三体问题中Birkhoff问题的缘起和现状

本文从历史上概述了G.D.Birkhoff第七问题,即:对于利用十个古典积分降阶后的运动方程.要求明确它的定义集合的拓朴构造的问题.就此,简记了近年来的一些结果和它们的意义.     

A Brief Account of G.D.Birkhoff’s Problem in the Problem of Three Bodies

The present article gives a historical survery of G.D.Birkhoff’s seventh problem which is an inquiry about the topological structure of the set of definition of the reduced differential equations of motion.Recent advances in the problem and their meaning have been briefly indicated.The classical 3-body problem concerns how the three particles should move under their mutual Newtonian attraction.By a particle we mean a goometrical point endorsed with a constant positive number m which is called mass.Expressed mathematically,the problem appears as to solving of the following system of differential equations:     

方程组dx/dt=(sum from 0≤i+k≤2 a_(ik)x~iy~k,dy/dt=(sum from 0≤i+k≤2 b_(ik)x~iy~k)的分界环线之构造

<正> 其中P,Q为連續实函数,在全平面上仅有有限个零点,且适合軌綫的存在唯一条件. 如所周知,(E)的任一軌綫的极限集必为下列之一:孤立奇点;极限环綫;奇点及某些軌綫組成之閉曲綫.为了研究最后这一情形中的閉曲綫的构造,首先应該考察最簡单     

方程组■的极限环线的位置

<正> 方程组■的 Hilbert问题包括两部分,即问(E_2)在全平面上最多有几个极限环钱及它们的位置(它们如何分布).在一篇独具风格的论文中,(?)及(?)用创见的方法以惊人的气魄处理了方程组.(E_2),得到了(E_2)的极限环线在全平面土最多有三个的结果.本文是[2]的继续,目的是讨论方程组(E_2)的极限环线的位置,把它们的拓扑分布问题给以最后的解决.我们现在的问题是:设方程组(E_2)有三个极限环线,以 L_c~i(i=1,2,3)表之,以 I_i 表L_c~i 之补集 c(L_c~i)之有界分量,问位置     

方程式组■的奇点指数分布与其极限环线的位置

<正> 其中 X_2(x,y)/Y_2(x,y)不可约.以 J(p)表方程组(E_2)之奇点 p 之指数,则按 Poincaré关于奇点指数之定义,易知 J(p)之值如下:(1)若点 p 均不为 X_2=0及 Y_2=0之重点时,则当p为其奇重交点时 J(p)=±1;而为偶重交点时,J(p)=0.     

一般三体问题的古典积分的一些性质

“三体问题”就是三个质点在万有引力作用下如何运动的问题。 十个古典积分所界定曲全部运动作为一个整体——这集合用M⁸表示,它所具有的性质,对于三体问题的研究有基本的重要性,M⁸表示利用已知积分降阶后的8阶运动方程的全部解,根据具体特点,方程还可降成7阶,这时全部解的集合用M⁷表示,G.D.Birkhoff称M⁷为既约运动状态流形,它的性质多年来一无所知,现提出如下结果: 对于固定的面积积分常数c,设常距离的Lagrange等边三角形特解和共线特解相应于能量E₀,E₁,E₂和E₃,则 对c≠0,当能量E由大变小时,M⁷由一个连通集分裂为两个、三个连通分支;E₁,E₂E₃为分裂的临界值,E₀为单复连通改变的临界值;对c=0,M⁷化为一特殊的子流形M₀⁵,它总是连通的。 对于平面三体运动的子流形M⁵,这结果可以显著改进,并可以具体提供一部分拓朴构造。 以上结果表明,在一般情形下(c≠0),三体的能量小于一定数值min E_i时,任何运动都具备这样的特征:其中两体相对第三体而言永远保持邻近,前人的结果只提供了有这种特征的运动存在的可能(概率不为零)。 本文结果是“事物都是一分为二的”一个例证,在古典积分这一个同一层次上,不同的条件下,三体运动也是一分为二的。