斐波那契数列一个性质的推广

斐波那契数列一个性质的推广３１６２００浙江岱山县岱山中学张善立Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数Ｆｎ，满足Ｆ０＝０，Ｆ１＝１，且Ｆｎ＋１＝Ｆｎ＋Ｆｎ－１（ｎ≥１），它有一个性质：当ｍ｜ｎ时，Ｆｍ｜Ｆｎ我们把这个性质推广到更一般的速推数列中去，对此有以下结果：定理记...     

与一道USAMO试题有关的不等式链

第 2 6届美国数学奥林匹克有一道试题 :对 a、b、c∈ R ,有( a3 b3 abc) -1 ( b3 c3 abc) -1 　 ( c3 a3 abc) -1 ≤ ( abc) -1 . ( 1)本文将通过以下定理证得与 ( 1)有关的不等式链 .定理　设 x、y、z∈ R ,且 xyz =1,则3x y z≤ ∑ 1x y 1≤ ∑ 1x 2≤ 1, ( 2 )其中 ∑ 表示对 x、y、z的轮换求和 .证明　设 x y z =a,xy yz xz =b,由xyz =1,易知 a≥ 3,b≥ 3,a2 ≥ 3b.且x2 y2 z2 =a2 - 2 b,x2 y xy2 y2 z yz2 z2 x zx2 =ab - 3.经运算可得　 ∑ 1x 2= ( y 2 ) ( z 2 ) ( x 2 )…     

一个新的三角命题

一个新的三角命题３１６２００浙江岱山县岱山中学张善立安振平在［１］中给出了一个三角命题：已知ａ、ｂＲ，对某个ｎ（ｎＮ，ｎ≥２）成立，则本文构思出一个类似的新的三角命题：已知ａ、ｂＲ对某个ｎＮ成立，则：成立（２）证：设：ｙ＝ｕ＋Ｖ，应用ｎ＋１个元的平均...     

三角形内任意点的又一个新的不等式

第37届IMO有一道预选题,设O是△ABC的外心,连OA延长交△BOC的外接圆于A′,类似连OB,OC延长分别交△AOC与△AOB的外接圆于B′,C′,求证:OA′·OB′·OC′≥8OA·OB·OC·(1)交[1]以△ABC内的内心、垂心、重心来代替不等式(1)中的外心O,证得不等式(1)仍归成立,本人也曾证得对三角形的费马点,勃罗卡点不等式(1)亦成立,此外本人曾企图对三角形另外的一些特殊来证明不等式(1),却屡屡不能得手,功夫不负有心人,近日本人却意外地证得不等式(1)对三角形内任意一点都成立,以下设O是△ABC内任意一点,其余条件不变来证明(1)式成立·…     

周界中点三角形的又一性质

定理设面ABC三边为a，b，c，周界中点三角形相应边为a’，b’，c’，则证明设D、E、F分别为西ABC的边BC、CA、AB边上的周界中点．从E、F作EM上BC于M，FN上BC于N，NV（如图3）但BF—CE一户一a，因此上式即为a’＞a一（p—a）（cosB＋cosC）．再由关于y，C’的类似不等式，三式相加，得诸式代入上式左边，欲使看是否可能？化饲：即p’＜6R’－－f－－ZRr—r’；但Gerretsen不等式为P‘＜4R‘＋4Rr＋3r‘，可见只须证4R’＋4Rr＋3r’＜6R’＋ZRr—r’，PFZR’－ZRr、4r‘20；由欧拉不等式R）Zr知，ZR’一ZRr—4r‘一2…     

直角三角形整距点个数的估计

设m,n∈N,m>72,M,”互素且奇偶性互异.则以乜一垅。一,2。,6—2ran,f=m。+靠。,为三边长的Rt△称为基本勾股形. 到勾股形三边距离均为整数的点称为整距点,整距点个数问题,目前尚无一个计数公式.记n,6,c为边长的基本勾股形内的整距点个数为,(研,n),则有 定理1 在直角坐标系中,以A(一n,m),B(翌,竺),原点。为顶点 C ‘ ’的△。40B内的格点(指坐标为整数的点)个数为厂(川,,z).图1 证明 如图1,取点A(一n,优),f(n,m),作A召上OC’于B,则由OC?及以B的方程: r m 、 I∥一百“ < }y—m一亏#(z+n).易解得B点坐标为: n(m2～,20) 4” z。一—磊F…     

一个周期数列与伪素数的判别

定义若n是合数,且2n-1≡1(modn),则称n是伪素数. 本文通过构造一个周期数列,给出伪素数的另一种简明的判别法.     

一个中线不等式的加强

设ABC三边长为a，b，c，对应边上的中线长分别为ma，mbRr分别为ABC的外接圆和内切圆半径，s为半周长，文[1]给出以下不等式：证1当ABC．是非钝角三角形时，如图，作等腰ABC，使A'D=AD=m，则由中线长公式：一个中线不等式的加强@张善立$浙江岱山县岱山中学!3162001 周才凯.一个几何不等式的加强.数学通讯,1906,6     

“mp2型“伪素数的性质与存在

定义 若ｎ是合数,且２ｎ－１＝１（ｍｏｄ ｎ）,则称ｎ是伪素数． 文［１］证得 １０９３２及 ３５１１２这两个数是伪素数,从而否定了陈历功等提出的“伪素数不含平方数因数”的猜想．记ｐ是奇素数,ｍＮ,本文将讨论“ｍＰ２型”伪素数的性质与存在的实例．先引入以下的 引理［２］设使同余式：２ｒ＝１（ｍｏｄ ｍ）成立的最小正整数为ｒ,则 ２ａ＝１（ｍｏｄ ｍ）的充要条件是ｒ（注引理即文［２］第七章定理１的推过２） 定理１ 设ｐ是奇素数,如果ｎ是含有因数Ｐ２的伪素数,则Ｐ２是伪素数． 证明 记ｎ＝ｍｐ２（ｍ Ｎ）,则由伪…     

一个猜想的部分证明

若P是△ABC内一点,且∠PAB=∠PBC=∠PCA=,α则称α为勃罗卡角,由匡继昌编著的“常用不等式”一书中提出的第85个猜想是:32α>1A 1B 1C(1)对此本文给出了部分证明.引理1[1]对x∈(0,π)则函数y=sin xx是减函数.引理2[2]△ABC的边长为a,b,c,△表示面积,α是勃罗卡角,则sinα=2△a2