两个条件不等式及其应用

命题一不相等的正数a、b、c、‘,。为最大数,若。各式相乘可得+‘一b+一则‘,,“‘,‘2,告+令>士十于 证明(1)由题设可得a一。二b一d>O二b>d. 设a一b二c一建=‘,则‘>0,且a二‘+吞,e=汉+‘ .’.耐=(‘+b)注=从+记,倪=b(d十心)=沉+倪 比较两式,,.’b>‘,‘>O,:.“>血,:.加>毗 (2),.’a、b、c汉均为正数,a+滚=石+e,酥>吐刊二令>宁,:告+专>朴告推论不相等的正数。、b、。,若2b二。十。,则(l)‘子应用举例:例l,日N,证明:!(证明略) (·l)2<(粤户,.…!<(岑,·,综上所述…,匀竺宁)’, 例:已知·。N一列,求证士+南十:+六+汾’· 证…     

多边形形状的判断

利用向旦判断 例1已知斌+斌十斌=。,〕丽劝+「瓦丙卜几j户井二l,判断△尸,尸2尸。的形状· 解丫武十斌+斌二o, :.斌十斌一斌, ,.(斌十斌)2一(一斌),,即{斌}’+}斌},+2斌·斌=l斌}‘. ,.l斌}一!成}钊斌}一1, .斌·斌一合,:’(斌:斌}Cos二尸:oPZ一合, 匕PI 01〕2=120: 同理,乙尸;〔护3二匕尸ZOp3二120‘. .’.△尸,pZ尸3是正三角形. 例2在△ABc中,设茄二。,成二b,庙-。,若a·b=b·。二。·。,判断△ABc的形状. 解’.‘a十b十c=O, ‘a+b=一e,(a+b)2=eZ,即aZ+bZ+Za·b=eZ(1) 同理,bZ+。2+Zb·。=aZ(2)川一(2),得aZ一eZ+2(a·吞一‘·e…     

用直线和圆的位置关系证不等式

设直线l:Ax+By+C~0(A、B不同时为 零),圆C:(x一a)“十(y一b)“一尸,则直线l与 ,。*一、__}Aa+Bb+C}一~~、.、‘~ 坦引L-户钊)二‘呀氏、二币,一目下军二二;花二育一,女:尧r·工光月今岁期劝乙.刃 了A‘十B‘ 螂卿孝 这一结论在条件不等式证明中的巧用. 例l已知a)O,b)O,a+b~1,求证: 祷不百+沂万(2. 。一。一合时等号成立,· 例2已知a,b任R,且a+b+1~O,求证 (a一2)2+(b一3)“妻18. 证明令(a一2)’+(b一3)2~尸, 则点(a,b)在直线l:x十y十1一。以及圆 C:(x一2)2十(y一3)’一尸上. 即直线l与圆C有交点. 证明令。~,沂弓呻+沂万, }2+3+11一~,…     

用转化法求 a_(n+1)=pa_n+f(n)型的数列通项

本文重点介绍a.+,=p“,十。(‘为常数)型和u,、二灿十少了元少型的数列求通项的方法, 当户“0或l时,其解法是常见的,此处从略,否则,可用下法作转化: 等式两边同除以产‘’(P半(j),则有砂织产”声织P”‘一牛十渗李 尹尹令“一合 从而得举例如下: 。_、_一二一、*。左止、.二、I‘,一人.十1、羌人人月,lj 产犷且,:=八+尺”),这样就不难求其通项,口.+l2.十‘已知数列{a.},‘z。=l,‘,,,l=2“.+2·,求‘,。.由‘·,=2。+2,,两边同除以2内,得=牛十吝,今八一牛,一2’’2’丫二知一2”,例解则‘+,一二+告,…八“,1,一‘),“一“+‘一‘)·告一省…     

一个乘法公式的应用

初中代数第二册第116页介绍r可化为巧十农叶b)二+。b型的二次三项式的因式分解,给出r如下公式 了+(a+b),+ab=(J一+u)(:,十方) 此公式的实质在于找出两个数,使它们的和为a+b,积为ab即可. 公式中的,可肴着是个特殊宇f:f,’‘1然也可以是·个解析式(包括数字),‘节握r这·点有时会给解题带来很多方便.例1化简l一‘z(l.十‘“·厂一(“十‘功解:原式二 1一丫〔l+aJ十(a+z今〕(l+‘一、,一(‘,+、,)〕 (l+‘:)(1一‘幻(l+a)(l击二了)(l一a)(l一J) l一(l+沈,)(l一‘,)· .例2解方程5.’“+J一‘r板不巧一2二(). 解:原方程可化为 (屹于丁面)”一…     

数学问题解答

1990年12月号问石解答 (解答由问肠提供人给出)686.设f(x) =〔3+tg:“tg(x+l)“+tgx。 +tg(x+l)“〕一’.违l,饥,=:,联结GD.试求习f(‘)的值.证记ADDBBEECCFFAKB.GC-解由于,当a。一l时牛+兴一,(*) l十口1十0 当x+梦=45“时(1十tgx)·(l+rg少)=2所以(1+tgl“)·(1+tg44。)=2, (1+tgZ”)·(1+tg43。)=2即(1+tgl“)·(l+tgZ。).(l+tg43“)(l+tg44。) 22HE.S‘o衬万=S。。,IDGD// KB△通GD、△月KB,AD GD GH万万-一万石一二万万△GDH~△BKH.一器“:CG“““’ l1 l+1饥即lm=l+1.(*)同样有。n=二十1,、二(1+tgl“)·(l+tgZ“…     

平方差公式的妙用

平方差公式 o,一去,卿(。+‘)(a一b)是大家安硒的.这里我们介绍它在一类数列的求和与承积中的妙用. 翻1求:+s+…+(:。+一)(”〔N)的值. 筋:.,”+r.〔(。+z)阵,〕·z .〔(人+一)+。〕·〔(n+一)一,) .(”+J)一。吕. .’.原式.(2,一1)+(少一2“)+…+(。十1),一丹‘. .”‘+2”.例生求扣卜l1.·…(”一‘+1汹你娜2二(企二一1,(21+一、(:,一r)2:’一’十1二一、.2里 2忿一1一1原式二(2:+一)(2:+z)(:。+1)…(2:‘一‘+i) l忿2:一l夕攀一l一1—一’“”’一二f-22一1 .2 似上解法,的差积变形上. 二、.二一之.妙在何处釜妙就妙在刊用平方差公式例l…     

二次函数图象性质的应用点滴

一、利用“性胶”求扭值. 例1求x〔〔0.,l〕s月,/(二),x“+(2一6a)x+sa,的最小位,刀将得到的最小值看作是。的函数g(。).洲出它的图象. 解厂整理:/(二)盖〔,一(3a一1)〕’一6a“+6a一1. 设j(x)在x〔〔。,幻内鼓小值为夕.”势“3一<。,“·:·泣{J·<{.在。(二、1讨、,f(二)是增区数(图l)…g二f(0)=3。“2’)当:、,a一<,,尽},;‘·<:竹寸.口J、二工一3。一1时j(x)最刁、(图2),所以夕=f(3。一l)二一6。“+〔a气l3‘)当s。一J):。JJ。);时,在。《二<,;”:j、,) O是减函数(图3).所以g=l(l)=3。“一助+3二:(。一l)“ l龙{此得 3(。一)2g(a)=一…     

不等关系帮助解题(续完)

例8设·次多项式p(幻=已一才一,+勺犷一,+一十c.一衬一矿坛+b有.个正根,求这些根· 解设P(幻的:个根为幻,勺,”‘·, 则::,::,…,‘>0, 由韦达定理知:工:十介+…+‘=l :一忿,…劣一:十::公:…劣。+…十劣,::一二. 二(一l)一:二二兰全 a b 艺盆.公.‘一劣。=L一l)’— a 从而会+女+一+会一 (::十孔+.二+动(上十上十…+与一。: 了l考忿子. 但(一+一+…+二)(告+会+一+士,》一且等号成立当且仅当‘:=‘,=”‘~:’.少故:,二::二·一:.= 注人为地构造出符合某个已知不等式形式的等式,再利用已知不等式中等号成立的条件导出相等.这种手法技巧性强,…     

又一个对数换底公式

设N,>0,a‘>o,a‘笋l(i二1,2,…刀),b、,bZ,…,b。是a,,a:,…,a。的任一排列,则: 1 09。、N 1 1 09。2 NZ’“’1 09。.N。一10“。、N,10“,2N2.‘’10“,.N,(浓) 证明:因b,,bZ,…,b。是a,,“2,一,“,的任一排列,故:l:a,loaZ…loa.一lgb,lgbZ…仅b,这样(浓)式左边 lgN]19无方lgN。一lga x lgaZ“’lga。二右边. 公式(浓)表明:几个对数相乘,任意交换它们的底数,其积不变.计算‘·g:矗‘·93音‘口、,;原式=10只,,·92告lo;3杳例解一10955一210922一310933一2‘二(一2)(一3)(一2)二一12gfJZ计算10、。910:2,4910:,25109。2·解:原式一…     

课外练习

磷招留澳口 1.(1)已知sina+51峭=1,eosa+eos召=O,求cosZa+ CosZ口的值. (2)已知3sinA+SCosA一5,求}3cosA一ssinA}的值. 。、、.二涯、_,品偏**二 (3)若sinx+siny一等,求cosx+cosy的取值范围. “一’曰--一’-一夕2”甲----一一“护”甲一r一~’目~’ (重庆市九龙坡区渝西中学(401326)慕泽刚) 2·(‘,设XoR+,解方程t一〔5兀(合)·:一1. (2)若b>a>。,x>。,试用a,b表示方程 5 in(ax)·sin(bx)一sin(Zb一a)x·sin(3b一Za)x 的x. (湖南平江七中(414501)张大授) 3.不查表求值:cos粤+。。。琴+c。。寥. IJ/ (陕西西安市户县二中(710307)王户…     

谈一道因式分解题的应用

在l4i学因式分解内‘序‘扣画式护,护王。‘一3。b‘、.熟冬.现攀只脚朴较简的二种若夕掩节十乡冬+e“3。。。;、常见这祥对可二此题,·道越,,、分添分解演踌濒一一执。十;、。了〔萨扮、价小、朴一。污 乙,,.月、甸。确)a戒,尔J。,卜3叻“护。b、。‘.。‘(a七好‘)〔(。+b)’卜‘“+句见+、‘,“〕 右和厂.一;‘“冲+等(。衬+七)(。’千6“+eZ一ub一be一。。) 山此,‘容易礴到以下}、、个戈撇的结论.吸一)着a;+6十。=o,则了:aa+b“+‘·“”3 abc.(2)角于丈。+b+c)(。“+b“+e“一ab一be一e的 若设a>o,吕>今屯_咚>o几.·熨!1 11!。+b+。>…     

第五届全国部分省市初中数学通讯赛试题及解答

(1959年11月26日上午8:30~1]:00)填空题·(每小题5分石共40分),分母有理化:3+2、/2一召j一、/石1+侧2一侧J2。设a、石是整数,方程护+ax十乙二O有一个·根是召7‘4训3, :3‘q)(P一g) :4。.分解因式:’则a+五=___。x又一(少二+住2)x+Pg(P+于()。 (A)4c一孔2争(11)乙:一J。, (C)护一少;(D)2。一儿2. 2.下左图标有记一号的十个角之和钻(). (A)108。;(}三)7200;(C)540“;(D)不能确定的..一·一_-一.犷已知191。d‘a,193。5=b,·贝叮197二 一3.设m二〔{、李 \j/大小关系是(),、二(;、一立一。!,‘__。_立 5.下左图中二C二月D’二DE=E.4=刀…     

第十八届美国数学奥林匹克试题与解

对于每一个正整数:,.定义 。二1 .1 .1S。=1+.令+令十…十,土. ‘气·一’2,3”n’饥=S:十召2十S:十…+S益_Tl 2卜臀价+.二+,登 户卜 邓声U试求使T,,屯。,”a改:。s。一b和Ul。。。二e习:。8,一d几o相似文献   

利用复数的除法证明不等式

25一2 妻 设。、b、c、‘都是实数,则 a+b‘ac+b‘.be一ad, 一丫-一石号-一犷气一~万了呀~一,~下一石,否 C十心忿C一十已.C一十『’(·+专)’十(,+合)’这是大家熟知的复数的除法运算.用它来处理一些不等式的证明,不仅简单明快,而且给人享受数学的奇异之美. 例1如果a,b为实数,那么aZ+b,)2a6(当且仅当a二b时取“=”号). 证①当a二b二O时,命题为真. ②当a,b中至少有一个不为零时 构造复数a+b‘与b+a‘(a,b任无) 由(a+b‘)/(b七a‘)=(ab+ba)/(a,+b.)+(bZ一aZ)‘/(a,+bZ)(:,少eR)构造复,(·十约十(;十分与1·、‘, 谧(·+专)+(;+韵‘ 1十落(…     

对一道赛题解法的探究

1986年全国数学竞赛第设实数u、b、。满足 l丫一bc一sa+7=()·试第1题第咬3川、题为:那么“的取值范It1是①② !扩+扩+b‘、一6a+6=‘j(A)(一co,+co);(I弓)(一oo,1 JU〔9,+co);(C)(0,7);(I))r 1.9〕.标准解答是,山题给条件得lbc三丫一sa+7l夕十已+bc=6“一6②一①x3得(l,一‘〕’=一3(‘,一)(u一冬,)③ .’一3(a一l)(u一9))(),故l石a石9 答案为(u). 我们认为此种解法不妥。因为.若口)十(劲,得 (b+‘.)二丫一2“十l=(‘:一I)④ bc〔R.而(“一l)J要0二‘一co<‘,<十oo,答案应为(A). 又若将①代人②得 粉+‘“=一丫+14‘,一13二一(‘,一1)…     

等差数列不等差

若一数列佃。}的前”项和公式是:S,,’+l,则此数列是等差数列. 证明:一「(n一l)’S一5._,一(。’+l)+]1=Zn一l a。一l一s。一l一S。一2一Zn一3, ·‘·a。一a。_,=(2”一l)一(Zn一3)二2 …伸。}是等差数列· 然而,’·’al二51,a,+a:=52,a,+aZ+a3一S, ·’·al一12+l,a一+aZ一22+- al+aZ+a3一32+- 解得:a,一2,aZ一3,a,一5 ·’,aZ一a,笋a,一aZ即数列于a。冬不等差数列. 前而证明了扣,}是等差数列,为什么用一些特殊项去验证却不成立呢?本期‘数学诡辩’揭底 2错因.就是用前n项和公式去求通项公式时,未注惫到数列的首项情况.由a。=sn一s…     

自我检查练习题答案或略解

一、初中自我检查压 堵*、、、。、。。、,.又b1,努丫,lj尸;‘少乙,。少。;任夕万,二:5)o一21:6)4;7)1;8)>,>,<;9)平行四边形,合(“D一“C,·正方‘或菱,形‘“,各边,各角·2.计算或简化:121)一书 ,勺2’原式一合一矗+ ;90n︸2,上‘.几 R︸。,3 1._O,.~石一—-1一 谷23)-0+aZ+a+14)原式=6了了+4了了一9了了一冬亿万+ ,O杏(“了一)-口5了5一1 ·55)原式~一二李万亿万顽荞万乎=一旦 口-U(b一a)=一“’;6)原式=一一1二一+e t 980 b一a·eos50.1~州3 \矛~e tg80.(一eos50。)一1二3+2召3;7)由图AD tga 2‘一了3二(a一AD)tg日,.’. AD=,一聋…     

数学问题解答

1990年10月号问题解答 (解答由问题提供人给出). .676·若·bc等。、试证:方程aZ’+”·+普一。、bxZ+C:。一奇·。及C:2+一卜令一“至少其一有实根. 且兀a‘一1.试证:亚(。+。‘))(。+1”证.令方程ax:十“‘+子-。、阮2+。:+草 4及。2十二+△8.则b4=O的判别式依次为△:、△:及证.(l)显然九=1时,命题成立. (2)假设。=。时,有五。‘=1: 五(。+a‘))(m+1)“·(3)当,=无+1时-若a‘=1(云=1,2,…,无+1),△l+△2+△s=bZ一ae+eZ一ba+aZ一cb一音〔202+2“’+2·’一2·“一2“一2“·〕一合〔‘。一“,2+(“一“,2+(一,’〕》。即△卜△2、及△3…     

算术平均—几何平均不等式的一个证明

设a:、 a盆、al+aZ 怜a。是正数,则有不等式~习可可不瓦一 一bK+‘)+…十bK+‘(戈一b)〕设￡‘一b‘=(,一b)(%‘+‘+x‘+“b千…+b‘+1)=(戈一b)Pi1=式中等号当且仅当a,二a:二…二a。时成立。证明用数学归纳法,n=2结论显然成立。 假定n=K时成立,则 月二(a:+a:+…+a尤)+a尤+l 一(K+1)K+‘侧瓦瓦二花订万 )K大访瓦瓦下砰而瓦 一(K十l)K+’了面瓦不石石万…(1) 设K+‘亿面万丁=、 K!K十’V而二ha二b,(1)式右(P‘>0了 i=(%)2,一,K),乡}}}(戈一b)2(P尺+P万*:b十 卜P工石K+l) 户K+夕K*声+….’.f(二)>O,A) ‘.。十…(2)+P tbK+‘>00即a…