牛顿——莱布尼兹公式的进一步推广

本文将牛顿——莱布尼兹公式推广为设函数f(x)在[a,b],上连续,并且f_+(x)与f_-(x)在(a,b)内存在,如果存在p、q≥0,满足p+q=1,使得函数pf_+(x)+qf_-(x)在[a,b]上黎曼可积,则integral from a to b (qf_+(x)+qf_-(x))dx=f(b)-f(a)     

微积分中的两个问题

由于f(x)在(-∞,+∞)上是可微的,且,f~1(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x)(x≠0),所以对任意的x,在区间[0,x]或[x,0]上,f(x)都满足拉格朗日中值定理的条件,因此,在0与x之间至少存在一点ξ,使得: