两个引理及其推广的再推广

文[1]介绍了有关不等式的两个引理及其推广命题1-4.本文将两个引理及其推广命题再作进一步推广.引理1的推广设α,β均为锐角,n∈N ,则1sinn2α sin1n2β≥sinn(2α β)(1)当且仅当α=β时取等号.证sin1n2α sin1n2β≥2sinn2α1sinn2β=12n-1(sinαcosβ.cosαsinβ)n≥(sinαc     

中心对称多边形外接圆周上点的性质

笔者发现 ,中心对称的多边形外接圆周上的点具有如下性质 :中心对称多边形的每组对边上关于它的外接圆的对称点到过外接圆周上任一点的切线的距离之和为定值 .即命题 1　设中心对称的多边形Ａ1Ａ2 …Ａ2ｎ(ｎ≥ 2 )的外接圆Ｏ的半径为Ｒ ,ｌ为过圆周上任一点Ｐ的切线 .Ｍｉ 与Ｍｉ′为第ｉ组(ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ)对边上关于圆心Ｏ的对称点 ,且Ｍｉ 与Ｍｉ′到ｌ的距离分别为ＭｉＮｉ 与Ｍｉ′·Ｎｉ′ ,则∑ｎｉ=1(ＭｉＮｉ+Ｍｉ′·Ｎｉ′) =2ｎＲ为定值 .分析 :不失一般性 ,当ｎ =2时 ,即对中心对称的四边形的情况给出证明 .图 1　命题 1图证…     

争鸣

问题　　问题61　笔者在教学中,遇到了这样一个有趣的问题,同学们给出了三种不同的解法,都认为自己的解法有道理.然后,我们几个老师在一起讨论,也有所分歧.现请贵刊予以讨论.题目　设函数y=F(x) ,其定义域为[0 ,+∞) ,值域为R,已知F(x2 - 2 mx+ m+ 2 )的值域为R,求m的取值范围.解法1　令f(x) =x2 - 2 mx+ m+ 2 ,则可转化为对任意x∈R,f(x)≥0恒成立.故Δ=4 m2 - 4(m+ 2 )≤0 ,∴- 1≤m≤2 .解法2　由题意,y=f(x)的图象与直线y=0相切,即f(x)的最小值为0 (x∈R) .故Δ=4 m2 - 4(m+ 2 ) =0 ,∴m=- 1或m=2 .解法3　由题意,只要保证f(x)能取遍…     

Radon不等式的推广及其应用

Radon不等式设ai≥0，bi〉0（i=1，2，…，n），l∈N，则 ^n∑i=1 ai^l＋1/bi^l≥（^n∑i=1 ai）^l＋1/（^n∑i=1 bi）^l 本文将（1）式推广如下：     

正方体截面的作法

我们知道：过不共线的三点作一多面体的截面,只需作出不共线的三点确定的平面与多面体的各可能相交平面的交线即可;又因为两点确定一直线,故只需作出两相交平面的两公共点即可．正方体截面的作法问题是立体几何中的常见问题,也是同学们学习的难点,本文给出正方体截面的作法两例,供同学们参考．     

硅钼蓝分光光度法测定去离子水中的微量二氧化硅

研究了抗坏血酸作为还原剂硅钼蓝分光光度法测定去离子水中的微量二氧化硅的适宜条件.实验表明,常温下10min可显色完全,对去离子水进行7次测定,方法精密度RSD≤7%,样品加标回收率为97%,测定结果与国家标准结果一致.     

X射线荧光光谱法测定增产丙烯助剂中磷和铁的研究

使用X射线荧光光谱仪,采用人工合成标样,设计合成了一套标准样品,采用数学校正法中的经验系数法校正元素间的互相干扰,样品不经任何处理,粉末直接压片,经验系数法校正基体效应,建立了分析测定增产丙烯助剂中磷和铁含量的方法。讨论了样品制作方法,合适的测量条件,探讨了试样中元素间的相互影响。实验结果表明,该方法重现性好,准确度和精密度较高,测定磷和铁的相对标准偏差为：0.34%和0.59%;测定范围磷为0.01%～2.5%,铁为0.01%～2.5%。分析结果与化学法、等离子发射光谱法测定结果吻合。该方法快速、简便,样品处理简单,可以不分解;分析速度远快于其他分析方法,结果准确,单次测量一个样品只需要5 min,适用范围广,满足了科研和工业生产的需要。     

1′-苯基-3′-甲基-5′-氧代吡唑-4′-基-甲酰甲酸及1,10-二氮杂菲与稀土元素的三元配合物的合成及性质

用电导滴定法研究了乙醇-水溶液中稀土与1’-苯基-3’-甲基-5’-氧代吡唑-4’-基-甲酰甲酸及1,10-二氮杂菲的配合反应。合成了固态配合物。经化学分析与元素分析确定了配合物的化学组成为Ln_2L_3P_2·nH_2O,通过红外光谱、紫外光谱、~1H NMR谱、差热分析、溶解度等方法对配合物进行了表征,确定Ln_2L_3P_2·nH_2O为双核结构(L为四齿配体,P为二齿配体)。     

等差数列一个性质的再推广

文 [1 ]与文 [2 ]相隔近 2 0年先后都证明了下面等差数列的一个有趣性质 :若a1,a2 ,… ,an,an+1成等差数列 ,则当 2 ≤n∈N时 ,C0 na1-C1na2 +C2 na3-… +(-1 ) kCknak+1+…+(-1 ) nCnnan+1=0 (1 )文 [3 ]将这个性质给出如下推广 :设a0 ,a1,… ,an(n≥ 2 )成等差数列 ,则∑ni =0(-1 ) iaiCkk+iCk+ik+n =0 (2 )其中k为任意非负整数 .文 [4]又将上述性质 (1 )式给出另一形式的推广 ,即设 an 是等差数列 ,则当 3 ≤n∈N时 ,∑ni =r(-1 ) i-rCinCriai+1-r =0 (3 )本文将推广后的性质 (2 )与 (3 )式 ,再作出推广 .命题 1　设 an 是等差数列 …     

Radon不等式的推广及其应用

Radon不等式[1]设ai≥0,bi>0(i=1,2,…,n),l∈N,则∑ni=1ail 1bil≥(∑ni=1ai)l 1(∑ni=1bi)l(1)本文将(1)式推广如下:设ai≥0,bi>0(i=1,2,…,n),l∈N,k∈N ,则∑ni=1ail kbil≥(∑ni=1ai)l k(∑ni=1bi)lnk-1(2)证记(2)式左端为A,B=∑ni=1bi.由均值不等式,得以下n个不等式:a1l kb1lA bB1 bB1 … bB1l个 1n 1n … 1nk-1个≥(l k)a1l kABlnk-1.同理a2l kb2lA bB2 … bB2 1n … 1n≥l( lk k)a2.……anl kbnlA bBn … bBn 1n … 1n≥l (kl k)anABlnkq-1.将以上n个不等式的两边分别相加,得AA lBB (k-1)≥(l lk AkB)lni∑=nk1-a1i.约去…