数学基础课程图论的课程思政探索与实践

全面推进课程思政建设是落实立德树人根本任务的战略举措,新时代的大学教育更加注重专业教育和拔尖创新人才的培养,更加凸显课程思政的重要性.作为一门专业基础课程,图论具有重要的理论研究价值和广阔的应用价值.以研究生图论课程为例,介绍了如何将思政元素引入课堂教学,培养学生数学核心素养的探索与实践的能力.     

图的平面Turán数和平面anti-Ramsey数

在所有顶点数为$n$且不包含图$G$作为子图的平面图中,具有最多边数的图的边数称为图$G$的平面Turán数,记为$ex_{_\mathcal{P}}（n,G）$。给定正整数$n$以及平面图$H$,用$\mathcal{T}_n （H）$来表示所有顶点数为$n$且不包含$H$作为子图的平面三角剖分图所组成的图集合。设图集合$\mathcal{T}_n （H）$中的任意平面三角剖分图的任意$k$边染色都不包含彩虹子图$H$,则称满足上述条件的$k$的最大值为图$H$的平面anti-Ramsey数,记作$ar_{_\mathcal{P}}（n,H）$。两类问题的研究均始于2015年左右,至今已经引起了广泛关注。全面地综述两类问题的主要研究成果,以及一些公开问题。     

一类超椭圆方程有正整数解的必要条件的问题

研究一类超椭圆方程(n d)(n 2d)…(n kd)=y3有正整数解的必要条件,利用数论的一些基本方法,给出了一个新的结果,推进了Erd(o)s和Selfridge的猜想的证明.     

随机图的广义3-连通度

图的广义连通度的概念是由Chartrand等人引入的.令S表示图G的一个非空顶点集,κ(S)表示图G中连结S的内部不交树的最大数目.那么,对任意一个满足2≤r≤n的整数r,定义G的广义r-连通度为所有κ(S)中的最小值,其中S取遍G的顶点集合的r-元子集.显然,κ_2(G)=κ(G),即为图G的顶点连通度.所以广义连通度是经典连通度的一个自然推广.本文研究了随机图的广义3-连通度,证明了对任一给定的整数k,k≥1,p=(log n+(k+1)log long n-log lon logn)/n是关于性质κ_3(G(n,p))≥k的紧阈值函数.我们得到的结果可以看作是Bollobas和Thomason给出的关于经典连通度结果的推广.     

图的星边染色综述

重图G的星色指数是指对G的边进行正常染色使得没有长为4的路或圈是双色的所需的最小颜色数,记作χ′st(G).本文对图的星色指数的结果做了一个总结,给出了一些有趣的证明和技巧,并收集了一些公开问题和猜想.     

有向图上的一些猜想和开放问题（英文）

讨论了有向图上的几个猜想和开放问题.一些尚未解决的问题是新的.