谈一道竞赛题

80年代有这样一道竞赛题 :设G为△ABC的重心 ,分别延长AG ,BG ,CG依次与△ABC外接圆交于A1,B1,C1,则有A1G +B1G +C1G≥AG +BG +CG .1990年第 31届IMO有一道预选题 ,将上面的重心G换成内心I ,即为 :设I为△ABC的内心 ,分别延长AI ,BI,CI依次与△ABC外接圆交于A1,B1,C1,则有A1I +B1I +C1I≥AI +BI +CI .其证明方法用Erd s不等式较为简单 (注 ) .十分自然 ,设H为锐角△ABC的垂心 ,分别延长AH ,BH ,CH依次与△ABC的外接圆交于A1,B1,C1,则A1H +B1H +C1H≥AH +BH +CH是否成立呢 ?我们的断言是 :A1H +B1H +C…     

用定值教学的实践与思考

在变量变化过程中，有些量是不会改变的定值，善于抓住定值这一突破口，往往是解决问题的关键，同时，对于寻找问题中的确定的值，大部分同学没有引起足够的重视．本文结合教学实践，谈谈借助定值解决问题的几点认识．     

一个不等式问题的几个视角

问题 已知a，b是实数，求证：a^2＋ab＋b^2≥3a＋3b-3.     

一个不等式问题的几个视角

问题已知a,b是实数,求证:a2 ab b2≥3a 3b-3.分析1高中数学中,有关“二次”的研究是最为深入的,本题可从二次函数视角看问题.证法1令f(a)=a2 (b-3)a b2-3b 3,∵Δ=(b-3)2-4(b2-3b 3)=-3(b-1)2≤0,且关于a的二次函数的图象开口向上,∴f(a)≥0对一切实数a,b都成立,∴a2 ab b2≥3a 3b-3.评注借助二次函数的图象研究不等式,是很多同学喜爱的“通法”.引入函数后,也可配方得f(a)=(a b2-3)2 43(b-1)2,问题也就解决了.分析2部分同学可能先变形:原不等式(a b)2-3(a b)-ab 3≥0,问题转化成关于a b的二次不等式恒成立,然而再算到Δ=4ab-3时,会发现Δ≤…