一个猜想的否定

１９６７年，Ｖ．Ｏ．Ｃｏｒｄｏｎ建立了三角形的边长与高之间的不等式∑ａ２ｈ２ｂ＋ｈ２ｃ≥２．［１］文［２］把上述不等式加强为∑ａ２ｔ２ｂ＋ｔ２ｃ≥２（ｔａ、ｔｂ、ｔｃ为△的内角平分线长，ａ、ｂ、ｃ为△ＡＢＣ的边长，∑表示对ａ、ｂ、ｃ循环求和），并提出猜想∑ａ２ｔ２ｂ＋ｔ２ｃ≥Ｒｒ（Ｒ、ｒ分别为△ＡＢＣ的外接圆半径、内切圆半径）．本文否定这一猜想，并由此得不等式链：２≤∑ａ２ｔ２ｂ＋ｔ２ｃ≤Ｒｒ（当且仅当△ＡＢＣ为正三角形时等号成立）．证明　由角平分线长公式，有ｔ２ａ＝ｂｃ（ｂ＋ｃ）２·（ａ＋ｂ＋…     

运用均值不等式求y=m/ax+b+n/c-dx的最值

例1函数y=max b nc-dx(a,b,c,d,m,n均为常数,且ad>0)在定义域内恒有max b>0且nc-dx>0,求这个函数的最值.解∵(x ba) (cd-x)=d(ax b) a(c-dx)ad=bd acad,∴adac bd[(x ba) (cd-x)]=1,∴y=max b nc-dx=adac bd[(x ba) (cd-x)].(max b nc-dx)=adac bd[(x ba) (cd-x)].(m a x ba n     

Cordon不等式的逆向不等式

设a,b,c分别为△ABC的三条边长,ha,hb,hc分别为三边a,b,c上的高,ta,tb,tc分别为△ABC三个内角的平分线长,R,r分别为△ABC的外接圆半径、内切圆半径,p为△ABC的半周长,表示对a、b、c循环求和.文[1]介绍了1967年,V.O.Cordon建立的不等式:a2hb2 hc2≥2.本文建立Cordon不等式的逆向不等式:a2hb2 hc2≤Rr.当且仅当△ABC为正三角形时等号成立.证明　在△ABC中,ha=c.sinB,hb=a.sinC,hc=a.sinB.∴hb2 hc2=a2sin2C a2sin2B=a24R2(b2 c2)∴hb2 hc2a2=14R2(b2 c2),a2hb2 hc2=4R2b2 c2.∴a2hb2 hc2=4R21b2 c2≤4R212bc=4R2abca2=4R2pabc…     

正弦型函数解析式的确定

由正弦型函数的解析式 ,作出函数的图象是现行高中代数课本的重要知识点 .反之 ,由正弦型函数的图象 ,求出正弦型函数的解析式 ,能强化训练学生的逆向思维能力 ,加深理解正弦型函数的有关概念 ,巩固掌握正弦型函数的性质 .因此 ,许多课外辅导读物上都列有这类题型对学生进行逆向训练 .如在全国范围内影响较大的 ,《数学通报》编辑部组织专家编写的《数学高考研究与复习》(97年理科版 )Ｐ2 8例 6,Ｐ31 5(1 3) ,Ｐ352 (6)等就是这类题型 .在全国高考试题中 ,已知正弦型函数的图象求解析式也成为保命题热点 .如 1 990年全国高考理科试题 (5) :…     

复合函数的性质及应用

复合函数这一概念,现行高中课本未直接定义．而复合函数的应用实例,在现行高中课本《代数》上册（以下简称课本）中大量出现．如　ｙ＝ｌｏｇ０．５（４ｘ－３）（课本Ｐ１００）;ｙ＝１６－５ｘ－ｘ２（课本Ｐ１０８）;ｙ＝Ａｓｉｎ（ωｘ＋φ）（课本Ｐ１７８）;ｙ＝ｓｉｎ（ａｒｃｓｉｎｘ）（课本Ｐ３００）．在全国高考数学试题中,复合函数的应用问题成为命题热点．本文试对复合命题的性质作点介绍．设ｙ＝ｆ（ｕ）,ｕ＝ｇ（ｘ）,则ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］为复合函数．根据函数单调性的定义,容易得出下列结论．（１）若ｙ＝ｆ（ｕ…