三思课后习题 提高学习效果

在高三数学复习阶段，普遍存在一种怪现象．认为课后习题不重要，高考考不到，没有必要花费时间和精力在课后习题上．其实不然．数学教材是数学教育专家汲取几十年教材改革的成果、教学改革的经验而编写出来的，富有思想性、系统性、严谨性、科学性、启发性，具有较高水平的学习价值．教材中的课后习题(包括例题)，具有较强的代表性、示范性、能力性、探索性，是巩固学习效果，     

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题 79　已知P ,Q是椭圆C :x2a2 + y2b2 =1(a >b >0 )上两个动点 ,O为原点 ,直线OP的斜率为k ,而直线OP与OQ的斜率之积为m ,且 p =|OP| 2 + |OQ| 2 是一个与k无关的定值 .1)求m ,p的值 ;2 )若双曲线Γ的焦点在x轴上 ,渐近线方程为y =±mx ,椭圆C与双曲线Γ的离心率分别为e1,e2 ,求e2 -e1的取值范围 .解　OP的方程为 :y =kx ,与椭圆C的方程联立 ,可得 :x2 =a2 b2b2 +a2 k2 ,∴ |OP| 2 =x2 + y2 =(1+k2 )x2=a2 b2 (1+k2 )b2 +a2 k2 .同理可求得 :|OQ| 2 =a2 b2 [1+ (mk) 2 ]b2 +a2 ·(mk) 2=(k2 +m2 )a2 b2a2 m2 +b2 k2 .∴ p =|OP| …     

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题 6 3　 某小区要建一座八边形的休闲小区 ,它的主体造型的平面图是由二个相同的矩形ＡＢＣＤ和ＥＦＧＨ构成的面积为2 0 0平方米的十字形地域 .计划在正方形ＭＮＰＱ上建一座花坛 ,造价为每平方米4 2 0 0元 ;在四个相同的矩形上 (图中阴影部分 )铺花岗石地坪 ,造价为每平方米 2 1 0元 ;再在四个空角上铺草坪 ,造价为每平方米80元 .1 )设总造价为Ｓ元 ,ＡＤ长为ｘ米 ,试建立Ｓ关于ｘ的函数关系式 ;2 )当ｘ为何值时Ｓ最小 ;并求出这个最小值 .图 1　题 6 3图解　 1 )设ＤＱ =ｙ米 ,ＡＤ =ｘ米 ,则ｘ2 + 4ｘｙ =2 0 0 ,∴ ｙ =2 0 0 -ｘ24ｘ …     

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题 6 5　 已知函数 ｆ(ｘ) =ｘ|ｘ -ａ|(ａ∈Ｒ) .1 )判断 ｆ(ｘ)的奇偶性 ;2 )解关于ｘ的不等式 :ｆ(ｘ)≥ 2ａ2 ;3)写出 ｆ(ｘ)的单调区间 .解　 1 )当ａ =0时 ,ｆ(-ｘ) =-ｘ|-ｘ|=-ｘ|ｘ|=- ｆ(ｘ) ;∴ｆ(ｘ)是奇函数 .当ａ≠ 0时 ,ｆ(ａ) =0且 ｆ(-ａ) =- 2ａ|ａ|.故 ｆ(-ａ)≠ｆ(ａ)且 ｆ(-ａ)≠ - ｆ(ａ) ,∴ｆ(ｘ)既不是奇函数 ,也不是偶函数 .2 )由题设知ｘ|ｘ -ａ|≥ 2ａ2 ,∴原不等式等价于　　 ｘ <ａ-ｘ2 +ａｘ≥ 2ａ2 (1 )　　 ｘ≥ａｘ2 -ａｘ≥ 2ａ2 (2 )由 (1 ) ,得 ｘ <ａ ,ｘ2 -ａｘ +2ａ2 ≤ 0 .　　无解 .由 (2 ) ,得 …     

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题 1 1 1 　如图 1,半球O的半径为R ,它的内接长方体ABCD A1B1C1D1的一个面ABCD在半球O的底面上 ,则该长方体AC1的所有棱长之和的图 1最大值为 .解　如图 1,设AB =a ,BC =b ,AA1=c,在Rt△A1AO中有a2 +b24 +c2=R2 .∵ 8c2 + 54a2 + 54b2=(4c2 + a24 ) + (4c2 + b24 ) + (a2 +b2 )≥ 2ac +2bc + 2ab .在上不等式两边同加上a2 +b2 +c2 得9(c2 + a2 +b24 )≥ (a +b +c) 2 .即 (a +b +c) 2 ≤ 9R2 ,则a +b +c≤ 3R .∴所有棱长之和l=4 (a +b +c)≤ 12R .“ =”成立时有a =b =4c=4R3.∴答案为 12R .试题背景　本题根据《数学通讯》2…     

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题191已知椭圆x24 34y2=1的弦PB过其中心O,点A是椭圆的右顶点,满足PA·PB=0,2|PA|=|PB|.1)求点P的坐标;2)若椭圆上存在两点C,D(异于A,B)且(PC|PC|) PD|PD|)·OA=0,问是否存在实数λ使得AB=λCD,说明理由.解1)如图1,由题意知△OPA是以P为直角顶点的等腰三角形,设P(x,y)则x24 34y     

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月130·点A是00内一个定点,试 间撰甭存在曲线c,使以曲线c的任一切线 为折痕,点A关于折痕对称的点A·都落在 (图2中虚线即为曲线C) 而00的方程为 00的回周上. 解情形1当A与 O,合时,明显,以O为 圆心,以00的半径的一 半为半径的回符合条件. 即此时曲线C存在,为 圆.(图1的虚线) (x     

试题研讨(11)

题1 (2002年杭州市高中毕业班第二次质量检测试题)如图1所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是正方形ADD1A1和ABCD的中心.G是CC1的中点.设GF、C1E与AB所成的角分别为α、β,则α+β=     

三道竞赛题的新解

《中学生数学》2001年9月(上)刊登《用两点间距离公式巧解三道竞赛题》一文,读后很受启发,本人经研究又发现两种新颖解法: