反例·证明·怪论

有如下一道立体几何判断题 :底面是正三角形 ,相邻两侧面所成二面角都相等的三棱锥是正三棱锥吗 ?甲同学给出了否定的回答 ,并构造了如下“反例” :图 1　甲同学所举反例示意图如图 1 ,Ｐ -ＢＣＥ为正三棱锥 ,在ＰＥ上取一点Ａ ,使ＡＢ =ＢＥ ,连ＡＢ ,ＡＣ .推知ＡＢ =ＢＣ =ＣＡ ,即△ＡＢＣ为正三角形 ,从而三棱锥Ｐ -ＡＢＣ的底面为正三角形 ,相邻两侧面所成的二面角都相等 ,而非正三棱锥 .图 2　乙同学证明用图但 ,乙同学不同意甲的判断 ,并给出了如下“证明” :如图 2 ,设三棱锥Ｐ -ＡＢＣ满足所设条件 .作ＡＨ⊥面ＰＢＣ ,垂足为Ｈ ,…     

巧用三棱台的一个性质妙解题

众所周知 ,任何一个平面多边形都可以分割成若干个三角形 ,任何一个多面体均可分割成若干个三棱锥 .三棱台ＡＢＣ Ａ1Ｂ1Ｃ1可分割成如图 1所示的三个三棱锥Ａ Ａ1Ｂ1Ｃ1,Ｃ ＡＢ1Ｃ1,Ｂ1 ＡＢＣ ,设三棱台的上、下底面积分别为Ｓ1,Ｓ2 ,高为ｈ ,体积为Ｖ ,则其体积为Ｖ =13(Ｓ1+Ｓ2 +Ｓ1Ｓ2 )ｈ =13ｈＳ1+ 13ｈＳ2+ 13ｈＳ1Ｓ2 .因为ＶＡ Ａ1Ｂ1Ｃ1=13ｈＳ1,ＶＢ1 ＡＢＣ=13ｈＳ2 ,所以ＶＣ ＡＢ1Ｃ1=13ｈＳ1Ｓ2 .图 1　三棱台的分割图设ＶＡ Ａ1Ｂ1Ｃ1=Ｖ1,ＶＣ ＡＢ1Ｃ1=Ｖ2 ,ＶＢ1 ＡＢＣ=Ｖ3 ,设 ＡＢＡ1Ｂ1=ｋ ,则 Ｖ2Ｖ1=Ｖ3 Ｖ2=Ｓ2…     

三棱锥的一个体积公式

立体几何练习时曾碰到这样一道题 :已知三棱锥三条侧棱的长分别为ａ ,ｂ,ｃ,其中每两条侧棱的夹角均为 60°,求它的体积 .这使我想到 ,如果将其一般化 ,设每两条侧棱的夹角分别是α、β、γ ,那就应该可以推得出三棱锥的又一个体积公式 .一做 ,果然得到了公式 .特录下与同学们共赏 .已知三棱锥Ｄ -ＡＢＣ中 ,ＤＡ =ａ ,ＤＢ =ｂ ,ＤＣ =ｃ .∠ＡＤＢ =γ ,∠ＢＤＣ =β,∠ＣＤＡ =α ,求这个三棱锥的体积Ｖ .图 1　结论题图解　如图 ,在平面ＢＤＣ中取Ｄ为原点 ,ＤＣ为ｘ轴建立直角坐标系 ,那么Ｄ、Ｃ、Ｂ的坐标分别为 ( 0 ,0 ) ,(ｃ ,0 ) ,…     

正四棱锥的概念中几个易误判的命题

1　四个侧面是全等的三角形 ,且各侧面和底面所成的角都相等的四棱锥是正四棱锥图 1　问题 1图错　反例 :作菱形ＡＢＣＤ ,过对角线ＡＣ ,ＢＤ的交点Ｏ作平面ＡＢＣＤ的垂线 ,在垂线上任意取一点Ｐ ,连结ＰＡ ,ＰＢ ,ＰＣ ,ＰＤ .则四棱锥Ｐ ＡＢＣＤ满足题设条件 ,但它却不一定是正四棱锥 .2　各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥错　反例 :在上题中 ,适当地选取Ｐ点的位置 ,使ＯＰ =ＯＢ .一般地 ,当菱形的锐角为θ边长为ａ时 ,取ＯＰ =ａｓｉｎ θ2 ,则可得ＡＰ =ＡＢ ,ＡＰ =ＡＤ ,ＣＰ =ＣＢ ,ＣＰ =ＣＤ ,因而四棱锥Ｐ ＡＢＣ…     

反例教学——中学数学探究性学习的重要环节

众所周知,要判断一个命题是真命题,必须经过严格的证明,而判断一个命题是假命题,只要举出一个反例.所谓举反例就是举出符合命题的题设,而不满足命题结论的例子.因其具有构造性,所以举反例实际上是一种创造性思维的体现.但在中学数学的教学中,强调证明有余,而对反例教学却明显重视不够.其实,反例和证明在知识发现的过程中具有同等地位,是"观察——归纳——猜想——证明(反例)"这一数学知识探究过程中的重要环节.可以说,反例     

推导台体体积公式有新法

立几教材中推导台体体积公式的方法不是唯一的 ,因为用体积的割法可求出三棱台的体积 ,因此任意台体体积即可获解 .题 1　已知棱台Ａ′Ｂ′Ｃ′ ＡＢＣ中 ,设Ｓ△Ａ′Ｂ′Ｃ′=图 1　方法 1图Ｓ1 ,Ｓ△ＡＢＣ =Ｓ2 ,高为ｈ .试推导三棱台的体积公式 .解　 [方法 1]如图 1,连结ＡＣ′ ,ＡＢ′ ,ＣＢ′ .Ｖ台 =ＶＡ Ａ′Ｂ′Ｃ′ ＶＢ′ ＡＢＣ　 ＶＡ Ｂ′Ｃ′Ｃ=13Ｓ1 ｈ 13Ｓ2 ｈ　 ＶＡ Ｂ′Ｃ′Ｃ.ＶＡ Ｂ′Ｃ′ＣＶＢ′ ＡＢＣ=ＶＡ Ｂ′Ｃ′ＣＶＡ ＢＢ′Ｃ′=Ｓ△Ｂ′Ｃ′ＣＳ△ＢＢ′Ｃ=Ｂ′Ｃ′ＢＣ ,ＶＡ Ｂ′Ｃ′ＣＶＡ Ａ′…     

一个几何命题的证法与延伸

《数学通报》2 0 0 0年第 1 2期 1 2号数学问题中给出了这样一道题目 :1 2 86　直三棱柱ＡＢＣ -Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 中 ,ＡＢ1 ⊥ＢＣ1 、ＢＣ1 ⊥ＣＡ1 、ＣＡ1 ⊥ＡＢ1 (如右图 ) .求证 :该棱柱是正棱柱 .题中简捷的条件 ,直观的结论颇耐人寻味 ,《数学通报》2 0 0 1年第 1期给出的证法图形复杂 ,处理起来有一定的难度 ,今将自己的所得整理成下文 ,供同行参考 .1　关于命题的证明图 11 1　割补法证法一　如图 1在直三棱柱ＡＢＣ-Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 的下面补上一个与之完全相同的直三棱柱 ,并设ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ的长分别为ｃ、ａ、ｂ,设原直三棱柱的高…     

正射影下角与其射影角的大小关系探微

有这样一道立体几何题 :已知∠ＢＡＣ的两边与平面Ｍ相交于Ｂ、Ｃ两点 ,点Ａ在平面Ｍ内的射影为Ａ′ ,且Ａ′、Ｂ、Ｃ不共线 ,试比较∠ＢＡＣ与∠ＢＡ′Ｃ的大小 .可以说此题是立体几何中一个常见而又比较复杂的问题 ,虽然我们可以用模型演示或构造特例的方法得出这两个角的大小关系不确定的正确结论 ,但更值得我们思考的是如何判定这两个角的大小关系 .为此 ,我们给出以下两个命题 .图 1命题 1　已知∠ＢＡＣ的两边与平面Ｍ相交于Ｂ、Ｃ两点 ,点Ａ在平面Ｍ内的射影为Ａ′,且Ａ′、Ｂ、Ｃ不共线 .设∠ＡＢＣ =α ,∠ＡＣＢ =β ,平面ＡＢＣ…     

外接球球心的确定

在研究多面体与外接球问题时,经常要确定球心的位置.从集合角度看,球面是与定点(球心)的距离等于定长(半径)的所有点的集合(轨迹).因此,只要找到与多面体各顶点距离相等的点即为外接球球心.图1　例1图例1　已知正三棱锥ＰＡＢＣ底面边长ａ,Ｐ到底面ＡＢＣ的距离为ｈ,试确定其外接球球心的位置及球半径的长.分析:如图1,设球心为Ｏ,则ＯＡ=ＯＢ=ＯＣ,∴Ｏ在底面ＡＢＣ上的射影Ｈ是△ＡＢＣ的外心,由△ＡＢＣ为正三角形知Ｈ也为中心,∴ＰＨ⊥底面ＡＢＣ,∴Ｐ,Ｏ,Ｈ共线.由△ＡＨＯ是Ｒｔ△得ＡＯ2=ＡＨ2 ＯＨ2.∴Ｒ2=33ａ2 (ｈ-Ｒ)2,∴Ｒ=ａ26…     

三角知识在立体几何中的应用

立体几何是研究空间图形的性质的一门学科,在处理线线、线面、面面的位置关系时,常要用到三角的有关知识来解决.1　三角函数性质的应用例1　(北京市高一数学竞赛,1993)在三棱锥ＡＢＣＤ中,∠ＤＡＢ ∠ＢＡＣ ∠ＤＡＣ=90°,∠ＡＤＢ=∠ＢＤＣ=∠ＡＤＣ=90°,若ｃｏｓ70°=0.3420.试证:二面角ＡＢＣＤ的度数大于70°.证　如图,设ＤＢ=ａ,ＤＣ=ｂ,ＤＡ=ｘ.图1　例1图　　　图2　例1展开图剪开ＤＡ,ＤＢ,ＤＣ展开在平面上,则∠Ｄ1ＡＤ2=90°,Ｄ1Ａ=Ｄ2Ａ=ｘ,延长Ｄ1Ｂ,Ｄ2Ｃ交于Ｋ,则ＡＤ1ＫＤ2为正方形.ＢＫ=ｘ-ａ,ＣＫ=ｘ-ｂ,ＢＣ=ａ2 ｂ2,由…     

浅谈反例的寻求

浅谈反例的寻求钟焕清（福建武平一中３６４３００）数学命题并非一定都为真．要判断一个命题为真，必须通过严格的证明．要判断一个命题为假，只需找出一个反例（一个符合题设条件而结论不真的命题）即可·反例在发现和认识数学真理、强化数学基础知识的理解和掌握以及培...     

命题的引伸

命题 1　求证 :等腰三角形底边上任一点到两腰的距离的和等于一腰上的高 (义教初中几何第二册 197页Ｂ组第 2题的 (1) ) .证明　如图 1,设Ｐ为底边ＢＣ上任意一点 ,Ｐ到两腰的距离分别为ｒ1 ,ｒ2 ,腰ＡＢ =ＡＣ =ａ ,腰上的高为ｈ ,连结ＡＰ ,图 1则　Ｓ△ＡＢＰ+Ｓ△ＡＣＰ=Ｓ△ＡＢＣ ,即　 12 ａｒ1 + 12 ａｒ2 =12 ａｈ .∴　ｒ1 +ｒ2 =ｈ .如果把“等腰三角形”改成“等边三角形” ,那么Ｐ点的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点” ,即有如下命题 :命题 2　已知等边△ＡＢＣ内任意一点Ｐ到各边的距离分别为ｒ1 、ｒ…     

侧面向底面展开图是特殊四边形的三棱锥

文 [1 ]研究了表面展开图为四边形的四面体 ,已经得到下面定理 :定理 1　四面体表面展开图为四边形的充要条件是任意两顶点上的三面角之和均为1 80°(即文 [1 ]中的定理 1 ) .定理 2　任意四边形ＡＢＣＤ ,若ＡＢ =ＡＤ ,且ＡＢ <ＡＣ ,∠ＢＤＣ与∠ＤＢＣ均小于90° ,则四边形一定可以翻折成四面体 (即文[1 ]中的定理 4) .本文将讨论三棱锥的侧面向底面展开图为特殊四边形的情形 ,并给出其充要条件及由特殊四边形折成三棱锥的方法 .1　筝形图 1　定理 3图定理 3　三棱锥侧面向底面展开图为筝形的充要条件是底边三角形有且只有两顶点上的三…     

打开立体几何问题求解思路的“三问”

不少同学在面对立体几何问题时 ,常感觉到线面夹杂 ,难以理清思路 .笔者在教学实践过程中 ,总结出“三问”的思维方法 ,希望能对同学们寻找立体几何问题的求解思路提供帮助 .图 1　例 1题图例 1　如图 1 ,已知三棱锥Ｐ -ＡＢＣ的底面为正△ＡＢＣ ,且Ａ点在侧面ＰＢＣ上的射影Ｇ为△ＰＢＣ的重心 .已知二面角Ｐ -ＢＣ -Ａ的正切值为2 ,求证 :ＰＡ⊥平面ＡＢＣ .思维过程　图 2　例 1分析用图一问 :问题的实质 ?显然 ,本问题的实质是一个线面垂直的问题 .二问 :解决问题的关键 ?我们知道 ,证明线面垂直的关键是在面内找到两条相交直线与已知…     

斜截三棱柱的一个体积公式

用与底面不平行的平面去截三棱柱,截面与底面间的几何体,称之为斜截三棱柱.如图1的斜截三棱柱记作斜截三棱柱ＥＦＡＢＣＤ,并约定平面ＡＢＣＤ为底面,ＥＦ到底面ＡＢＣＤ的距离为高.引理　设三棱柱的一个侧面面积为Ｓ,与相对侧棱之间的距离为ｈ,则三棱柱的体积为Ｖ=12Ｓ·ｈ.该引理的证明见文[1],从略.定理　设斜截三棱柱ＥＦＡＢＣＤ中,ＥＦＡＢ=λ,ＤＣＡＢ=ｍ,底面ＡＢＣＤ的面积为Ｓ,ＥＦ与面ＡＢＣＤ的距离为ｈ(如图2),则斜截三棱柱的体积为Ｖ=图2　定理图ｍ λ 13(ｍ 1)Ｓ·ｈ.证　如图2,过Ｆ作面ＦＭＮ∥面ＡＤＥ,由引理知ＶＡＤＥＭ…     

异面直线所成角的向量求法

对于异面直线所成角 ,若能构造向量 ,将异面直线所成角转化为两向量的夹角 ,利用向量的数量积公式 ,则可在不作出异面直线所成角的情况下 ,巧妙而简捷地求出异面直线所成角 .例 1　 (2 0 0 2年春季高考理科题 )在三棱锥Ｓ ＡＢＣ中 ,∠ＳＡＢ =∠ＳＡＣ =∠ＡＣＢ =90° ,ＡＣ =2 ,ＢＣ= 13,ＳＢ =2 9.图 1　例 1图1)证明ＳＣ⊥ＢＣ ;2 )求异面直线ＳＣ与ＡＢ所成角的大小 .解　如图 1,1)∵ＳＡ⊥ＡＢ ,ＳＡ⊥ＡＣ ,∴ＳＡ⊥面ＳＡＢ ,∴ＳＡ⊥ＢＣ .∴ＳＣ·ＢＣ =ＳＡ +ＡＣ·ＢＣ =ＳＡ·ＢＣ +ＡＣ·ＢＣ =0 + 0 =0 ,故ＳＣ⊥ＢＣ .2 )…     

初中几何复习中编拟新题的几种做法

初中几何复习中编拟新题的几种做法方廷刚（攀枝花市第三中学６１７０００）１求逆有些几何命题的题设不止一个，将结论与题设之一交换后所得命题仍为真命题，这种求逆的构造新题的做法是较为常用的一种做法．例１已知ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＢＣ是⊙Ｏ的切线，切点为Ｂ，ＯＣ...     

一道全国联赛加试题的推广

2002年全国高中数学联赛加试第一题 :图 1问题　如图 1,在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =6 0° ,ＡＢ >ＡＣ ,点Ｏ是外心 ,两条高ＢＥ ,ＣＦ交于Ｈ点 ,点Ｍ、Ｎ分别在线段ＢＨ ,ＨＦ上 ,且满足ＢＭ =ＣＮ .求 ＭＨ +ＮＨＯＨ 的值 .分析　如图 1,ＭＨ =ＢＨ -ＢＭ ,ＮＨ =ＣＮ -ＣＨ ,又　ＢＭ =ＣＮ ,∴　ＭＨ +ＮＨ =ＢＨ -ＣＨ ,于是　 ＭＨ +ＮＨＯＨ =ＢＨ -ＣＨＯＨ .问题等价于求 ＢＨ -ＣＨＯＨ 的值 .下面我们来解答本题的一般情况 .推广题　在△ＡＢＣ中 ,ＡＢ >ＡＣ ,点Ｏ是外心 ,Ｈ是垂心 ,则　 ＢＨ -ＣＨＯＨ =2 (ｃｏｓＢ -ｃｏｓＣ)1-8…     

关于四面体的两个新命题

四面体是空间较简单的几何体 ,笔者通图 1　命题 1图过将它与三角形进行类比 ,得到如下两个命题 .命题 1　如图 1 ,Ｅ ,Ｆ ,Ｇ ,Ｈ分别是四面体Ａ ＢＣＤ棱ＡＢ ,ＢＣ ,ＣＤ ,ＤＡ上的点 ,则Ｅ ,Ｆ ,Ｇ ,Ｈ四点共面的充要条件是ＡＥＥＢ·ＢＦＦＣ·ＣＧＧＤ·ＤＨＨＡ=1 .证　先证充分性 .分两种情况 :　　 1 )当ＥＦ∥ＡＣ时 ,有 ＡＥＥＢ=ＣＦＦＢ.由 ＡＥＥＢ·ＢＦＦＣ·ＣＧＧＤ·ＤＨＨＡ=1知ＣＧＧＤ=ＨＡＨＤ.∴ＨＧ∥ＡＣ .∴ＥＦ∥ＨＧ .∴Ｅ ,Ｆ ,Ｇ ,Ｈ四点共面 .2 )当ＥＦ∥\ＡＣ时 ,设直线ＥＦ与直线ＡＣ相交于点Ｐ ,连结Ｐ…     

一道第38届IMO试题新证及推广

贵刊１９９７年第９期登载了“第３８届国际数学奥林匹克题解”,其中问题２是道平面几何题,解答用到了正弦定理,比较繁琐．笔者经过仔细研究后,找到了一种较简捷的纯几何证法．并通过证明过程的分析,将原问题作了进一步的推广．问题２　设∠Ａ是△ＡＢＣ中最小的内角．①点Ｂ和Ｃ将这个三角形的外接圆分成两段弧．设Ｕ是落在不含Ａ的那段弧上且不等于Ｂ与Ｃ的一个点．②线段ＡＢ和ＡＣ的垂直平分线分别交线段ＡＵ于Ｖ和Ｗ,直线ＢＶ和ＣＷ相交于Ｔ．③图１ＢＭＯＶＴＵＣＤＮＷＡＥ求证：ＡＵ＝ＴＢ＋ＴＣ．证明：如图１所示．因为点Ｖ…