高中数学联赛中的化归方法

化归是一种重要的数学方法 ,许多难度较大的竞赛题通过化归往往会收到意想不到的效果 .例 1　 ( 1991年全国高中数学联赛试题 )已知 :0 <ａ <1,ｘ2 ｙ =0 .求证 :ｌｏｇａ(ａｘ ａｙ)≤ｌｏｇａ2 18.分析　由于 0 <ａ <1,故由对数函数的单调性 ,不等式ｌｏｇａ(ａｘ ａｙ)≤ｌｏｇａ2 18等价于　　　　　ａｘ ａｙ≥ 2ａ18( 1)这样原来的问题就转化为 :在 0 <ａ <1且ｘ2 ｙ =0的条件下 ,证明不等式 ( 1) .由条件ｘ2 ｙ =0 ,得 ｙ =-ｘ2 .从而不等式 ( 1)又可化归为ａｘ ａ-ｘ2 ≥ 2ａ18( 2 )注意到不等式 ( 2 )的右边有一个系数 2 ,显…     

几何问题的向量解法

既有大小又有方向的量叫做向量 ,通常用带有箭头的有向线段来表示向量 .向量中定义有几何意义明显的加法 ,减法 ,实数与向量的积以及向量与向量的数量积等重要的运算 .所谓向量法 ,就是利用向量的几何意义将几何问题转化为相应的向量问题 ,并通过向量的运算达到解题的目的 .向量法解题 ,能使原先错综复杂的演绎推理过程变为单纯的向量间的运算 ,往往可以取得出奇制胜的效果 .用向量法解题时 ,下面的有关向量知识经常被用到 :1 )线段ＡＢ的长度ＡＢ =|ＡＢ| ,线段ＡＢ的长度平方 |ＡＢ| 2 =ＡＢ·ＡＢ ;2 )两向量的和的平行四边形法则或三角…     

单调函数及其应用

设 f为定义在D上的函数 ,若对于D中任意两个数x1,x2 ,当x1f(x2 )时 ,称 f为D上严格递减函数 .递增函数和递减函数统称为单调函数 ,函数的单调性是函数的重要性质之一 ,利用函数的单调性 ,可以比较函数值的大小 ,证明一些不等式以及解决某些方程问题和函数极值问题 .例 1　证明 |x1+x2 +… +xn|1+|x1+x2 +… +xn|≤ |x1|1+|x1|+|x2 …     

数学归纳法原理

数学归纳法是关于自然数n的性质p(n) ,若1) p(n0 )成立 ,n0 ∈N ;2 )假设 p(k)成立 (k≥n0 ) ,可以推出p(k + 1) 成立 .则 p(n)对于一切大于或等于n0 的自然数都成立 .数学归纳法是中学数学中的一种重要方法 ,在证明与自然数有关的命题时 ,我们常常采用数学归纳法 .应用数学归纳法有固定的程式 ,书写时 ,必须严格按照程式写出两个基本步骤 ,但在具体应用上具有极大的灵活性 ,在证明第二个步骤时常常用到一些非常巧妙的技巧 .例 1　 (1999年全国高考试题 )已知函数y =f(x) 的图象是自原点出发的一条折线 ,当n≤y≤n + 1(n =0 ,1,2 ,… )时 ,…     

数学竞赛中的等比数列问题

和等差数列一样 ,等比数列也是高中代数中的基本问题 .等比数列包括项数n ,首项a1,通项an,公比 q和前n项和Sn 这五个基本元素 ,它们之间满足an=a1qn- 1和Sn=a1(1- qn)1- q 两个关系式 ,只要知道其中任意三个元素 ,便可以求出其它两个元素 .学习数列要注意培养熟练地求出其中任意一个元素的运算能力和把一个具体问题转化为数列问题的逻辑思维能力 .例 1　 (1998年全国高中数学联赛试题 )各项均为实数的等比数列 {an}前n项之和为Sn,若S10 =10 ,S30 =70 ,则S4 0 为 (　　 )(A) 15 0 .　　　　　　 (B) - 2 0 0 .(C) 15 0或 - 2 0 0 . (D) 4…     

关于三角形内角平分线长的一个不等式

关于三角形内角平分线长的一个不等式赵小云，孙文彩（杭州大学数学系３１００２８）（湖南南县第二中学４１３２０２）刘健在文［１］中证明了下述的三角形不等式：设△ＡＢＣ的内角Ａ，Ｂ，Ｃ的平分线与面积分别为Ｗａ，Ｗｂ，Ｗｃ与△，则（其中表示循环和，下同此）联...     

数学竞赛中的指数和对数函数问题

函数 ｆ(ｘ) =ａｘ(ａ >0 ,ａ≠ 1 )叫做指数函数 ,定义域是Ｒ .函数 ｆ(ｘ) =ｌｏｇａｘ(ａ >0 ,ａ≠ 1 )叫做对数函数 ,定义域是Ｒ+ ,指数函数与对数函数互为反函数 ,它们的图形关于直线 ｙ =ｘ对称 .指数函数和对数函数是两个重要的基本初等函数 ,也是中学代数的重点内容 ,熟练掌握指数和对数的有关概念、运算法则和性质 ,并能灵活地进行指数和对数运算是解决有关指数和对数函数问题的基础 .1　化简与求值例 1　已知ｌｏｇ62 7=ａ ,试求ｌｏｇ181 6之值 .分析 :由于所求对数与已知的对数底数不同 ,为此可考虑应用换底公式 .由二个对数式…     

三角不等式问题

三角不等式问题主要包括两个方面 :三角不等式与三角最值 .它是与三角恒等式密切相关的 ,运用三角公式对式子进行恒等变形是处理三角不等式问题的重要方法 ,有时三角最值问题就是基于三角公式而得到解决的 .1　三角不等式三角不等式首先是不等式 ,因此 ,有关不等式的性质和证明方法在这里都用得上 (诸如配方、比较、放缩等 ) .但三角不等式又是一类特殊的不等式 ,它有自身的特点———含有三角函数 ,因而三角函数的许多性质 ,如三角函数的单调性、有界性、正负区间以及图象特征等就成为处理三角不等式问题的重要工具 .例 1　设 0 <α <π2 ,…     

函数的性质及其应用

函数是数学中的一个基本而重要的概念 ,它也是中学数学的重点内容 ,函数的常见性质有单调性 ,奇偶性 ,周期性 ,有界性等 ,本文我们讨论上述性质在数学竞赛中的应用 .1　单调性设 ｆ为定义在Ｄ上的函数 ,若对于Ｄ中的任意两个数ｘ1,ｘ2 ,当ｘ1<ｘ2 时 ,总有 ｆ(ｘ1)≤ｆ(ｘ2 )或ｆ(ｘ1)≥ｆ(ｘ2 ) ,则称 ｆ为Ｄ上的递增或递减函数 ,我们统称为单调函数 ,特别地 ,当总成立严格不等式ｆ(ｘ1) <ｆ(ｘ2 )或 ｆ(ｘ1) >ｆ(ｘ2 )时 ,称 ｆ为Ｄ上的严格单调函数 .函数的单调性可用函数值的比较给出证明 ,利用函数的单调性 ,可以比较实数的大小 ,证明…