｎｘ的值 . 2 .求证 :ｔａｎ5=ｔａｎ2 +ｔａｎ3 +ｔａｎ2·ｔａｎ3·ｔａｎ5.3 .函数 ｆ(ｘ)是定义在 {ｘ|ｘ≠ 0 ,ｘ∈ｋ}上的奇函数 ,且 ｆ(ｘ)在 ( 0 ,+∞ )上为减函数 ,又ｆ( 3 ) =0 ,ｇ(θ)=ｃｏｓ2θ - 2ｍｃｏｓθ + 4ｍ ,θ∈ [0 ,π2 ] .若集合Ｍ ={ｍ| ｇ(θ) >0 },Ｎ ={ｍ| ｆ[ｇ(θ) ] <0 }.求Ｍ∩Ｎ .高二年级1 .已知不等式 1ｎ + 1 + 1ｎ + 2 +… + 12ｎ>11 2 ｌｏｇａ(ａ -1 ) + 23 对一切大于 1的自然数都成立 ,求实数ａ的取值范围 .(2 .已知 :△ＡＢＣ的顶…     

浅析复数问题中的常见错误

我们把数扩充到复数后 ,由于复数的许多性质与实数不同 ,学生作业中常出现这样和那样的错误 .本文列出几类常见错误 ,供参考 .1　化三角形式中出现的错误例 1　把 1 ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ化成三角形式 ,θ∈ (π ,2π) .误解　 1 ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ=2ｃｏｓ2 θ2 ｉ·2ｓｉｎ θ2 ｃｏｓ θ2=2ｃｏｓ θ2 (ｃｏｓ θ2 ｉｓｉｎ θ2 ) .∴ 1 ｃｏｓθ ｉｓｉｎθ的三角形式为2ｃｏｓ θ2 (ｃｏｓ θ2 ｉｓｉｎ θ2 ) .错误分析 :复数三角形式有三个要求 :1)模大于零 ;2 )括号内的实部和虚部是同一个辐角值θ的余弦与正弦 ;3 )ｃｏｓθ…     

反三角函数和三角方程

选择题1　下列各等式成立的是 (　　 )(Ａ)ａｒｃｓｉｎ π3=32 .(Ｂ)ｃｏｓ(ａｒｃｃｏｓ π3) =π3.(Ｃ)ｔｇ(ａｒｃｔｇ 3) =3.(Ｄ)ｓｉｎ(ａｒｃｃｏｓ12 ) =12 .2　下列命题不正确的是 (　　 )(Ａ)函数 ｙ =ａｒｃｃｏｓｘ - π2 是奇函数 .(Ｂ)当ｘ∈ ( 22 ,1)时 ,ａｒｃｓｉｎｘ >ａｒｃｃｏｓｘ .(Ｃ)ｔｇ(ａｒｃｃｏｓ0 ) =0 .(Ｄ)当ｘ∈ ( -∞ ,0 )时 ,ａｒｃｃｔｇｘ >ａｒｃｔｇｘ .3　若 π4 <α <5π4 ,则ａｒｃｓｉｎ[22 (ｓｉｎα ｃｏｓα) ]的值为(　　 )(Ａ) π4 -α .　　 (Ｂ)α - π4 .(Ｃ)α - 3π4 . (Ｄ) 3π4 -…     

“3＋x”高考数学模拟试题

选择题　 (每小题给出四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .每小题 5分 ,共 6 0分 )1　设全集Ｉ =Ｒ ,集合Ｍ ={ｘ|ｘ2 ｙ2 =2 5} ,Ｎ ={ｘ||ｘ - 2 |>5} ,则Ｍ∩Ｎ =(　　 )(Ａ) (5,7) .　 (Ｂ) (-∞ ,- 5)∪ [- 3, ∞ ].(Ｃ) (- 5,- 3) .　　 (Ｄ) .2　 [理 ]在极坐标系中 ,已知一个圆的方程为 ρ =12ｓｉｎ(θ - π6 ) ,则过圆心与极轴垂直的直线的极坐标方程是 (　　 )(Ａ) ρｓｉｎθ =33.　　　　 (Ｂ) ρｓｉｎθ=- 33.(Ｃ) ρｃｏｓθ=3. (Ｄ) ρｃｏｓθ =- 3.[文 ]直线ｙ =ｘ - 1上的点到圆ｘ2 ｙ2 4ｘ -2 ｙ 4=0的最近距…