二项式定理与组合恒等式

二项式定理是组合数学中一个重要的恒等式 ,即(ａ ｂ) ｎ= ｎｉ=0 Ｃｉｎａｎ -ｉｂｉ.其中Ｃｉｎ 称为二项式系数 .由于组合计数问题在数学竞赛中的重要地位 ,熟练地掌握组合数的性质 ,并能灵活地运用它们来解决各种问题 ,这对参赛选手来说 ,是十分必要的 .本文我们将介绍计算含有组合数的和式以及证明组合恒等式的一些常用方法 .例 1　证明 :Ｃ1ｎ 2Ｃ2 ｎ 3Ｃ3ｎ … ｎＣｎｎ=ｎ·2 ｎ - 1.证　注意到组合数的性质Ｃｋｎ=ｎｋＣｋ- 1ｎ - 1,∴Ｃ1ｎ =ｎＣ0 ｎ - 1,2Ｃ2 ｎ =ｎＣ1ｎ - 1,… ,ｎＣｎｎ =ｎＣｎ - 1ｎ - 1.于是　Ｃ1ｎ 2…     

一道令人深思和回味的高考题——2001年高考理科数学第（20）题评析

20 0 1年高考理科数学第 (2 0 )题是一道难题 ,也是一道好题 !说其难 ,是指相当多的学生在考试时面对该题 ,茫然无措 ,一头雾水 .待到考试后查对答案估分时 ,又突然恍然大悟 ,同时追悔莫及 !说其好 ,是指该题综合性强 ,有效融入了排列、组合、二项式定理、不等式等知识 ,深刻地考察了学生的逻辑思维能力和应变能力 ,做到了在知识网络的交汇点上设计问题 ,体现了高考改革的命题方向 .例 1　 (2 0 0 1年高考理科第 (2 0 )题 )已知ｉ,ｍ ,ｎ是正整数 ,且 1<ｉ≤ｍ <ｎ .1)证明 :ｎｉＰｉｍ<ｍｉＰｉｎ;2 )证明 :(1 ｍ) ｎ>(1 ｎ) ｍ.解　 1)需…     

构造组合数模型巧证组合恒等式

证明组合恒等式,一般是利用组合数的性质、数学归纳法、二项式定理等,通过一些适当的计算或化简来完成.但是,很多组合恒等式,也可直接利用组合数的意义来证明.即构造一个组合问题的模型,把等式两边看成同一组合问题的两种计算方法,由结论的唯一性,即可证明组合恒等式.例1证明:C     

两类求和问题的组合模型

二项式定理的一个重要应用就是证明与组合数有关的恒等式 ,这种恒等式实际上就是某类数列之和 ,这启示我们可以通过构造组合模型计数的方法来求一类数列的和 .下面的例子在高中课本中都是用数学归纳法证明的 ,学生可能会问 :怎样由等式的左边导出它的右边呢 ?本文的方法正好给出了一种回答 .例 1　 1× 2× 3…ｋ 2× 3× 4… (ｋ 1) 3× 4× 5… (ｋ 2 ) …ｎ(ｎ 1) (ｎ 2 )… [ｎ (ｋ - 1) ] =1ｋ 1(ｎ ｋ) (ｎ ｋ - 1)… (ｎ 1)ｎ .证　考虑取自数集Ｓ ={1,2 ,3 ,… ,ｎ ｋ}且排尾取最大值的 (ｋ 1) -排列 .首先 ,全体 (ｋ…     

杨辉恒等式与一类数列的求和

组合数的性质Ｃｍｎ Ｃｍ 1ｎ=Ｃｍ 1ｎ 1又称为杨辉恒等式,利用杨辉恒等式,可得1)Ｃ22 Ｃ12 Ｃ13 … Ｃ1ｎ=Ｃ2ｎ 1;2)Ｃ33 Ｃ23 Ｃ24 … Ｃ2ｎ 1=Ｃ3ｎ 2;3)Ｃ44 Ｃ34 Ｃ35 … Ｃ3ｎ 2=Ｃ4ｎ 3;4)Ｃ55 Ｃ45 Ｃ46 … Ｃ4ｎ 3=Ｃ5ｎ 4;……由这一组恒等式,可方便地解决一类数列的求和问题.事实上,1)即是1 2 3 … ｎ=ｎ(ｎ 1)2;2)即是2·12! 3·22! 4·32! … (ｎ 1)ｎ2!=(ｎ 2)(ｎ 1)ｎ3!.∴1·2 2·3 3·4 … ｎ(ｎ 1)=ｎ(ｎ 1)(ｎ 2)3;　　3)即是3·2·13! 4·3·23! 5·4·33! … (ｎ 2)(ｎ 1)ｎ3!=(ｎ 3)(ｎ 2)(ｎ 1)ｎ4!,∴1·2·3 2·…     

等差数列的有趣性质

新教材第 117页练习 2 ( 2 )题是 :在等差数列中 ,已知ａ3=9,ａ9=3 ;求ａ12 的值 .这是一道很简单的等差数列问题 ,易求得ａ12 =0 ,但细看数字特征 ,会发现这是等差数列的一个有趣性质 .更一般地有 :在等差数列中若ａｍ=ｎ ,ａｎ=ｍ ,则ａｍ +ｎ=0 .证明一　ａｍ=ａ1+ (ｍ -1)ｄ =ｎ和ａｎ=ａ1+ (ｎ -1)ｄ =ｍ ,联合两式解方程组得ａ1=ｍ +ｎ -1和ｄ =-1.所以　ａｍ +ｎ=ａ1+ (ｍ +ｎ -1)ｄ =0 .证明二　ａｎ=ａｍ+ (ｎ -ｍ)ｄ ,即　ｍ =ｎ + (ｎ -ｍ)ｄ ,从而有ｄ =-1,所以ａｍ +ｎ=ａｍ+ (ｍ +ｎ -ｍ)ｄ =ｎ -ｎ =0 .这里巧用通项与某项的…     

S_n=na_1 n(n-1)d/2的组合模型

1　问题的提出在学习组合数公式时 ,王老师提出了一个很有趣的问题 :等差数列求和公式Ｓｎ=ｎａ1 ｎ(ｎ - 1 )2 ｄ ,还可以写成Ｓｎ=Ｃ1ｎａ1 Ｃ2 ｎｄ ,那么 ,等差数列前ｎ项和Ｓｎ 与组合到底有什么联系呢 ?2　思维的过程很自然地 ,我先从等差数列方面着手 ,可是怎么也找不到它与组合的联系 .于是我就反过来想 ,从组合中找等差数列 .注意到Ｃ2 ｎ好像与握手问题有关 .我就想方设法从中构造出等差数列 ,如何构造呢 ?同时考察ｎ个人握手很难与等差数列相联系 ,那么我就把ｎ个人一个一个分开讨论 .先看单独的一个人 ,这时没有人与之握手 ,故…     

组合数的又一性质——由《概率论》中离散型随机变量的分布列的性质想到的

初等数学中关于组合数有两条性质 :Ｃｍｎ =Ｃｎ-ｍｎ 及Ｃｍｎ+1 =Ｃｍｎ +Ｃｍ- 1 ｎ ,组合数还有如下性质 :定理　若ｍ ,ｎ ,ｋ∈Ｎ ,且ｍ≤ｎ ,ｍ≤ｋ ,则有Ｃｍｎ+ｋ =∑ｉ+ｊ=ｍＣｉｎＣｊｋ这里先回顾一下《概率论》中离散型随机变量的分布列所具有的性质 :设 ζ为一离散型随机变量 ,它所有可能取的值为ｘ1 ,ｘ2 ,… ,ｘｎ,事件 { ζ=ｘｉ}的概率为ｐｉ(ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ) .即Ｐ{ ζ=ｘｉ} =ｐｉ(ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ) ①式①为离散型随机变量 ζ的分布列 ,它可用表格的形式绘出 (表 1 )表 1ζ ｘ1 ｘ2 … ｘｎＰ ｐ1 ｐ2 … ｐｎ　　任一…     

用二项式定理证明不等式

二项式定理应用很广泛 ,其中在证明幂不等式和组合不等式方面具有独特的作用 ,下面分类举例说明 :1　利用二项展开式进行放缩例 1　已知函数ｆ(ｘ) =2 ｘ- 12 2 1.证明 :对于任意不小于 3的自然数ｎ ,都有 ｆ(ｎ) >ｎｎ 1.证　当ｎ≥ 3时 ,ｆ(ｎ) >ｎｎ 1 1- 22 ｎ 1>1- 1ｎ 1 2 ｎ>2ｎ 1,∵ 2 ｎ=(1 1) ｎ=Ｃ0 ｎ Ｃ1ｎ Ｃ2 ｎ … Ｃｎ -1ｎ Ｃｎｎ>Ｃ0 ｎ Ｃ1ｎ Ｃｎ -1ｎ =1 ｎ Ｃ1ｎ=2ｎ 1,∴ ｆ(ｎ) >ｎｎ 1(ｎ≥ 3)成立 .注　对于 (1 ｘ) ｎ= ｎｋ =0 Ｃｋｎｘｋ 常利用整体大于它的部分产生不等关系 .例 2　求证Ｃｎ2ｎ -1…     

对一个传球问题的探究

1　原问题三个人相互传球 ,由甲开始发球 ,并作为第一次传球 ,经过 5次传球后 ,球仍回到甲手中 ,则不同的传球方式共有 (　　 )(Ａ) 6种 .　　　　 (Ｂ) 8种 .(Ｃ) 10种 . (Ｄ) 16种 .简解　这是 2 0 0 2年广州市普通高中毕业班综合测试 (一 )的第 12题 ,画树图或枚举不难知道 ,符合题意的传球方式共有 10种 ,所以选 (Ｃ) .本文约定 ,如不加说明 ,ｎ ,ｍ都表示正整数 .2　探究一　三个人相互传球 ,由甲开始发球 ,经过ｎ次传球后 ,球仍回到甲手中 ,则不同的传球方式共有多少种 ?2 .1　归纳—猜想设 ｆ(ｎ)表示符合题意的传球方式数 ,用解答原…     

一个容易被忽视的问题——对一道习题答案的纠正与讨论

在职高教材通用本数学第一册中有这样一道题 ,比较ｍ ,ｎ的大小 ,其中有一小题是ｌｏｇｍ5 4>ｌｏｇｎ5 4,新版与旧版教参中答案均为ｍ <ｎ .可以看出 ,这是不全面的 .比如取ｍ =5 4,ｎ =0 1 ,显然ｌｏｇ5 45 4>ｌｏｇ0 1 5 4,而 5 4>0 1 ,即ｍ >ｎ .下面就一般情况做如下讨论 .若ｌｏｇｍｘ >ｌｏｇｎｘ ,比较ｍ ,ｎ的大小 .1　当ｘ>1时 ,即在直线ｘ=1右侧研究图象即可 ,有下面三种情况 :(1 )当ｍ >1 ,ｎ >1时 ,见图象ａ(1 ) .　　 (2 )当 0 <ｍ <1时 ,0 <ｎ <1时 ,见图象ａ(2 ) .(3)当ｍ >1 ,0 <ｎ <1时 ,见图象ａ(3) .显然在 (1 )及 (…     

对一个不等式的深入思考

问题　在△ＡＢＣ中 ,角Ａ ,Ｂ ,Ｃ的对边分别为ａ ,ｂ ,ｃ ,若Ａ +Ｃ≤ 2Ｂ ,求证 :ａ4+ｃ4≤ 2ｂ4.这是《数学教学》2 0 0 1年第 6期问题栏的一道新题 ,我们的深入思考是 :从次数方向探索 ,对自然数ｎ ,此题有无推广的新题呢 ?推广 1　在△ＡＢＣ中 ,角Ａ ,Ｂ ,Ｃ的对边分别为ａ ,ｂ ,ｃ ,若Ａ +Ｃ≤ 2Ｂ ,求证 :1 )对于 1≤ｎ≤ 4 (ｎ∈Ｎ) ,不等式ａｎ+ｃｎ≤ 2ｂｎ 均成立 ;2 )对于ｎ >4 (ｎ∈Ｎ) ,不等式ａｎ+ｃｎ≤2ｂｎ不能成立 .证　 1 )由原不等式ａ4+ｃ4≤ 2ｂ4的证明过程易知 ,其等号当且仅当ｃｏｓＢ =12 ,且ｂ2 =ａｃ,即ａ =…     

三角数列恒等式的证明

１引言有关三角数列和、积恒等式的证明问题,在现行高中数学教材中是用数学归纳法证明的,当然数学归纳法是证明这类恒等式的基本方法,但是过程比较繁琐．本文给出一种简洁的证明方法,它可以作为证明数列恒等式的通法．２两个定理定理１如果ｆ（ｎ）－ｆ（ｎ－１）＝ｇ...     

一道三角恒等式的作差证明

三角恒等式是三角函数的重点内容,其证明方法因三角函数的多变而数不胜数,但大多是从正面考虑变形直接得证.作差法在不等式证明中属常用手法之一.当它应用于技巧性强的三角恒等式证明时,往往也很方便. 例题求证: 分析此题若从正面考虑,其过程涉及众多变形,十分繁杂.但我们看题中给出各项的     

构造概率模型证明组合恒等式

对于组合数恒等式的证明无固定的方法, 使得人们常感到无从下手.下面介绍构造概率 模型证明组合恒等式几例,供读者参考. 例1 求证:Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n. 证明 设事件A在一次试验中发生的概率 为1/2,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的 概率是:PA(k)=Cnk(1/2)k·(1-1/2)n-k=1/2nCnk. 令k=0,1,2,…,n,并求和得 即 Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n. 例2 求证:(Cn0)2+(Cn1)2+…+(Cnn)2= C2nn. 证明 设一个口袋中有n个白球n个红 球,任取n个球,求A={至少有一个白球}的概     

向量巧证不等式

在不等式证明中 ,若能根据其结构特点 ,构造向量 ,运用向量的数量积知识 ,则可使问题得到出其不意地解决 .例 1　已知ａ、ｂ、ｃ、ｄ∈Ｒ ,求证 :(ａｃ+ｂｄ) 2 ≤ (ａ2 +ｂ2 ) (ｃ2 +ｄ2 ) .证明　构造向量ｍ—→ =(ａ ,ｂ) ,ｎ—→=(ｃ ,ｄ) ,设ｍ—→ 与ｎ—→ 的夹角为θ ( 0≤θ≤π) ,则　ｍ—→·ｎ—→ =ａｃ +ｂｄ ,　 |ｍ—→| =ａ2 +ｂ2 ,　　 |ｎ—→| =ｃ2 +ｄ2 ,∵　ｍ—→·ｎ—→ =|ｍ—→|·|ｎ—→|ｃｏｓθ≤ |ｍ—→|·|ｎ—→| ,∴　 (ａｃ+ｂｄ) 2 ≤ (ａ2 +ｂ2 ) (ｃ2 +ｄ2 ) .例 2　设ｘ ,ｙ∈Ｒ+ ,且ｘ + ｙ =1 ,…     

等式sum from n=1 to ∞(1/n~4=π~4/90)的初等证明

本文利用初等方法证明∑∞ｎ =11ｎ4 =π490 .1　几个引理引理 1　 ∑∞ｎ =1ｃｏｔ2 ｎπ2ｍ+1 =13 ｍ(2ｍ-1 ) ,∑ｍｎ ,ｌ =1ｎ<ｌｃｏｔ2 ｎπ2ｍ +1 ｃｏｔ2 ｌπ2ｍ +1=13 0 ｍ (ｍ -1 ) (2ｍ -2 ) (2ｍ-3 ) .其中ｍ、ｌ、ｎ等均表示整数 ,下同 .证明　由ｄｅ·Ｍｏｖｒｅ公式得ｃｏｓ(2ｍ +1 )α+ｉｓｉｎ(2ｍ +1 )α=(ｃｏｓα+ｉｓｉｎα) 2ｍ+1于是 ,ｃｏｓ(2ｍ +1 )α+ｉｓｉｎ(2ｍ+1 )α=∑ｍｋ =0(-1 ) ｋＣ2ｋ2ｍ+1ｃｏｓ2 (ｍ-ｋ) +1αｓｉｎ2ｋα+ｉ∑ｍｋ =0(-1 ) ｋＣ2ｋ+12ｍ+1ｃｏｓ2 (ｍ-ｋ) αｓｉｎ2ｋ+1α. (1 )比…     

等差数列的又一个有趣性质

在文 [1]中介绍并证明了———等差数列的一个有趣性质 :性质Ａ　若ａ1,ａ2 ,ａ3 ,… ,ａｎ,ａｎ 1成等差数列(2≤ｎ∈Ｎ) ,则有恒等式Ｃ0 ｎａ1-Ｃ1ｎａ2 Ｃ2 ｎａ3 -… (- 1) ｋＣｋｎａｋ 1 … (- 1) ｎ - 1Ｃｎ - 1ｎ ａｎ (- 1) ｎＣｎｎａｎ 1=0 .显然 ,性质Ａ对含有 (ｎ 1)项的等差数列都成立 (2≤ｎ∈Ｎ) .此外 ,我们还发现了酷似性质Ａ的———等差数列的又一个有趣性质 :性质Ｂ　若Ｓｎ 是等差数列 {ａｎ}的前ｎ项和 ,则当 3≤ｎ∈Ｎ时 ,恒有等式Ｃ1ｎＳ1-Ｃ2 ｎＳ2 Ｃ3 ｎＳ3 -… (- 1) ｋ- 1ＣｋｎＳｋ … (- …     

分母含组合数的两类幂和的递推求解

文 [1 ]用递推的方法求解了两类幂和∑ｎｋ =1Ｃｋｎｋｍ 与∑ｎｋ =1Ｃｋｎ+ｋｋｍ,本文用类似方法求解另两类有趣的幂和 ∑ｎｋ=1(-1 ) ｋｋｎ/Ｃｋｎ 与 ∑ｎｋ=1ｋｍ/Ｃｋｎ+ｋ.定理 1　记Ｓｍ(ｎ) =∑ｎｋ =1(-1 ) ｋｋｍ/Ｃｋｎ(ｍ ,ｎ∈Ｎ) ,则Ｓｍ(ｎ) =(ｎ+1 ) ∑ｍｉ=0(-1 ) ｉ+1ＣｉｍＳｍ-ｉ- 1(ｎ+1 ) (1定理 2　设Ｔｍ(ｎ) =∑ｎｋ =1ｋｍ/Ｃｋｎ+ｋ,(ｍ ,ｎ ∈Ｎ) ,则∑ｍｉ=1(-1 ) ｉ(Ｃｉｍ-ｎＣｉ- 1ｍ )Ｔｍ-ｉ(ｎ) =(-1 ) ｍ+1+((-1 ) ｍ-ｎｍ) /Ｃｎ2ｎ (2 )分母含组合数的两类幂和的递推求解@郑德印$淮北煤炭师范学院…     

等比数列一个性质的运用

性质　设数列 {ａｎ}是等比数列 ,公比ｑ≠ 1,Ｓｎ 为它的前ｎ项和 ,规定Ｓ0 =0 ,则对任意的自然数ｍ ,ｎ ,当ｍ≠ｎ时 ,总有Ｓｎ-Ｓｍｑｎ-ｑｍ =ａ1 ｑ -1=常数 .此性质的证明不难 ,只须将Ｓｎ =ａ1 ( 1-ｑｎ)1-ｑ ,Ｓｍ=ａ1 ( 1-ｑｍ)1-ｑ 代入便得 ,同时也可验证当ｍ和ｎ之一为零时 ,结论也成立 .本文主要利用 Ｓｎ-Ｓｍｑｎ-ｑｍ 为常数这一特征简捷求解某些等比数列的“和”问题 .例 1　 ( 1990年广东试题 )已知等比数列的公比为 2 ,且前 4项之和为 1,那么前 8项之和等于 (　　 )(Ａ) 15 .　 (Ｂ) 17.　 (Ｃ) 19.　 (Ｄ) 2 1.解　由性…