数学问题解答

20 0 3年 2月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 41 6　Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =ＡＣ ,∠ＢＡＣ=90°,Ｄ、Ｅ为ＢＣ边上的两点 ,△ＡＤＥ的外接圆分别交边ＡＢ、ＡＣ于点Ｐ和Ｑ ,且ＢＰ +ＣＱ =ＰＱ ,求∠ＤＡＥ的度数 .(安徽省南陵县第二中学　金旗　2 42 40 0 )图 1引理　如图 1 ,梯形ＡＢＣＤ中 ,ＡＤ∥ＢＣ ,Ｅ、Ｆ分别为ＡＢ、ＣＤ上两点 ,且ＡＥ=ＢＥ ,ＥＦ=12 (ＡＤ +ＢＣ) ,则有ＥＦ ∥ＢＣ .(该引理较易证明 ,略 )解　如图 2 ,过Ｐ点作ＰＦ ⊥ＡＢ ,ＰＦ交ＢＣ于Ｆ点 ,取ＰＱ的中点Ｏ ,连结ＯＥ ,ＰＥ .图 2因为ＡＢ =ＡＣ ,∠Ｂ…     

课本习题新探索

结合条件、对照图形、分析结论是做几何题的三步曲 .从不同的角度去分析结论 ,将会得到不同的证题方法 .这对于开发证题思路 ,活跃思维空间 ,将起到良好的互补作用 .现就课本上的一题举例说明 .图 1题目　过△ＡＢＣ的顶点Ｃ任作一直线 ,与边ＡＢ及中线ＡＤ分别交于点Ｆ和Ｅ ,求证 :ＡＥ∶ＥＤ =2ＡＦ∶ＦＢ(提示 :过点Ｄ作ＤＭ∥ＣＦ交ＢＦ于点Ｍ) .(人教版《几何》第二册Ｐ2 5 5 第 17题 )[分析与证明一 ]　从课本给出的提示来看ＡＥＥＤ=ＡＦＦＭ ,而结论是 ＡＥＥＤ =2ＡＦＦＢ ,即　 ＡＥＥＤ =ＡＦ12 ＦＢ.如图 1,显然只须证明ＦＭ =1…     

数学问题解答

20 0 1年 1 0月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 3 6　⊙Ｏ中 ,直径ＡＢ垂直于非直径的弦ＣＤ ,弦ＡＥ与半径ＯＣ交于点Ｆ ,弦ＤＥ交弦ＢＣ于点Ｇ .求证 :ＦＧ∥ＡＢ .(四川省普格县荞窝农场子弟学校　王承宣　 6 1 5 3 0 2 )证明　如图 ,连结ＢＤ、ＣＡ .∵ＡＢ ⊥ＣＤ ,∴ ＣＡ =ＤＡ ,ＣＢ=ＢＤ ,∴∠ＣＯＡ =∠ＣＢＤ ,又ＡＯ =ＣＯ ,∴∠ＡＣＦ =∠ＧＣＤ ,又∠ＥＡＯ=∠ＥＤＢ ,∠ＣＡＦ=∠ＣＤＥ ,∴△ＡＣＯ ∽△ＣＢＤ ,△ＡＯＦ∽△ＤＢＧ ,△ＡＣＦ∽△ＤＣＧ ,∴ ＣＦＣＧ =ＡＣＣＤ =ＡＯＢＤ =ＦＯＧＢ,即 ＣＦＦＯ =Ｃ…     

数学问题解答

20 0 2年 1 2月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 40 6　已知 :ＡＤＣＥ为半圆 (如图 ) ,Ｂ为直径ＡＥ上一点 ,Ｆ在ＡＣ上 ,ＡＤ =ＦＣ ,ＤＥ =ＣＧ ,ＢＥ=ＨＧ ,ＡＬ∥ＦＧ .求证 :ＫＢ ⊥ＡＣ证明　因为ＡＤＣＥ为半圆 ,所以∠ＡＤＥ=∠ＦＣＧ =90° .在Ｒｔ△ＡＤＥ和Ｒｔ△ＦＣＧ中 ,因为ＡＤ =ＦＣ ,ＤＥ =ＣＧ ,所以△ＡＤＥ≌△ＦＣＧ .所以ＡＥ =ＦＧ .又ＢＥ =ＨＧ ,所以ＡＢ =ＦＨ因为ＡＬ∥ＦＧ ,所以 ＡＫＦＨ =ＣＫＣＨ =ＫＬＨＧ.所以 ＡＫＫＬ =ＦＨＨＧ,所以 ＡＫＫＬ =ＡＢＢＥ,所以ＫＢ∥ＬＣ .又因为ＬＣ⊥ＡＣ ,所以…     

利用割补巧求几何体的体积

我们熟知的体积计算公式只有柱、锥、台、球这四种几何体 .而对于这四种几何体以外的几何体我们暂且称为不规则几何体 .图 1本文以一例介绍如何使用割补法 ,将不规则几何体转化为规则几何体 .题目　如图 1,已知多面体ＡＢＣ ＤＥＦＧ中 ,ＡＢ、ＡＣ、ＡＤ两两互相垂直 ,平面ＡＢＣ∥平面ＤＥＦＧ ,平面ＢＥＦ∥平面ＡＤＧＣ ,ＡＢ =ＡＤ =ＤＧ =2 ,ＡＣ =ＥＦ =1,则该多面体的体积为 (　　 ) .(Ａ) 2　 (Ｂ) 4　 (Ｃ) 6　 (Ｄ) 8一、利用切割转化成规则几何体图 2解法一　作ＡＫ∥ＣＧ交ＤＧ于Ｋ ,(如图2 )连结ＦＫ .易证几何体ＡＤＫ ＢＥ…     

2002年中国数学奥林匹克试题解答

1　△ＡＢＣ的三边长分别为ａ ,ｂ ,ｃ ,ｂ <ｃ,ＡＤ是∠Ａ的平分线 ,点Ｄ在边ＢＣ上 ,1)求在线段ＡＢ ,ＡＣ内分别存在点Ｅ ,Ｆ(不是顶点 )满足ＢＥ =ＣＦ和∠ＢＤＥ =∠ＣＤＦ的充要条件(用角Ａ ,Ｂ ,Ｃ表示 ) ;图 1　题 1图2 )在点Ｅ和Ｆ存在的情况下 ,用ａ ,ｂ ,ｃ表示ＢＥ的长 .解　 1)设∠ＦＤＣ =∠ＥＤＢ =α ,则在△ＤＦＣ中 ,由正弦定理得ＣＦｓｉｎα =ＣＤｓｉｎ∠ＤＦＣ =ＣＤｓｉｎ(α +Ｃ) .即　　ＣＦ =ＣＤｓｉｎαｓｉｎ(Ｃ +α) (1)在△ＤＥＢ中 ,同理有　　　ＢＥ =ＤＢｓｉｎαｓｉｎ(Ｂ +α) (2 )由 (1) ,(2 )及ＢＥ …     

一道开放题的结论及其应用

如图 1,把矩形纸片ＡＢＣＤ的顶点Ｃ与Ａ重合折叠 ,折痕ＥＦ交对角线ＡＣ于点Ｏ .请根据上述条件 ,写出一个正确的结论 ,并给予计算或证明 .这是一道结论开放型折纸题 .根据轴对称图形的性质和矩形的性质 ,通过对图形进行观察、思考和推理 ,可以得出数条结论 ,这里给出其中常用的几条 ,供读者参考 .( 1)Ｒｔ△ＡＢＦ≌△Ｒｔ△ＣＤＥ≌Ｒｔ△ＡＧＥ ;( 2 )四边形ＡＦＣＥ是菱形 ;( 3 )折痕ＥＦ与对角线ＡＣ互相垂直平分 ;( 4)Ｒｔ△ＣＯＦ∽Ｒｔ△ＣＢＡ ;( 5)Ｓ梯形ＡＢＦＥ=Ｓ梯形ＣＤＥＦ=Ｓ梯形ＡＧＥＦ.上述结论的计算或证明留给读者完…     

2003年中考数学模拟试题(8)

一、填空题 (本大题满分 3 6分 ,每小题 3分 )1 .-3的绝对值是 .2 .ｓｉｎ60° =.3 .函数 ｙ =ｘ -1的自变量ｘ的取值范围是.4.分母有理化 :12 +3 =.5 .若实数ａ ,ｂ分别满足ａ2 -5ａ +2 =0 ,ｂ2 -5ｂ+2 =0 ,则 ｂａ +ａｂ =.6.分解因式 :ｘ3-4ｘ =.7.若直线 ｙ =2ｘ +ｂ过点 ( 2 ,1 ) ,则ｂ =.8.如图 ,如果ｍ∥ｎ ,∠ 1 =40°,那么∠ 2 =.9.如图 ,△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =ＡＣ ;△ＤＥＦ中 ,ＤＥ =ＤＦ .要使得△ＡＢＣ∽△ＤＥＦ ,还需增加一个条件是(填上你认为正确的一个即可 ,不必考虑所有可能情况 ) .1 0 .如图 ,Ａ ,Ｂ是⊙Ｏ上两点 ,且∠…     

参赛应用题选登

题 3 3　如图 1 ,设甲楼座落在正南正北方向 ,楼高ＡＢ =1 6ｍ ,又要在甲楼的后面盖一座乙楼ＣＤ .已知冬天太阳最低时的高度为3 2° ,问 :1 )若两楼相距ＢＤ =2 0ｍ ,则甲楼的影子落在乙楼上有多高 ?2 )如果甲楼的影子不会落在乙楼上 ,那么两楼之间的距离ＢＤ至少是多少米 ?图 1　题 33图解　 1 )如图 1所示 ,过点Ｅ作ＥＦ⊥ＡＢ ,垂足为Ｆ .在△ＡＥＦ中 ,∠ＡＥＦ =3 2°,∠ＡＦＥ =90° ,ＥＦ=ＢＤ =2 0ｍ ,所以ＡＦ =2 0ｔｇ3 2°≈1 2 .5(米 ) ,ＥＤ =1 6- 1 2 .5=3 .5(米 ) .即甲楼的影子落在乙楼上有 3 .5米高 .2 )在Ｒｔ△ＡＢＤ中…     

数学问题解答

20 0 1年 1 1月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 4 1　锐角三角形ＡＢＣ中有内接△ＤＥＦ ,且ＦＤ⊥ＢＣ于Ｄ ,ＤＥ ⊥ＡＣ于Ｅ ,ＥＦ ⊥ＡＢ于Ｆ ,求证 :Ｓ△ＡＢＣ ≥ 3Ｓ△ＤＥＦ.(武汉华中理工大学西十四舍 5号　黄元兵　 43 0 0 74)证　△ＡＢＣ三边分别与△ＤＥＦ三边垂直 ,又△ＡＢＣ为锐角三角形 ,有∠Ａ =∠ＤＥＦ ,∠Ｂ =∠ＥＦＤ ,∠Ｃ =∠ＦＤＥ即有△ＡＢＣ ∽△ＤＥＦ .又公比ｑ=ＢＣＤＦ =ＢＤＤＦ ＣＤＤＦ=ｃｏｔＢ ＤＥＤＦｓｉｎＣ=ｃｏｔＢ ｓｉｎＢｓｉｎＡｓｉｎＣ =ｃｏｔＢ ｓｉｎ(Ａ Ｃ)ｓｉｎＡｓｉｎＣ=…     

分割棱台求体积的新想法

预备定理　设斜截三棱柱ＥＦ ＡＢＣＤ中 ,ＥＦＡＢ=λ,ＤＣＡＢ=ｍ ,底面ＡＢＣＤ的面积为Ｓ ,ＥＦ与面ＡＢＣＤ的距离为ｈ ,(如图 1)则斜截三棱柱的体积为Ｖ =(λ +ｍ + 1)3(ｍ + 1) ·Ｓ·ｈ .该定理证明见文 [1],从略 .已知棱台Ａ′Ｂ′Ｃ′ ＡＢＣ中 ,设Ｓ△Ａ′Ｂ′Ｃ′ =Ｓ1,Ｓ△ＡＢＣ=Ｓ2 ,高为ｈ ,试推导三棱台的体积公式 .图 2　棱台解　如图 2 ,作Ａ′Ｄ∥ＢＢ′ ,Ｃ′Ｅ∥ＢＢ′分别交ＡＢ ,ＣＢ于Ｄ ,Ｅ .其中Ａ′Ｂ′Ｃ′ ＤＢＥ为三棱柱 ,值得注意的是几何体Ａ′Ｃ′ ＡＤＥＣ即为上文所提到的斜截三棱柱 ,对其应用定理 :λ…     

一个几何恒等式的推广及其应用

关于几何恒等式有好多 ,不胜枚举 .今介绍如下一个几何恒等式 ,并给出它的应用 .定理 1　设△ＡＢＣ的三边ａ、ｂ、ｃ上的高分别为ｈａ、ｈｂ、ｈｃ,Ｐ为△ＡＢＣ内部的任意一点 ,过Ｐ向三边作垂线段ＰＤ =ｒａ,ＰＥ=ｒｂ,ＰＦ =ｒｃ,若设△ＡＢＣ、△ＤＥＦ的面积为△与△′ ,则有　 4△△′ =ｒａｒｂｈａｈｂ ｒｂｒｃｈｂｈｃ ｒｃｒａｈｃｈａ. ( 1)证明　如图 1,因为ＰＤ⊥ＢＣ ,ＰＥ ⊥ＣＡ ,ＰＦ ⊥ＡＢ ,故　∠Ａ ∠ＥＰＦ =π ,∠Ｂ ∠ＦＰＤ =π ,∠Ｃ ∠ＤＰＥ =π .由三角形的面积公式可得　△′ =Ｓ△ＥＰＦ Ｓ△ＦＰＤ …     

说说高中数学中各种角定义及范围

一、问题的提出已知 :直三棱柱Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 -ＡＢＣ ,ＡＢ =ＡＣ =ＡＡ1 且Ａ1 Ｂ与ＡＣ1 所成的角为 6 0° ,则∠ＣＡＢ的度数为 (　　 ) .(Ａ) 30°　 (Ｂ) 6 0°(Ｃ) 90°　 (Ｄ) 4 5°一位高三教师找到我 ,说这道题用补形法补成正方体 ,很易解答 ,选 (Ｃ) ,但有的学生提出 :如图分别取Ａ1 Ｂ1 ,Ａ1 Ａ ,Ａ1 Ｃ1 ,ＡＢ之中点Ｍ、Ｅ、Ｆ、Ｇ .连接ＥＧ、ＥＦ ,则由题给条件易知∠ＧＥＦ =6 0° ,若设ＡＢ =ＡＣ =ＡＡ1 =1,则ＥＦ =ＥＧ =22 ,∴ＧＦ= 22 ,但这样在Ｒｔ△ＧＭＦ中直角边ＧＭ =Ａ1 Ａ =1就会大于斜边ＧＦ =22 .究竟错在哪里 …     

三角形的一个命题及其推论

在三角形 ,有以下一个有趣的命题 :命题　设Ｅ、Ｆ分别为△ＡＢＣ的边ＢＣ上的两点 ,记 ＢＥＥＣ =α1 、ＢＦＦＣ =α2 ,且 0 <α1 <α2 ,若任一直线分别与ＡＢ、ＡＥ、ＡＦ、ＡＣ或其延长线交于点Ｍ、Ｇ、Ｈ、Ｄ ,则不论直线的位置如何 ,总有 ＧＨＭＤ ≤α2 - α1α2 α1.为使证明简洁明了 ,首先给出如下引理 :引理　设Ｅ、Ｄ分别为△ＡＢＣ的边ＢＣ、ＣＡ上的两点 ,记 ＢＥＥＣ =α、ＣＤＤＡ =β ,ＢＤ与ＡＥ交于点Ｇ ,则 ＢＧＧＤ =α(1 β) .证明　如图 1所示 ,在△ＢＣＤ中 ,由梅涅劳斯 (Ｍｅｎｅｌａｕｓ)定理得　 ＢＥＥＣ· Ｃ…     

从一道赛题到一个著名定理

学数学离不开习题 ,但解题不可盲目 ,应少而精 .与其泛泛地解许多题而印象淡薄 ,不如深入剖析一道题 ,并研究它的发展与变化 ,从而对知识有透彻地理解 .这样便会收到以少胜多的效果 .下面以一赛题为例 ,略加阐述 .一题目与解法图 1题目　如图 1,在△ＡＢＣ中 ,ＡＤ∶ＤＣ =1∶3 ,ＢＥ∶ＥＤ =1∶1.试求ＢＦ∶ＦＣ .这原是美国犹他州 2 0 0 0年数学竞赛中的一道选择题 ,这里改成求解形式 .见《中等数学》2 0 0 0年第 2期 .图 2解　本题有中点 ,因此容易想到中位线 ,为此 ,取ＢＣ的中点Ｍ ,如图 2 .则由ＥＭ∥ＤＣ知　ＦＭＦＣ=ＥＭＡＣ=12Ｄ…     

关于四面体的两个新命题

四面体是空间较简单的几何体 ,笔者通图 1　命题 1图过将它与三角形进行类比 ,得到如下两个命题 .命题 1　如图 1 ,Ｅ ,Ｆ ,Ｇ ,Ｈ分别是四面体Ａ ＢＣＤ棱ＡＢ ,ＢＣ ,ＣＤ ,ＤＡ上的点 ,则Ｅ ,Ｆ ,Ｇ ,Ｈ四点共面的充要条件是ＡＥＥＢ·ＢＦＦＣ·ＣＧＧＤ·ＤＨＨＡ=1 .证　先证充分性 .分两种情况 :　　 1 )当ＥＦ∥ＡＣ时 ,有 ＡＥＥＢ=ＣＦＦＢ.由 ＡＥＥＢ·ＢＦＦＣ·ＣＧＧＤ·ＤＨＨＡ=1知ＣＧＧＤ=ＨＡＨＤ.∴ＨＧ∥ＡＣ .∴ＥＦ∥ＨＧ .∴Ｅ ,Ｆ ,Ｇ ,Ｈ四点共面 .2 )当ＥＦ∥\ＡＣ时 ,设直线ＥＦ与直线ＡＣ相交于点Ｐ ,连结Ｐ…     

空间四边形的一个定理

定理　在空间四边形中 ,如果它的两组对边分别相等 ,那么连结两对角线中点的直线垂直于两对角线 ;反之 ,如果连结两对角线中点的直线垂直于两对角线 ,那么它的两组对边分别相等 .图 1已知 :空间四边形ＡＢＣＤ中 ,Ｅ、Ｆ分别是两对角线ＡＣ和ＢＤ的中点 .求证 :(1 )若ＡＢ =ＣＤ ,ＢＣ =ＡＤ ,则ＥＦ⊥ＡＣ ,ＥＦ⊥ＢＤ ;(2 )若ＥＦ⊥ＡＣ ,ＥＦ⊥ＢＤ ,则ＡＢ=ＣＤ ,ＢＣ=ＡＤ .证明　如图 1 ,取ＡＢ的中点Ｐ ,ＢＣ的中点Ｍ ,ＡＤ的中点Ｎ ,连结ＰＥ、ＰＦ、ＰＭ、ＰＮ和ＥＭ、ＥＮ、ＦＭ、ＦＮ ,则ＥＭ =∥ 12 ＡＢ ,　ＦＮ =∥ 12 ＡＢ ,…     

一个等比分割问题的推广

文 [1]给出了如下结论 :如图 1,在矩形ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ =2ａ ,ＡＤ =2ｂ ,Ｐ是上半平面上一点 ,ＰＤ ,ＰＣ与线段ＡＢ分别交于Ｄ1,Ｃ1,若ＡＤ1,Ｄ1Ｃ1,Ｃ1Ｂ图 1成等比数列 ,则Ｐ点的轨迹为椭圆 (上半部分 ) .本文将考虑该问题的逆问题 ,并将该结论进行推广 .结论 1　如图 2 ,Ｐ(ｘ ,ｙ)是椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ)上一点 ,ｙ >0 ,以长轴ＡＢ为边作矩形ＡＢＣＤ ,ＡＤ =2ｂ ,ＰＤ ,ＰＣ分别交ＡＢ于Ｄ1,Ｃ1,则ＡＤ1,Ｄ1Ｃ1,Ｃ1Ｂ成等比数列 .图 2　结论 1图证　过Ｐ作ＥＦ∥ＡＢ交ＤＡ的延长线于Ｅ ,交ＣＢ的延长线于Ｆ ,则ＰＥ =ａ…     

一类有趣的几何连比题

应用九年义务教材初中《几何》第二册第 2 5 5页第1 7题“过△ＡＢＣ的顶点Ｃ任作一直线 ,与边ＡＢ及中线ＡＤ分别交于点Ｆ和Ｅ ,求证 :ＡＥ∶ＥＤ =2ＡＦ∶ＦＢ”(图 1 ,图 2 )可巧解一类有趣的几何连比问题例 1　如图 3 ,△ＡＢＣ中 ,ＡＤ是中线 ,Ｅ在ＡＣ上 ,Ｆ在ＡＢ上 ,且ＡＥ∶ＥＣ =5∶4,ＡＦ∶ＦＢ =2∶3 .又ＣＦ ,ＢＥ分别交ＡＤ于Ｇ ,Ｈ ,则ＡＧ∶ＧＨ∶ＨＤ =.解 :设ＡＧ =ｘ ,ＧＨ =ｙ,ＨＤ =ｚ ,则由课本习题结论得　ｘｙ +ｚ=2ＡＦＦＢ =2× 23 =43 ,ｘ +ｙｚ =2ＡＥＥＣ =2× 54=52 .化简得 3ｘ -4ｙ =4ｚ ,2ｘ +2 ｙ =5ｚ .…     

数学问题解答

20 0 2年 1 0月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 96　⊙Ｏ是△ＡＢＣ的内切圆 .Ｄ、Ｅ、Ｆ是ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上的切点 ,ＤＤ′、ＥＥ′、ＦＦ′都是⊙Ｏ的直径 .求证 :直线ＡＤ′、ＢＥ′、ＣＦ′共点 .(安徽省怀宁江镇中学　黄金福　2 461 42 )证明　设直线ＡＤ′、ＢＥ′、ＣＦ′交ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ于Ａ′、Ｂ′、Ｃ′.过Ｄ′作⊙Ｏ切线交ＡＢ、ＡＣ于Ｍ、Ｎ显然ＭＮ ∥ＢＣ △ＡＭＤ′∽△ＡＢＡ′,△ＡＤ′Ｎ ∽△ＡＡ′Ｃ . ＭＤ′ＢＡ′ =ＡＤ′ＡＡ′ =Ｄ′ＮＡ′Ｃ ＢＡ′Ａ′Ｃ =ＭＤ′Ｄ′Ｎ①连结ＯＭ、ＯＮ .记⊙Ｏ半径…