一类三角恒等式的“特值验证法”

命题　若 ｆ(ｘ) =Ａｓｉｎｘ Ｂｃｏｓｘ满足ｆ(ｘ1) =ｆ(ｘ2 ) =0 ,且ｘ1-ｘ2 ≠ｋπ (ｋ∈Ｚ) ,则ｆ(ｘ) ≡ 0 .证　∵ Ａｓｉｎｘ1 Ｂｃｏｓｘ1=0Ａｓｉｎｘ2 Ｂｃｏｓｘ2 =0 (1 )而Ｄ =ｓｉｎｘ1　ｃｏｓｘ1ｓｉｎｘ2 　ｃｏｓｘ2=ｓｉｎｘ1ｃｏｓｘ2 -ｃｏｓｘ1ｓｉｎｘ2 =ｓｉｎ(ｘ1-ｘ2 )≠ 0 (∵ｘ1-ｘ2 ≠ｋπ ,ｋ∈Ｚ) ,故关于Ａ ,Ｂ的齐次线性方程组 (1 )只有零解Ａ =Ｂ =0 ,则ｆ(ｘ) ≡ 0 .据此命题可知 :对于某些三角恒等式证明题 ,若能转化为ｓｉｎｘ ,ｃｏｓｘ的一次齐次式ｆ(ｘ) =Ａｓｉｎｘ Ｂｃｏｓｘ ,只需取特殊值…     

方程思想在解三角问题中的运用

我在学习的过程中 ,发现一些三角函数问题可以利用方程的思想来解决 ,避免了由于公式不熟或其它原因造成的错误 .以下举例说明 .例 1　已知 2ｓｉｎ2 ｘ -ｃｏｓ2 ｘ +ｓｉｎｘｃｏｓｘ - 6ｓｉｎｘ +3ｃｏｓｘ =0 ,求解 2ｃｏｓ2 ｘ +ｓｉｎ2ｘ1+ｔａｎｘ 的值 .解　观察已知条件 ,可把等式看作关于ｃｏｓｘ的一个方程 :-ｃｏｓ2 ｘ + (ｓｉｎｘ + 3)ｃｏｓｘ + 2ｓｉｎｘ(ｓｉｎｘ - 3) =0 ,即 (-ｃｏｓｘ + 2ｓｉｎｘ) (ｃｏｓｘ +ｓｉｎｘ - 3) =0 .∵ｃｏｓｘ +ｓｉｎｘ - 3≠ 0 ,∴ -ｃｏｓｘ + 2ｓｉｎｘ =0 ,得ｔａｎｘ =12 .又由　…     

高一数学同步测试题

三角函数的图象与性质　　选择题1　若α为第一象限角 ,那么ｓｉｎ2α ,ｃｏｓ2α ,ｓｉｎ α2 ,ｃｏｓ α2 中必定取正值的有 (　　 )(Ａ) 0个 .　 (Ｂ) 1个 .　 (Ｃ) 2个 .　 (Ｄ) 3个 .2　已知1 ｓｉｎｘｃｏｓｘ =- 12 ,则 ｃｏｓｘｓｉｎｘ - 1的值是 (　　 )(Ａ) 12 .(Ｂ) - 12 .　 (Ｃ) 2 .(Ｄ) - 2 .3　已知ｓｉｎαｃｏｓα =18且 π4 <α <π2 ,则ｃｏｓα -ｓｉｎα的值等于 (　　 )(Ａ) 32 .(Ｂ) 34.(Ｃ) - 32 .(Ｄ)± 32 .4　下列函数中 ,在 (0 ,π2 )上为增函数 ,且以π为周期的奇函数是 (　　 )(Ａ) ｙ =ｓｉｎｘ .(Ｂ) ｙ =…     

一道三角题的三种解法

题目　方程 3ｓｉｎｘ ｃｏｓｘ =ｍ在 ( 0 ,π)内有两个不相等的实数解 ,求实数ｍ的范围 .图 1　解法 1图解法 1　 (数形结合思想 )原方程可变为ｓｉｎ(ｘ π6) =ｍ2 .设 ｙ1=ｓｉｎ(ｘ π6) ,ｘ∈ ( 0 ,π) ,ｙ2 =ｍ2 .在同一直角坐标系中作出其图象 (如图 ) .原方程在 ( 0 ,π)内有两个不相等的实数解等价于两函数的图象有两个交点 .则有 12 <ｍ2 <1,∴ 1<ｍ <2 .解法 2　 (函数思想 )设ｃｏｓｘ =ｔ,∵ｘ∈ ( 0 ,π) ,∴ｔ =ｃｏｓｘ∈ ( - 1,1) ,ｓｉｎｘ =1-ｃｏｓ2 ｘ =1-ｔ2 .原方程变为 3· 1-ｔ2 ｔ=ｍ .∴ 3( 1-ｔ2 ) =ｍ -…     

两种类型二元三角方程的图形的描绘

在中学数学里 ,我们讨论了ｙ =ｓｉｎｘ、ｙ =ｃｏｓｘ等特殊二元三角方程的作图方法 ,在 2 0 0 0年全国高考试卷中 ,出现了二元三角方程ｙ =-ｘｃｏｓｘ的图形 ,在这里我们通过例题讨论另两类二元三角方程的作图方法 ,通过讨论这两类二元三角方程的作图 ,可以加深对三角知识的理解 ,加强三角知识和平面解析几何知识之间的联系 ,也可以提高师生的作图技能 .1　形如Ｆ(ｃｏｓωｘ ,ｓｉｎｕｘ) =0的方程的图形例 1　画出在 0≤ｘ≤ 2π ,0 ≤ｙ≤ 2π范围内ｓｉｎ2 2ｘ ｃｏｓ2 ｙ =1的图形 .解　∵ｃｏｓ2 ｙ=1 -ｓｉｎ2 2ｘ,∴ｃｏｓ2 ｙ=…     

三角问题常见错解剖析

思维的严密性和深刻性是良好思维品质的基本特征 ,也是高考对学生思维能力的基本要求 .三角函数一单元中由于缺乏思维的严密性和深刻性而使问题错解的例子比比皆是 .本文拟举以下几种错解情形 ,并对此进行剖析、纠正 ,目的是引起同学们深入思考 ,周密考虑 ,以纠正和预防三角解题中的类似错误 .1　忽视三角函数的定义域而致错例 1　求函数 ｆ(ｘ) =ｓｉｎｘ +ｓｉｎ3ｘｃｏｓｘ +ｃｏｓ3ｘ的最小正周期 .错解 :∵ ｆ(ｘ) =ｓｉｎｘ +ｓｉｎ3ｘｃｏｓｘ +ｃｏｓ3ｘ=2ｓｉｎ2ｘｃｏｓｘ2ｃｏｓ2ｘｃｏｓｘ=ｔｇ2ｘ ,∴周期Ｔ =π2 .剖析　注意…     

反三角函数和三角方程

选择题1　下列各等式成立的是 (　　 )(Ａ)ａｒｃｓｉｎ π3=32 .(Ｂ)ｃｏｓ(ａｒｃｃｏｓ π3) =π3.(Ｃ)ｔｇ(ａｒｃｔｇ 3) =3.(Ｄ)ｓｉｎ(ａｒｃｃｏｓ12 ) =12 .2　下列命题不正确的是 (　　 )(Ａ)函数 ｙ =ａｒｃｃｏｓｘ - π2 是奇函数 .(Ｂ)当ｘ∈ ( 22 ,1)时 ,ａｒｃｓｉｎｘ >ａｒｃｃｏｓｘ .(Ｃ)ｔｇ(ａｒｃｃｏｓ0 ) =0 .(Ｄ)当ｘ∈ ( -∞ ,0 )时 ,ａｒｃｃｔｇｘ >ａｒｃｔｇｘ .3　若 π4 <α <5π4 ,则ａｒｃｓｉｎ[22 (ｓｉｎα ｃｏｓα) ]的值为(　　 )(Ａ) π4 -α .　　 (Ｂ)α - π4 .(Ｃ)α - 3π4 . (Ｄ) 3π4 -…     

一个最值问题的物理模型

题 1　已知ａ >0 ,ｂ >0 ,0 <ｘ <π2 ,求函数ｆ(ｘ) =ａｓｉｎｘ ｂｃｏｓｘ的最小值 .图 1　题 1图解　如图 1,ＡＰＢ为一以 |ＡＢ|=1为直径的半圆 ,设Ａ点有带电为ａ的点电荷 ,Ｂ点有带电为ｂ的点电荷 .对于弧上一点Ｐ ,令∠ＰＡＢ =ｘ ,则ＡＰ =ｓｉｎｘ ,ＰＢ =ｃｏｓｘ ,根据点电荷Ｕ =ｋ Ｑｒ 及电势叠加原理 .则Ｐ点电势ＵＰ=ｋａｓｉｎｘ ｋｂｃｏｓｘ=ｋ(ａｓｉｎｘ ｂｃｏｓｘ) (ｋ为静电常数 ) .这样 ,原问题便转化为在ＡＰＢ上找一点Ｐ0 ,使ＵＰ0 为最小值 .设想有一单位正电荷ｅ从Ｂ点沿圆弧自由运动 ,由其总能量守恒可知 ,当…     

高三数学备考自测题

选择题 (第 1— 10题每题 4分 ,第 11— 14题每题 5分 ,共 6 0分 )1　已知集合Ｉ ={1,2 ,3,4 ,5},Ａ ={1,2 ,3},Ｂ ={3,4 ,5},则Ａ∩Ｂ = (　　 )(Ａ) {3}.　 (Ｂ) {4,5}.　 (Ｃ) {1,2 }.　 (Ｄ) .2　已知元素 (ｘ ,ｙ)在映射 ｆ下的像是 (ｘ -ｙ ,ｘ ｙ) ,那么 ( 2 ,- 4)在 ｆ下的原象为 (　　 )(Ａ) ( 1,3) .　　　 (Ｂ) ( - 1,3) .(Ｃ) ( 1,- 3) .　　 (Ｄ) ( - 1,- 3) .3　函数 ｆ(ｘ) =1 ｓｉｎｘ -ｃｏｓｘ的最小正周期为(　　 )(Ａ) π2 .　 (Ｂ)π .　 (Ｃ) 2π .　 (Ｄ) 3π .4　函数 ｆ(ｘ) =2 ｘ ａ2 ｘ-ａ为奇函数 ,则实数ａ…     

高一同步测试题

反三角函数和简单三角方程　　选择题1　ｔｇ(ａｒｃｃｔｇ 3)的值是 (　　 )(Ａ) 3.　　　　　 (Ｂ) 33.(Ｃ) π6 .　　　　　 (Ｄ) π3.2　ａｒｃｓｉｎ(ｓｉｎ3)的值是 (　　 )(Ａ)π - 3. (Ｂ) 3-π .　　 (Ｃ) π2 - 3.　　　 (Ｄ) 3- π2 .3　ｃｏｓｘｃｏｓ2ｘ =-ｓｉｎｘｓｉｎ2ｘ的一个解是 (　　 )(Ａ) 90° .　　　 (Ｂ) 6 0° .(Ｃ) 30° . (Ｄ) 0° .4　ｔｇ[12 ａｒｃｓｉｎ( - 45) ]的值是 (　　 )(Ａ) - 2 . (Ｂ) 2 .(Ｃ) - 1.　　　 (Ｄ) - 12 .5　满足ａｒｃｓｉｎ( 1-ｘ)≤ａｒｃｓｉｎｘ的ｘ的取值范围是(　　 )(Ａ) [-…     

数学问题解答

20 0 3年 1月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 41 1　求大于 1的整数ｋ,使ｆ(ｘ) =ｓｉｎｋｘ·ｓｉｎｋｘ+ｃｏｓｋｘ·ｃｏｓｋｘ-ｃｏｓｋ2ｘ为常值函数 .(湖北省襄樊市一中　王必廷　 441 0 0 0 )解　取ｘ=0 ,得ｆ(0 ) =0 ,故ｆ(ｘ) =0取ｘ =π/ｋ ,则ｓｉｎπ·ｓｉｎｋ πｋ +ｃｏｓπ·ｃｏｓｋ πｋ -ｃｏｓｋ2πｋ =0所以 -ｃｏｓｋ πｋ =ｃｏｓｋ2πｋ所以ｋ为奇数 ,且 -ｃｏｓ πｋ =ｃｏｓ2πｋ所以ｃｏｓ2πｋ =ｃｏｓπ - πｋ所以π- πｋ =2ｎπ±2πｋ所以 1ｋ =2ｎ - 1或3ｋ =1 - 2ｎ　　ｎ∈ｚ所以ｋ=1或 3经检验知…     

一道高考试题的几种解法

题目 ( 1994年全国高考文科试题 )如果函数ｙ =ｓｉｎ2ｘ ａｃｏｓ2ｘ的图象关于直线ｘ =- π8对称 ,那么ａ = (　　 )(Ａ) 2 .　 (Ｂ) - 2 .　 (Ｃ) 1.　 (Ｄ) - 1.解法 1　因 ｙ =ｓｉｎ2ｘ ａｃｏｓ2ｘ =1 ａ2·ｓｉｎ( 2ｘ φ) ,且其图象关于直线ｘ =- π8对称 ,所以 ,直线ｘ =- π8必经过图象的波峰或波谷 ,从而有ｓｉｎ( - π4 ) ａｃｏｓ( - π4 ) =± 1 ａ2 ,即 ( - 1 ａ) 2= 2 ( 1 ａ2 ) ,得ａ =- 1,应选 (Ｄ) .解法 2　因函数ｙ =ｓｉｎ2ｘ ａｃｏｓ2ｘ的图象关于直线ｘ =- π8对称 ,所以 ,把它沿着ｘ轴向右平移π8单位 ,得…     

高中微积分习题选编

函数的和、差、积、商的导数　　选择题1　设 ｙ =ｘ2 ·ｓｉｎｘ ,则 ｙ′等于 (　　 )(Ａ) 2ｘ·ｓｉｎｘ .(Ｂ)ｘ2 ·ｃｏｓｘ .(Ｃ) 2ｘ·ｃｏｓｘ ｘ2 ·ｃｏｓｘ .(Ｄ) 2ｘ·ｓｉｎｘ ｘ2 ·ｃｏｓｘ .2　设 ｙ =(ｓｉｎｘ 2 )·ｘ3,则 ｙ′等于 (　　 )(Ａ) (ｃｏｓｘ 2 )ｘ3 (ｓｉｎｘ 2 )·3ｘ2 .(Ｂ) (ｃｏｓｘ 2 )·3ｘ2 .(Ｃ)ｃｏｓｘ·ｘ3 (ｓｉｎｘ 2 )·3ｘ2 .(Ｄ)ｃｏｓｘ·ｘ3 ｓｉｎｘ·3ｘ2 .3　设 ｙ =ｘ3ｓｉｎｘ,则 ｙ′等于 (　　 )(Ａ) 3ｘ2ｃｏｓｘ.(Ｂ) ｃｏｓｘ·ｘ3-ｓｉｎｘ·3ｘ2ｓｉｎ2 ｘ .(Ｃ) 3ｘ…     

一个反三角恒等式的应用

在反三角函数中,有一个重要的恒等式:ａｒｃｓｉｎｘ ａｒｃｃｏｓｘ=π2,其中ｘ∈[-1,1].本文例举这一恒等式的应用.1　求值例1　(1996年全国高考题)若0<α<π2,则ａｒｃｓｉｎ[ｃｏｓ(π2 α)] ａｒｃｃｏｓ[ｓｉｎ(π α)]等于(　　)(Ａ)π2.　　　　　　(Ｂ)-π2.(Ｃ)π2-2α.　　　　(Ｄ)-π2-2α.解法1　原式=ａｒｃｓｉｎ(-ｓｉｎα) ａｒｃｃｏｓ(-ｓｉｎα)=π2.故选(Ａ).解法2　原式=ａｒｃｓｉｎ(-ｓｉｎα) π2-ａｒｃｓｉｎ[ｓｉｎ(π α)]=ａｒｃｓｉｎ(-ｓｉｎα) π2-ａｒｃｓｉｎ(-ｓｉｎα)=π2.故选(Ａ).2　解反三角不等…     

巧用数学思想 探求三角最值

本文通过一道三角函数例题 ,说明函数最值的一些通常求法 .例　求函数ｙ =ｓｉｎｘ2 ｃｏｓｘ的最值 .思路 :本题可从化归思想出发 ,设法把函数变成ａｓｉｎ(ωｘ φ) =ｂ型 ;或借助万能公式 ,把函数转化成只含正切的函数 ;或寻求函数的几何背景 ,用数形结合的办法求出函数的最值 .解法 1　应用有界性将原函数变形 ,得2 ｙ ｙｃｏｓｘ =ｓｉｎｘ ,即ｓｉｎｘ -ｙｃｏｓｘ =2 ｙ ,∴ ｙ2 1ｓｉｎ(ｘ - φ) =2 ｙ ,其中 φ =ａｒｃｔｇｙ .∴ｓｉｎ(ｘ - φ) =2 ｙｙ2 1,则 2ｙｙ2 1≤ 1.解之得- 33≤ｙ≤ 33,∴ ｙｍａｘ=33,ｙｍ…     

对一道三角题的分析

题目　已知函数 ｆ(ｘ) =1+ｓｉｎｘ -ｃｏｓｘ1+ｓｉｎｘ +ｃｏｓｘ,试判断它的奇偶性 ,求函数周期、单调区间 .分析　首先来化简下式 :1+ｓｉｎｘ -ｃｏｓｘ1+ｓｉｎｘ +ｃｏｓｘ.解法一　 (由半角公式 )ｔａｎ ｘ2 =1-ｃｏｓｘｓｉｎｘ =ｓｉｎｘ1+ｃｏｓｘ.根据比例性质得ｔａｎ ｘ2 =1+ｓｉｎｘ -ｃｏｓｘ1+ｓｉｎｘ +ｃｏｓｘ,即　原式 =ｔａｎ ｘ2 .解法二　 (根据万能公式 )设ｔ=ｔａｎ ｘ2 ,则原式 =1+ 2ｔ1+ｔ2 -1-ｔ21+ｔ21+ 2ｔ1+ｔ2 + 1-ｔ21+ｔ2=2ｔ+ 2ｔ22 + 2ｔ=ｔ=ｔａｎ ｘ2 .解法三　 (根据倍角公式 )原式 =(1-ｃｏｓｘ)…     

数学问题解答

20 0 1年 1月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 2 91　在△ＡＢＣ中 ,ＢＣ=ａ ,顶点Ａ在平行于ＢＣ且与ＢＣ相距为ａ的直线上滑动 .求 ＡＢＡＣ的取值范围 .(江西永修一中　宋庆　 330 30 4 )解　令ＡＣ =ｘ ,ＡＢ=ｋｘ(ｘ>0 ,ｋ >0 ) ,则ａｓｉｎＡ =ｘｓｉｎＢ,且ｓｉｎＢ=ａｋｘ.于是 ,ａ2 =ｋｘ2 ｓｉｎＡ .在△ＡＢＣ中 ,由余弦定理可得ｘ2 ｋ2 ｘ2 -ｋｘ2 ｓｉｎＡ=2ｋｘ2 ｃｏｓＡ ,∴ｋ 1ｋ =ｓｉｎＡ 2ｃｏｓＡ=5ｓｉｎ(Ａ ａｒｃｔｇ2 )≤ 5,∴ｋ 1ｋ ≤ 5,∴ｋ2 - 5ｋ 1 ≤ 0 ,∴ 5- 12 ≤ｋ≤ 5 12 ,∴ 5- 12 ≤ ＡＢＡ…     

巧用三角换元法妙解无理不等式

众所周知 ,解无理不等式的常规方法是通过平方 ,把无理不等式转化为有理不等式求解 .笔者发现 ,许多无理不等式 ,若能根据题设条件巧妙地采取三角换元 ,也能实现化无理为有理、化难为易、化繁为简的目的 .下面以几道名题为例予以说明 .例 1　 (第四届ＩＭＯ试题 )解不等式3 -ｘ -ｘ 1>12 .解　∵ ( 3 -ｘ) 2 (ｘ 1) 2 =4,∴可令 3 -ｘ =4ｓｉｎ2 θ ,ｘ 1=4ｃｏｓ2 θ ,θ∈[0 ,π2 ] .则原不等式化为2ｓｉｎθ -2ｃｏｓθ >12 ,即2ｓｉｎθ >2ｃｏｓθ 12 .由θ∈ [0 ,π2 ]可知 ,2ｃｏｓθ 12 >0 ,两边平方并整理 ,得3 2ｃｏｓ2 θ …     

注意三角形中的一个隐含条件

在三角形中 ,隐含着一个非常重要的条件 ,而同学们在解题时常常忽略该条件 ,从而造成解题失误 .这个条件就是 :三角形中 ,任意两内角的余弦之和为正 ,即△ＡＢＣ中 ,ｃｏｓＡ ｃｏｓＢ >0 ,ｃｏｓＢ ｃｏｓＣ >0 ,ｃｏｓＣ ｃｏｓＡ >0 .证明　∵△ＡＢＣ中 ,0 <Ａ Ｂ <π ,∴ 0 <Ａ <π -Ｂ <π ,又余弦函数在 (0 ,π)上是减函数 ,∴ｃｏｓＡ >ｃｏｓ(π -Ｂ) ,即ｃｏｓＡ >-ｃｏｓＢ ,故ｃｏｓＡ ｃｏｓＢ >0 .同理可证 :ｃｏｓＢ ｃｏｓＣ >0 ,ｃｏｓＣ ｃｏｓＡ >0 .下面举例说明这一条件的应用 .例 1　已知△ＡＢＣ中 ,ｃｏｓＡ…     

三角试题的优化解法与技巧

通过对三角习题的结构进行分析 ,在解题时考虑选择适当的方法 ,则可使复杂问题转化为简单问题 ,收到事半功倍的效果 .下面简要分析说明其解题常用的选优方法及技巧 ,供读者参考 .1　参数替换在三角函数问题中 ,若ｓｉｎｘ±ｃｏｓｘ与ｓｉｎｘｃｏｓｘ同时在一个函数式中出现 ,可设ｔ =ｓｉｎｘ±ｃｏｓｘ ,把问题转化为以ｔ为变量的二次函数 ,避开三角式讨论的麻烦 .例 1　求函数 ｙ =ｓｉｎｘｃｏｓｘ ｓｉｎｘ ｃｏｓｘ的最大值 .解　设ｔ =ｓｉｎｘ ｃｏｓｘ =2ｓｉｎ(ｘ π4 ) ,则ｓｉｎｘｃｏｓｘ =ｔ2 - 12 ,于是 ｙ =ｔ22 ｔ- …