三棱锥体积在解题中的应用

三棱锥是一种特殊的棱锥;它的每一个顶点都可为棱锥的顶点,它的每一个面均可为棱锥的底面,而体积总是不变的。利用这一特点,可以把求多面体的体积和多边形的面积分别转化为求三棱锥的体积和三校锥的底面积;把求点到平面的距离、直线和平面的距离以及两条异面直线的距离转化为求三棱锥的高等等。一求多面体的体积多面体的体积,可以转化成若干个三棱锥的体积和,由于三棱锥的底面具有轮换性,可适当选取三棱锥的底面,较容易地求出三棱锥的体积,进而求出多面体的体积。     

利用三棱锥的体积求距离

三棱锥是一个特殊的棱锥:它的每个面皆可为棱锥的底面,每个顶点皆可为棱锥的顶点,而其体积总是不变的,利用这一点,我们可以把求点到面的距离转化成求三棱锥的高。这给求点到面、线到线的距离另辟了蹊径。一、求点到平面的距离求点到平面的距离,一般先作出过这点的平面的垂线,此点与垂足之间的部分即为所求。我们也可以把求点与面的距离转化成求三棱锥的高,进而利用等积的三棱锥来求。例1 正方体AC′的棱长为1,BC上有一点E,BE=1/3 BC,AA′上有一点F,AF=1/4 AA′,0为正方体的中心,求B′到面EFO的距离     

等积转化在求棱锥体积中的妙用

所谓等积转化,即将欲求棱锥转化为与其等体积的新棱锥求解;“等积法”对求棱锥体积既具有灵活性,又具有规律性;本文介绍四种技巧;１　顶点替换法;三棱锥顶点相互替换后而等积;利用该特性是求三棱锥体积的常用方法;例１　已知四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ的底面是面积为２３的菱形,侧面ＰＡＤ是等边三角形且与底面垂直,Ｅ为侧棱ＰＣ的中点（如图）;求三棱锥Ｃ－ＡＤＥ的体积;ＢＣＥＰＤＦＡ解　过Ｐ作ＰＦ⊥ＡＤ于Ｆ,则ＰＦ⊥底面ＡＢＣＤ;由题意可求得ＰＦ＝３,∴ＶＣ－ＡＤＥ＝ＶＥ－ＡＣＤ＝１３·Ｓ△ＡＣＤ·１２ＰＦ＝１３·３·…     

关于三棱锥顶点在底面上射影的位置

在解决三棱锥的问题时,常常要作三棱锥的高。只要抓住了其垂足在底面上的位置,问题就较易解决。因此掌握在各种条件下的三棱锥顶点在底面上射影的位置是解决有关三棱锥问题的关键。现分以下几种情形讨论: 一、(如图):三棱锥P-ABC,当三条侧棱PA=PB=PC时,则顶点P在底面上射影点O为△ABC的外心。     

课例点评:多面体的体积

目的要求 :1通过复习 ,使学生进一步熟悉求多面体体积的常用思路与方法 ,培养学生分析问题和解决问题的能力 .2进行辨证唯物主义思想教育和数学审美教育 ,提高学生良好情感 .重点 :多面体体积的计算 .难点 :底面及高的确定 .图 1教学方法 :学生主动探索与教师启发相结合 .教学过程 :1　例题分析例题　已知正四面体 ABCD的棱长为 a,求其体积 .分析　由于 V三棱锥 =13Sh,S为底面积 ,h为底面上的高 ,如何确定底面和高 ?(学生思考 )思路 1　 (直接法 )如图 1,选 BCD为底面 ,A到底面 BCD的垂线 AO为高 (从学生熟悉的简单的多面体入手 ,和…     

立体几何常见图形变式解题例谈

《立体几何》P1 1 2上说“生产和生活中的物体、形状虽然复杂 ,但是很多可以看作是由柱体、台体、球体、球缺等组合 (如铆钉 )或者切割 (如螺帽 )而成的”.这就是割补法的思想方法 .本文谈谈在几何体的割补分解中经常用到的几种常见的、基本的几何图形的变式 .1　平面展开利用几何体平面展开前后的对比 ,觅寻图中“变”与“不变”的位置关系 ,可以巧妙地解决一些问题 .“以直代曲”是将图形平展变式的结果 ,它是处理“质点沿几何体的表面曲线运动路径最短”这一典型问题的重要办法 .例 1　设正三棱锥 A— BCD的底面边长为 a,体积为 1 11 2 a3,过顶点 B作与侧棱 AC、AD都相交的截面 BEF,求此截面周长范围 .简析　如图 1中 (甲 ) ,设顶点 A在底面BCD的射影为 O,AO =h,　 13.12 a .asin 6 0&;#176;.h =1 11 2 a3 　 h =333a,　　 BO =33a,(甲 )　　　　　　　　　 (乙 )图 1为了求△ BEF的周长 ,如直接求三边的长 ,困难可想而知 .如将三边之和整体考虑 ,可将三棱锥沿 AB剪开平展成图 1 (乙 ) .则可用图 (乙 )中的直线段 B...     

快速求锥、台体的一类面积体积的方法

高中立体几何中,锥体有这样的一个重要性质:“如果锥体被平行于底面的平面所截,那么,截得的小锥体与已知锥体的底面积之比等于对应高的平方的比;体积比等于对应的高的立方的比”。本文将该定理进行简化,得到一种快速求锥、台体有关面积、体积的方法。我们用一线段VBA表示锥体的高,其中V为已知锥体的顶点,VA是已知锥体的高,VB是小锥体的高,这样,定理中对应高的比,就用图1表示。并称这种从锥体的顶点V出发的比为对应高的相似比。同样,我们也用一线段的比来表示小锥体与已知锥体的底面积的比和体积比。图2的线段比     

双曲锥（台）体的体积推导

文 [1]推导了椭球体、抛物锥体的体积公式 ,作为对文 [1]的补充 ,也为同学们提供“研究性学习”的素材 ,本文推导双曲锥 (台 )体的体积 .1　双曲锥体的体积双曲锥体是指双曲线的一段 (其中一个端点为实顶点 )及其两端点向实轴所引垂线段绕实轴旋转一周所得几何体 .图 1如图 1,双曲锥体的底面圆心为D ,半径是R ,BAC是双曲锥体一个轴截面的曲边界 ,记BAC所在双曲线的实半轴长为a ,虚半轴长为b ,A是实顶点 ,OP ,OQ是相应渐近线 .作AE⊥OA并交OQ于E ,则OA =a ,AE =b .作EF⊥底面于F ,用平行于底面的平面截台体 ,与OD ,EF ,AC ,OQ…     

特殊三棱锥顶点在底面射影的位置

<正>我们在解有关点到面的距离问题,或求一个棱锥的体积时,常常需要过点作面的垂线,垂足的位置在哪儿一直困扰着同学们.如果我们能够熟练地运用构成棱锥的顶点在底面射影的特殊位置,就能迅速把握它与其他几个相关量间的关系,避免繁冗的运算,大大简化解题过程.现将特殊三棱锥顶点在底面上射影的情况总结如下:     

多面体和旋转体的体积

1　考点简析本单元课本内容以公理 5及祖日恒原理为基础 ,推导了柱、锥、台及球和球缺的体积公式 ,系统性很强 ,易教易学 ;高考中除球缺的体积公式不要求记忆外 ,其他给出的几何体的体积公式必须牢固记忆并能灵活应用 ;高考试卷在考核第一章及“多面体和旋转体的面积”的基础上 ,再考察这一部分 ,主要包含转化与化归的数学思维方法 ,例如柱、锥、台的体积公式都可以用台体的体积公式统一表示 ,三棱锥的顶点与底面的转化等等 ;关于体积的计算可分为两大类 :1)利用公式直接计算 ;2 )等积变换计算 .而第二类中又可细分为 :①换底法 ;②割补法 ;…     

2007年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(理科)本试卷共21小题,满分150分.考试用时120分钟.参考公式:锥体的体积公式V=31Sh,其中S是锥体的底面积,h是锥体的高.如果事件A,B互斥,那么P(A B)=P(A) P(B)如果事件A,B相互独立,那么P(A·B)=P(A)·P(B)用最小二乘法求线性回归方程系数公式b∧=∑ni=1xiyi-nxy∑ni=1xi2-nx     

"直四面体"中一组有趣的性质

波利亚说 :“类比是一个伟大的引路人 ,求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题 .”把立体几何知识与相关的平面几何知识类比 ,是实现知识转移的有效方法 ,有利于化难为易 ,启迪思维 .下面利用直四面体中一组性质说明之 .图 1 -11　定义如果从三棱锥P -ABC的顶点P出发的三条棱两两互相垂直 ,那么称这个三棱锥为直四面体 .(如图 1 -1 )2　性质图 2 -1性质 1　在直四面体P-ABC中 ,记S△ABC 是底面△ABC的面积 ,S△ABP,S△BCP,S△CAP 分别为三个侧面三角形ABP ,BCP ,CAP的面积 ,(如图 2 - 1 )①设△ABO为△ABP在平…     

三棱锥顶点在底面上的射影为底面重心的充要条件

1 问题大家知道,对于一个三棱锥,三条侧棱相等(或三侧棱与底面成等角)是顶点在底面上的射影为底面外心的充要条件;三侧面与底面成等角(或三顶点到底面三边等距)是顶点在底面上的射影为底面内心或旁心(射影在三角形内为内心、射影在三角形外为旁心)的充要条件;二对对棱垂直是顶点在底面上的射影为底面垂心的充要条件.我们自然会问:顶点在底面上的射影为底面重心的充要条件是什么呢?     

一道高考试题的推广和应用

题如果棱台的两底面面积分别是S、S’，中截面的面积是S0，那么（）．此为1998年高考数学试题中的第（9）题．此题可作如下推广：推广1如果棱台的两底面积分别为S1、S2，一平行于底面的截面将棱台的高自上而下分成的高的比为λ，则截面面积满足推广2如果核台的两底面面积分别为S1、S2，一平行于店面的截面将棱台分成自上而下两部分体积的比为λ，则截面面积满足证明（1）如图1，设截面面积为S，截面到上底面距离为λh，到下底面距离为h，将台体补成锥体后，设锥顶P到上底面距离为x，由截锥体性质定理得当λ＝1时为中截面面积公式．（2）…     

用函数的思想解平行底面的锥体截面问题

在立体几何中学习锥体和台体时,经常会遇到锥体(或台体)平行底面截面的问题．如已知锥体(或台体)的高被平行于底面的截面分成的比,求各截面的面积或它的侧面积、体积被截面分成的各部分的比,或者相反的一类问题．在现行教材中,一般都用棱锥平行底面的截面性质：“如果棱锥被平行底面的平面所截,     

用祖暅原理求椭球体积

文 [1 ]给出了证明球体积公式的又一参照体 ,读后很受启发 .笔者尝试构造椭球的两个参照体 ,分别利用祖日恒原理求椭球的体积 .预备知识1　若椭圆的长、短半轴长分别为a ,b ,则有 :S椭圆 =πab .下面利用面积射影公式S =S射影cosθ作简要证明 :图 1　圆柱如图 1 ,在底面半径为b的圆柱体中 ,作一倾斜角为arccos ba 的截面 ,那么 ,该截面是分别以a ,b为长、短半轴长的椭圆面 .它在圆柱底面上的射影恰好是底面 .由面积射影公式 ,可得 :S椭圆 =S底面cosθ=πb2ba=πab .2　从椭圆上任一点 (非短轴顶点 )引短轴的垂线段 .若垂足到中心的距离为l…     

例说正四面体的伴随正方体

<正>1.正四面体伴随正方体的由来人教版高二(下)教材第52页有这样一道习题:从一个正方体中,如图1那样截去四个三棱锥后,得到一个正三棱锥A—BCD,求它的体积是正方体体积的几分之几.     

构造法巧解一题 (一个问题的巧解与反思)

<正>题目（武汉市2008年2月调研题）在三棱锥A—BCD中,三组对棱棱长分别相等且依次为5、34^1/2、41^1/2,求三棱锥A—BCD的体积和外接球的半径.解析联想到长方休的相对两个面的四条对角线相等,且不共面的四个顶点可构成三棱锥的四个顶点.如图,构造长方体,长、宽、高分别为a,b,c.取BC=     

斜高相等的棱锥顶点在底面的射影问题

斜高相等的棱锥顶点在底面的射影问题,不少书刊作了不同的论述。但并没有得出正确的结论。例如。 1.《立体几何》课本第52页第18题(2):平面ABC外一点P到△ABC三边的距离相等,O是△ABC的内心。求证:OP⊥平面ABC。 2.《数学通报》1984年第一期《关于三棱锥顶点在底面上射影的位置》一文中给出:当三棱锥的三条侧高相等时,顶点在底面上的射影为底面的内心。 3.一九八五年上海市高考数学试卷理科及文科第二大题(4)小题:若一个棱锥的底面是边数大于3的凸多边形。它的顶点到底面各边的距离都相等。     

合理选择变量解函数最值问题

解函数最值问题 ,往往要找出关于该问题的一个“目标”函数 ,而合理选择某一变化着的“量”作自变量 ,不仅能较直接地建立函数关系 ,且能使问题的求解过程变得快捷方便 .本文试举几例 ,以供参考 .1　选一个“角度”例 1　一个圆锥形无底容器的容积 V为图 1定值 ,它的高 h和底面圆半径 R满足什么样的关系时 ,制作的材料最省 ?分析　如图 1 ,本题通常的做法是 ,设底面半径为 R,高为 h,圆锥母线长为 l,把侧面积 S表示为R、H、l中某一个的函数 ,用均值不等式求 S的最小值 .但函数式关系复杂 ,运算繁难 .如果我们换一个“角度”考虑问题 ,把一…