关于三角形的一个性质

如图 1 ,在△ ABC中 ,设 AH =BI =1m AB,BD =CE=1m BC,CF =AG=1m AC,其中 m >2 .AD与 BG交于 P,BF与 CI交于R,AE与 CH交于 Q,则有如下结论 :(1 )△ RQP∽△ ABC;(2 ) S△ RQP∶ S△ ABC =(m - 22 m - 1 ) 2 .证明　 (1 )过 D点作 DK⊥ BG于 K,过A作 AM⊥ BG,交 BG或其延长线于     

陈省身杯一赛题的别证

题目[1]在△ABC中,D、E分别为边AB、AC的中点,BE与CD交于点G,△ABE的外接圆与△ACD的外接圆交于点P(P≠A),AG的延长线与△ACD的外接圆交于点L(L≠A).     

数学问题解答

2007年8月号问题解答1686△AB(C解中答,由∠A问题>提90供°,人给出)AB>AC,高线BE、CF交于H,O为△ABC的外心,且AO=AH,∠BAC的平分线AD所在直线交BE,CF的延长线于M、N.求证:HM=HN.(福建厦门九中陈四川361证00明4)因为AB>AC,∠ABC<∠ACB,∠ACB 12∠BAC>∠ABC 12∠BAC,即∠ACB ∠CAD>∠ABC ∠BAD,所以,∠ADC<∠ADB,∠CDA<90°,所以N点在HF上,M点在BH的延长线上.延长AD交⊙O于G,BG=CG,连结BG、CG、GO,并延长GO交BC于T,交BAC于O′,O′G⊥BC,垂足T,OT=21AH(三角形任一顶点到垂心的距离等于外心到对…     

陈省身杯一赛题的别证

题目 在△ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点，BE与CD交于点G，△ABE的外接圆与△ACD的外接圆交于点P（P≠A），AG的延长线与△ACD的外接圆交于点L（L≠A）．     

三角形外心与重心的一个性质的推广

命题设G为△ABC的重心,AG,BG,CG与△ABC的外接圆相交于D、E、F,则AGGD GBEG GCFG=3.该题是《数学通报》征解题387.文[1]把它推广为:定理若P是△ABC的外接圆内的点,AP,BP,CP与外接圆交于D、E、F,O是外心,G是重心,P点落在以OG为直径的圆上的充要条件是APPD PBEP PCFP=3.本文把这个性质推广到n边形的外接圆内的点.设A1A2A3…An是⊙O的内接n边形,Ai(i=1,2,…,n)在以圆心为原点的平面直角坐标系内的坐标为(xi,yi),与三角形类似,定义1n∑ni=1xi,1n∑i=n1yi为n边形重心G的坐标.则有定理1P为n边形A1A2A3…An外接圆内一…     

关于三角形的双圆半径的一个恒等式

本文先给出关于三角形双圆半径的一个恒等式: 定理1 设(?)O(R)、(?)I(r)是△ABC的外接圆和内切圆,AI、BI、CI与对边BC、CA、AB分别交于点D、E、F,与外接圆(?)O分别交于点D'、E'、F',则     

三角形内点的一个对偶不等式及其推广

文 [1 ]给出下列命题 :设 I为△ ABC任一内点 ,AI、BI、CI的延长线分别交对应边于 A′、B′、C′,则AIIA′+ BIIB′+ CIIC′≥ 6 .经研究发现 ,该不等式还有以下的对偶不等式 :1 IA′IA+ IB′IB+ IC′IC≥ 32 ;2 IA′IAn + IB′IBn + IC′ICn　≥ 3.12 n　 ( n∈ N) ;将不等式 1、2推广到四面体中 ,即可得到文 [2 ]、[3]所述不等式的对偶形式 ,即设 I为四面体 A - BCD任一内点 ,AI、BI、CI、DI的延长线分别交对应面于 A′、B′、C′、D′,则3IA′IA+ IB′IB+ IC′IC+ ID′ID≥ 43;4 IA′IAn + IB′IBn…     

淡“辅助园”的添作

平面几何证题中一个很难的地方,就是添作辅助线(直线、圆)。其中以辅助圆的添作更要求有一定的技巧,现在就其规律的探索举几例。一、看结论,想定理,根据已知,发现点共圆的条件。例1. Rt△ABC中,CD为斜边上的高,G为CD上的一点,AG的延长线和△ABC的外接圆交于H,则AG·AH=AD·AB(统编教材《第五册》)     

涉及三角形内心的若干不等式

设△ABC外接圆、内切圆半径分别为R、r,I为内心,AI、BI、CI分别交外接圆于A_1,B_1,C_1,a,b,c表示边,p为半周长,△表△ABC面积,△＇表△A_1B_1C_1面积,AI=α,BI=β,CI=γ。本文给出一些不等式。 1.涉及α,β,γ的不等式     

圆内接三角形的一个性质

设I为△ABC的内心,射线A I、B I、C I与△ABC的外接圆分别交于点D、E、F,EF与AD交于点P,DF与BE交于点M、DE与CF交于点N,则I是△PMN的内心.图1证明连结AF(如图1),∵∠1=∠4,∠2=∠5,∴∠1 ∠2 ∠3=∠4 ∠5 ∠3.∵内心是三角形三条内角平分线的交点,∴∠4 ∠5 ∠3=90°即∠1 ∠2     

两个正方形演绎的中考试题及其变式

<正>一、两个正方形演绎的中考试题例1(2013年黑龙江齐齐哈尔市)在锐角三角形ABC中,AH是BC边上的高,分别以AB、AC为一边,向外作正方形ABDE和ACFG,连接CE、BG和EG,EG与HA的延长线交于点M,下列结论:1BG=CE;2BG⊥CE3AM是△AEG的中线;4∠EAM=∠ABC,其中正确结论的个数是().(A)4个(B)3个(C)2个(D)1个解析(1)如图1,因为四边形ABDE和ACFG都是正方形,∴AE=AB,AC=AG,∠BAE=∠CAG.∴∠BAE+     

陈省身杯一赛题的另解

<正>题目如图1,已知锐角△ABC满足AB>AC,O、H分别为△ABC的外心、垂心,直线BH与AC交于点B1,直线CH与AB交于点C1.若OH∥B1C1,证明:cos2B+cos2C+1=0.此题是第五届(2014年)陈省身杯全国高中数学奥林匹克第1题,这是一道不落俗套,内涵丰富,解法多样的好题.文[1]中给出了组委会所提供的参考答案,经笔者探究,再给出下面有别于参考答案的新证法.     

数学问题解答

20 0 4年 2月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 4 76　设锐角△ABC的外接圆、内切圆的半径分别为R ,r.求证垂心到三顶点的距离之和为 2 (R +r) .(山东单县二中　齐行超　 2 7430 0 )证明　如图 ,设△ABC的垂心为H ,则 AHsinABH=ABsinAHB即AHsin ( π2 -A)=ABsin (π -C)因为　 AHcosA=ABsinC=2R ,　　同理 BHcosB=2R ,CHcosC=2R ,所以　AH +BH +CH=2R (cosA +cosB +cosC)=2R ( 1 + 4sinA2 sin B2 sin C2 )=2 (R +R·rR)=2 (R +r)1 4 77　试证明 :具有公共焦点的椭圆和双曲线 ,若它们的离心率互为倒数时 ,则以它…     

锐角三角形的两个有趣性质

性质1如图1,在锐角△ABC中,AB>AC>BC,点O、H分别是三角形的外心和垂心,则∠OAH+∠OCH=∠OBH.证明延长AH、BH、CH分别交BC、AC、AB于点D、E、F,∵点H是△ABC的垂心,显然AD、BE、CF是△ABC的三条高,于是易证B、C、E、F四点共圆,     

数学问题解答

20 0 4年 9月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 5 1 1 　锐角△ABC中 ,∠A=60°,H ,I,O分别为垂心、内心、外心 ,连结AI并延长交BC于P ,连结BI并延长交AC于Q .求证 :BH=IO的充要条件是AB BP=AQ QB .(湖南师大数学系　沈文选 )( 1 )充分性 :如图 ( 1 ) ,延长AB到B1 ,使BB1 =     

两个三角形垂心相同的充要条件

在非直角三角形ABC中,A1,B1,C1分别是直线BC,CA,AB上的点,且满足:AC1=λC1B,BA1=μA1C,CB1=t B1A,其中λ,μ,t均不为-1.图1如图1,设∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,下面我们来讨论△ABC与△A1B1C1有相同垂心的充要条件.不妨设点H为△ABC的垂心,则有BH·AC=0,CH·AB=0.因此BH·AB=(BC CH)·AB=BC·AB.由于A1H=BH-BA1=BH-1 μμBC,B1C1=AC1-AB1=1 λλAB-11 tAC,所以A1H·B1C1=(BH-1 μμBC)·(1 λλAB-1 1tAC)=1 λλBH·AB-(1 λ)λ(μ1 μ)BC·AB-11 tBH·AC (1 μ)μ(1 t)BC·AC=1 λλBC…     

四面体内心与旁心的一个有趣性质

文 [1 ]给出了三角形内心与旁心的一个充要条件 .文 [2 ]与文 [3]将其作了改进 ,文 [3]的结论简洁而明快 .即定理　设a ,b ,c为△ABC的三边 ,则点P为△ABC的内心的充要条件是aPA→ +bPB→ +cPC→ =0 .本文将此性质推广到四面体 .约定 :△表示三角形面积 ,△1 ,△2 ,△3,△4 依次表示四面体ABCD四个顶点A ,B ,C ,D所对的三角形面积 .定理 1　点P为四面体ABCD内心 (内切球球心 )的充要条件是△1 PA→ +△2 PB→ +△3PC→ +△4PD→ =0 .图 1　定理 1图证　如图 1 ,设I为四面体ABCD的内心 .延长AI交面BCD于E .设I,E到面ABC…     

垂距余弦公式的改进、简证和应用

文[1]给出一个关于三角形垂距的余弦公式:设H是△ABC的垂心,R是△ABC的外接圆半径,则 (AH)/(|cosA|)=(BH)/(|cosB|)=(CH)/(|cosC|)=2R ① 这是一个漂亮的公式,它与正弦定理 (BC)/(sinA)=(AC)/(sinB)=(AB)/(sinC)=2R ② 具有类似的结构.我们不妨把公式①称为"关于三角形垂心的余弦定理"或"垂距余弦公式".     

第32届国际数学奥林匹克试题及解答

1.(苏联提供)已给△ABC,设I是它的内心,角A,B,C的内角平分线分别与其对边交于A′,B′,C′。求证     

垂心的性质及其应用

锐角三角形的垂心,绍与三角形的边角有关的儿个性质,再举例说明它的应用。 设锐角△ABc,AD上BC,BE一LAC,CF--LAB,(D,E、F为垂足)有很多性质。本文先介(图i)边H为垂心,乙A,乙B,乙C的对边分别为a,b,c。R为△ABC外接圆的半径,不难证明下述结论的正确性. 性质1 BD=eeosB,CD=beosC,CE二a6osc,通E=eeos才,姓尸二占eo:通,丑F=aeosB。 性质艺EF二aeosA,DF=beosB,DE二eeosC。 性质3述H=ZRco“A,BH=ZRcosB,CH=ZReosC;DH=ZReosBeosC,EH=ZReosAeosC,F月二ZReosAeosB 例1己知锐角△A刀C的高AD和BE交于H,(刀、刃为垂足)…